Leonhard Euler'in bilimsel çalışması

Bilimsel çalışmalar Leonhard Euler hiç bir matematikçi tarafından yaratılmış en kapsamlı. Matematik , analiz , mekanik , astronomi , jeodezi , sayılar teorisi , cebir , trigonometri , geometri , müzik teorisi ve optik alanlarındaki temel sonuçları içerir .

Euler'in en ünlü sonuçları, Basel probleminin çözümünü , çokyüzlü ikamesini ve Euler'in kimliğini içerir ; ikincisi, sayısız temel matematiksel sabit arasında yakın bir bağlantı kurar . Bu ve diğer sonuçlar için Euler, ölümünden sonra birçok onursal ödül aldı.

Euler'in araştırması çok çeşitliydi. Matematiğin neredeyse tüm alanlarında çalıştı ve tarihin en üretken matematikçilerinden biri olarak kabul ediliyor. Opera omnia'nın toplanmış eserleri şimdiye kadar 76 ciltten oluşuyor. Toplam 866 yayını bulunmaktadır. Euler'in adı çok sayıda sonuç ve bilimsel konu ile ilişkilidir.

İki matematiksel sabitelerdir adlı Leonard Euler sonra : Euler sayısı ile ilgili analizler (bkz üstel fonksiyon ) ve Euler-Mascheroni sabiti bazen şu şekilde ifade edilir sayı teorisinden, γ (gama) Euler sabit ve yaklaşık 0.57721 ile eşittir. γ'nın rasyonel mi irrasyonel mi olduğu bilinmiyor . Buna karşılık, e sayısının irrasyonelliği bilinir ve ilk olarak Euler tarafından gösterilmiştir (ayrıca bakınız: Euler sayısının irrasyonelliğinin kanıtı ). ${\ displaystyle \ matematik {e} \ yaklaşık 2 {,} 71828}$

Frederick II'nin 2. dereceden yeğeni Prenses Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt'e mektuplar yazdığı 1768'den kalma Lettres à une Princesse d'Allemagne adlı popüler bilimsel incelemesi , fiziğin temelleri de daha geniş bir okuyucu kitlesi kazandı Astronomi, matematik öğretti , felsefe ve teoloji.

Leonhard Euler'in çalışması, birçok nesil matematikçi üzerinde kalıcı bir etkiye sahipti. Carl Friedrich Gauß , "Euler'in çalışmalarını incelemek, matematiğin çeşitli alanlarında en iyi okul olmaya devam ediyor ve başka hiçbir şeyle değiştirilemez" dedi. Çok sayıda yayın ve diğer matematikçiler ve kişiliklerle yazışmalar nedeniyle, Eulers'in eksiksiz bir çalışmasını yayınlama çabaları bugüne kadar devam ediyor. Ancak, Euler Komisyonu tarafından Opera Omnia'nın yayınlanmasıyla birlikte , bu taahhüt mümkün olan en geniş ölçüde uygulanmış kabul edilir.

matematiksel gösterimler

Euler, sayısız ders kitaplarında birkaç notasyon kuralı tanıttı. Kitapların yaygın kullanımı nedeniyle, notlarının çoğu sağlam bir şekilde kuruldu. O kavramını ortaya matematik fonksiyonu ve yazma için ilk f (x) fonksiyonu göstermek için f olan tatbik bağımsız değişkeni x . Euler'in kullandığı "biçimsel" terim, bugünkü tanım doğrultusunda önemli bir kilometre taşıydı:

İçin gösterimler trigonometrik fonksiyonlar , mektup , e yönelik tabanında doğal logaritma , Yunan harfi Σ ( sigma için) toplamlar ve harf i niteliğinin tespitinde kullanılan hayali biriminden ondan geliyor . fark için Δ ( delta ) sembolü de Euler'dendir. Çevre ve çap oranını ( daire numarası ) belirtmek için Yunanca π harfinin kullanılması, orijinal olarak Galli matematikçi William Jones'a geri dönse de, Euler tarafından da popüler hale getirildi .

Analiz ve fonksiyon teorisi

Temel analiz

Euler, analizin kurucularından biri olarak görülebilir . Matematik tarihçisi Thomas Sonar , 3000 Yıllık Analiz (2011) adlı kitabında Leonhard Euler'i “analiz için gerçek bir dev” olarak tanımlıyor . Euler'in bu alan için önemi, yalnızca titiz bir işlevsel kavramın tanıtılmasıyla vurgulanmaz. “Sonsuz polinom ” olarak anladığı ve kalıcı “beyni” yaptığı kuvvet serileri ile uğraşmada “yenilmez bir usta ”.

Euler, sayılar teorisindeki problemleri çözmek için analitik yöntemlerin kullanılmasına öncülük etti. Bunu yaparken, matematiğin iki farklı dalını birleştirdi ve yeni bir çalışma alanı olan analitik sayılar teorisini tanıttı .

hesap

Devam eden araştırmalar nedeniyle , 18. yüzyılda matematik yükselişteydi. Özellikle, Euler'in arkadaşları, Bernoulli'ler, bu alandaki ilk ilerlemelerin çoğundan sorumluydu. Etkileri sayesinde, hesap çalışması Euler'in çalışmalarının ana odak noktası haline geldi. Institutiones calculi Differentis (1755) adlı çalışmasında sistematik olarak diferansiyel hesabı ele aldı . Euler, sonsuz küçük miktarlar için “belirtilebilir herhangi bir miktardan daha küçük” yorumunu seçti. Euler, 1755 tarihli Institutiones calculi diferansiyesinde şunları tanımlar:

Bu nedenle Euler, sonsuz küçük miktarlarla hesaplamayı "sıfırları hesaplama" olarak görür. Bunun için "sonsuz küçük" bir boyut ve "sonsuz büyük" bir boyut (hayali birim ile karıştırılmamalıdır) tanıttı - ve bunları doğru ifadeler türetmek için kullandı. Örneğin, Euler " başlangıçta herhangi bir sayı için geçerli olan " yaklaşımı kullandı .${\ görüntü stili \ omega}$${\ görüntü stili ben}$${\ displaystyle x = \ omega \ cdot i}$${\ görüntü stili k}$

${\ displaystyle a ^ {x} = \ sol (1 + {\ frac {kx} {i}} \ sağ) ^ {i},}$

Euler sayısı için geçerli seri etrafında${\ displaystyle \ matematik {e}}$

${\ displaystyle \ matematik {e} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}}}$

türetmek. Bu formül, sayı için son derece hızlı yakınsak bir seri verir , örneğin ${\ displaystyle \ matematik {e}}$

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {24}} + { \ frac {1} {120}} + {\ frac {1} {720}} = 2 {,} 7180 {\ overline {5}} \ yaklaşık 2 {,} 718281828 ... = \ matematik {e}. }$

Euler formül arka plana karşı için bu söz gerektiği için sınır değeri${\ görüntü stili a ^ {x}}$${\ displaystyle k = \ günlük (a)}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sol (1 + {\ frac {kx} {n}} \ sağ) ^ {n} = (\ mathrm {e} ^ {\ log (a)} ) ^ {x} = bir ^ {x}}$

Geçerli olan, matematiksel Limes'ın modern dilinde gösterimini sınıflandıran şeydir . ${\ görüntü stili ben}$

Taylor serisi

Euler, bu bağlamda güç serilerinin geliştirilmesi ve sık kullanımı ile tanınır . Bunlar, bir fonksiyonun bazı durumlarda yerel davranışından (yani tüm türevlerini ve bir noktayı bilerek) "küresel olarak yeniden yapılandırılabileceği" "sonsuz uzunlukta polinomlar " olarak anlaşılabilir . Diğer şeylerin yanı sıra , üstel fonksiyonun Taylor serisi için doğrudan kanıt verdi.

${\ displaystyle \ matematik {e} ^ {x} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + {\ frac { x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {6}} + \ noktab}$

ve arktanjant işlevi . Dolaylı kanıtlar Newton ve Leibniz'den 1665'ten 1680'e kadar olan dönemden gelir. Euler ayrıca Taylor serilerinde sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını 0 geliştirme noktası etrafında geliştirdi:

${\ displaystyle \ günah (x) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} },}$

${\ displaystyle \ cos (x) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}$

Bunu basitçe ekleyerek üstel fonksiyon için Euler formülünü türetmek için kullandı.

Sonsuz satırlar

1736'da (ayrıca kuvvet serilerini kullanarak) karşılıklı kare sayıların sonsuz toplamı için uzun süredir aranan sınır değerini buldu :

${\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = 1 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {9}} + \ noktalarb = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}$

Eğer toplanabilecek “bütün” (sonsuz sayıda) Eğer karşılıklı değerleri kare sayılar, sonuç sayıdır . Bu, her küçük sayı (yaklaşık ) için aşağıdaki tüm kareler için geçerli olacak şekilde bir kare sayının var olduğu anlamına gelir.${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ yaklaşık 1 {,} 64493}$${\ görüntü stili x> 0}$${\ görüntü stili x = 0 {,} 00001}$${\ görüntü stili N ^ {2}}$${\ displaystyle N ^ {2} <M ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - x <1 + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {9}} + \ cdots + {\ frac {1} {N ^ {2}}} + {\ frac {1} {(N + 1) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {M ^ {2}}} < {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}$

Bu sonuç için kuvvet serileri için daha önce bilinmeyen manipülasyon tekniklerini kullandığından , orijinal kanıtı kabul edilmedi. Ancak Euler, 1743'te başka bir kanıt yayınladı. Bu sözde Basel probleminin genelleştirilmesinden Bernoulli sayıları için kapalı bir temsil türetmiştir . Örneğin, tüm dördüncü güçlerin ve altıncı güçlerin karşılıklı değerlerinin toplamının, karşılık gelen güçlerin rasyonel katlarına karşı da mücadele ettiğini gösterdi . ${\ Displaystyle B_ {2k}}$${\ görüntü stili \ pi}$

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2 ^ {4}}} + {\ frac {1} {3 ^ {4}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {4}} { 90}},}$

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2 ^ {6}}} + {\ frac {1} {3 ^ {6}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {6}} { 945}},}$

ve genel olarak

${\ displaystyle \ zeta (2k) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2k}}} = (- 1) ^ {k-1} {\ frac {(2 \ pi) ^ {2k}} {2 (2k)!}} B_ {2k}.}$

Bu, uzun zamandır Bernoulli sayılarını hesaplamak için en iyi yöntem olarak kabul edilmiştir .${\ görüntü stili B_ {k}}$

Kimliğini kullandı

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 5 \ arctan \ sol ({\ frac {1} {7}} \ sağ) +2 \ arctan \ sol ({\ frac {3} {79}) } \ Sağ),}$

için hızla yakınsak bir dizi türetmek için arktanjant ile . Örneğin sonsuz satırlar${\ görüntü stili \ pi}$

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + { \ frac {1} {8}} - \ dotsb = {\ frac {2 \ pi} {3 {\ sqrt {3}}}},}$

${\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {3 ^ {3}}} + {\ frac {1} {5 ^ {3}}} - {\ frac {1} {7 ^ {3}}} + {\ frac {1} {9 ^ {3}}} - \ dotsb = {\ frac {\ pi ^ {3}} {32}},}$

veya

${\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2)} {3 \ kez 4 \ kez 2 ^ {2}}} + {\ frac {\ zeta (4)} {5 \ kez 6 \ kez 2 ^ {4} }} + {\ frac {\ zeta (6)} {7 \ cdot 8 \ cdot 2 ^ {6}}} + \ dotsb = {\ frac {1} {4}} - {\ frac {7} {4 \ pi ^ {2}}} \ zeta (3)}$

Riemann zeta fonksiyonu ile de Euler'e geri dönün. Iraksak serileri sistematik olarak inceleyen ilk kişi Euler'di .${\ görüntü stili \ zeta(lar)}$

Trigonometrik fonksiyonlar

Euler, trigonometrik fonksiyonları yarıçapı 1 olan bir daire ile ilişkilendiren ve böylece onları normalleştiren ilk yazardır . Bu altıncı bölümde olur Introductio . Özellikle, Pisagor Teoremi hemen ardından gelir.

${\ displaystyle \ günah ^ {2} (x) + \ cos ^ {2} (x) = 1.}$

Euler'den sistematik olarak bir dizi temel trigonometri formülü elde edildi. Trigonometrik fonksiyonların toplama teoremlerini kullandı ve De Moivre'nin iyi bilinen formülünün basit ve açık bir kanıtını veren ilk kişi oldu . Bugünün bakış açısından, tam tümevarımın resmi olarak tamamlanmadığı gerçeği göz ardı edilirse, bu kanıtın da katı olduğu kabul edilir . Bu formüllerden Euler, üstel fonksiyon durumunda olduğu gibi aynı prosedürü kullanarak kuvvet serilerindeki trigonometrik fonksiyonların açılımını elde etti.

Cotangene kısmi fraksiyon ayrışma da Euler araştırma konusu olmuştur. 30 Haziran 1742'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bunu tartıştı.

Bazıları d'Alembert tarafından tahmin edilen karmaşık bir değişkenin fonksiyonları üzerine yaptığı çalışmalar bağlamında , Euler, Johann Bernoulli tarafından halihazırda kullanılan gerçek olmayan bir ikame yoluyla sonuca ulaştı .

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ günah (x)} {x}} \ matematik {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}.}$

Bu bağlamda Euler'in toplama teoremini fonksiyonlara birkaç kez uygulayarak çarpım formülünü bulduğunu belirtmekte fayda var.${\ displaystyle \ günah (x) = 2 \ günah ({\ tfrac {x} {2}}) \ cos ({\ tfrac {x} {2}})}$${\ displaystyle f_ {k} (x) = \ günah ({\ tfrac {x} {2 ^ {k}}})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos \ sol ({\ frac {x} {2 ^ {k}}} \ sağ) = \ cos \ sol ({\ frac {x} {2}} \ sağ) \ cos \ sol ({\ frac {x} {4}} \ sağ) \ cos \ sol ({\ frac {x) } {8}} \ sağ) \ cdots}$

oluşturuldu.

Üstel fonksiyon ve logaritma

Euler , analitik ispatlarda önce üstel fonksiyonu ve logaritmaları kullanmış ve bunları karmaşık sayılar için başarıyla tanımlamıştır . Bu, uygulama kapsamını büyük ölçüde genişletti. Trigonometrik fonksiyonlarla yakın ilişkiyi bu şekilde buldu. Her gerçek sayı için ( radyan cinsinden ), Euler formülü karmaşık üstel fonksiyonun denklem olduğunu söyler .${\ görüntü stili \ varphi}$

${\ displaystyle \ matematik {e} ^ {\ matematik {i} \ varphi} = \ cos (\ varphi) + \ matematik {i} \ günah (\ varphi)}$

yerine getirir. Yukarıdaki formülün özel bir durumuna Euler özdeşliği denir.

${\ displaystyle \ matematik {e} ^ {\ matematik {i} \ pi} + 1 = 0}$

tanınmış. Euler formülü toplama teoremlerinin ispatlarına ve De Moivre formülüne götürür . Yani bir yandan

${\ displaystyle (\ cos (\ varphi) + \ matrm {i} \ sin (\ varphi)) ^ {n} = (\ matrm {e} ^ {\ matrm {i} \ varphi}) ^ {n} = \ matematik {e} ^ {\ matematik {i} \ varphi n} = \ cos (n \ varphi) + \ matematik {i} \ günah (n \ varphi).}$

Üstel fonksiyonun çoğulluğu, toplama teoremleriyle ilgili olarak da kullanılır. Öte yandan, buna göre sahip olduğumuz

${\ displaystyle \ cos (x + y) + \ matematik {i} \ günah (x + y) = \ matematik {e} ^ {\ matematik {i} (x + y)} = \ matematik {e} ^ { \ matematik {i} x} \ matematik {e} ^ {\ matematik {i} y} = \ cos (x) \ cos (y) - \ günah (x) \ günah (y) + \ matematik {i} ( \ günah (x) \ çünkü (y) + \ günah (y) \ çünkü (x))).}$

İki karmaşık sayı , ancak ve ancak gerçel ve sanal kısımlar eşleşirse eşittir - örneğin, aşağıdakiler geçerlidir . ${\ displaystyle \ cos (x + y) = \ cos (x) \ cos (y) - \ günah (x) \ günah (y)}$

Varyasyon hesabının gerekçesi

Euler, Lagrange ile birlikte varyasyon hesabının kurucularından biridir . Jakob ve Johann Bernoulli'nin çeşitli problemlerinden ve fikirlerinden yola çıkarak Euler, ana problemlerini çok erken formüle etti ve bunları çözmek için genel yöntemler geliştirdi. Bu, 1744'te yayınlanan Methodus inveniendi lineas curvas'ında oldu . Bu özel disiplin (bir dereceye kadar Bernoulli kardeşler tarafından başlatılmıştır) ilk olarak Euler tarafından tasarlanmış ve sistemleştirilmiştir. En genel türden aşırı değer problemleriyle ilgilenir . Fonksiyonların yerel maksimumlarının veya minimumlarının sıklıkla belirlendiği diferansiyel hesabın aksine , varyasyon hesabı, bir veya daha fazla bilinmeyen fonksiyonun , bu fonksiyonlara bağlı belirli bir integralin belirleneceği şekilde belirlenmesi gereken problemlerle karakterize edilir. uç değerler alır.

Varyasyon hesabında kullanılan Euler-Lagrange denklemi , adını Euler'den almıştır .

Aşağıdaki değerlendirme Carl Gustav Jacobi'den geliyor:

Integral hesabı

Euler, üç cilt halinde yayınlanan Institutiones calculi integralis (1768-1770) adlı çalışmasında integral hesabıyla ilgilendi . Belirsiz entegrasyon yöntemleri, entegrasyonun temel işlevlere yol açtığı durumlar için modern bir biçimde ayrıntılı olarak bulunabilir. Birçok yöntem ilk olarak Euler tarafından geliştirilmiştir ve bazı irrasyonel diferansiyellerin rasyonalize edilebildiği Euler'in ikamesi bugün hala bir kavramdır. Karmaşık limitli integralleri hesaplamanın bir yolunu buldu , böylece karmaşık analizin gelişiminin önemli kısımlarını öngördü.

Halihazırda 1.766 Institutiones calculi integralis'inde Laplace Laplace dönüşümü Euler'den sonra adlandırılan bir öncünün çalışıldığı belirtilmelidir. Laplace bunu ilk olarak olasılık teorisi bağlamında kullanmıştı .

Fourier serisi

Euler ayrıca Fourier serisi alanında da çalıştı . Değerler için geçerli formülü yönetti${\ görüntü stili 0 <x <\ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi -x} {2}} = \ günah (x) + {\ frac {1} {2}} \ günah (2x) + {\ frac {1} {3}} \ günah (3x) + {\ frac {1} {4}} \ günah (4x) + \ noktab}$

yakışıksız

${\ displaystyle {\ frac {1-r \ cos (x)} {1-2r \ cos (x) + r ^ {2}}} - 1 = r \ cos (x) + r ^ {2} \ cos (2x) + r ^ {3} \ cos (3x) + \ noktalarb}$

noktada : ${\ görüntü stili r = 1}$

${\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} = \ cos (x) + \ cos (2x) + \ cos (3x) + \ noktalarb}$

Sağdaki seri hiçbir yerde yakınsamasa da, doğru integrasyon sabitlerini seçtikten sonra her iki tarafta da integral almak, bugün doğru olarak bilinen Euler serisini verdi .

Bu, Euler'in dayandığı "cebir genelliği"nin tipik bir örneğidir. Euler'in kanıtlarından bazıları, modern matematiksel titizlik standartlarına göre kabul edilemez olsa da, fikirleri, az önce gösterildiği gibi, çok ilerlemeye yol açtı.

aşkın fonksiyonlar

Bu yeni alanda öncü olarak Euler, hipergeometrik seriler , q serisi ve hiperbolik trigonometrik fonksiyonlar teorisini yarattı .

Riemann zeta fonksiyonu

Ayrıca fonksiyonel denklem Riemann zeta fonksiyonu , ilgili işlevi için Euler ${\ görüntü stili \ zeta(lar)}$

${\ displaystyle \ phi (s) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n ^ {s}}} = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta(lar)}$

şeklinde

${\ displaystyle \ pi ^ {s} \ sol (2 ^ {s-1} -1 \ sağ) \ phi (1-s) + (2 ^ {s} -1) \ cos \ sol ({\ frac { \ pi s} {2}} \ sağ) \ Gama (s) \ phi (s) = 0}$

belirtilen, olumsuz yerlerdeki bazı değerlerinin yanı sıra Euler tarafından zaten biliniyordu. Bu, yalnızca value ile çözülen gibi klasik bir denklem değil , bir özdeşlik, yani bir denklemdir . H. Denklem ne kullanılırsa kullanılsın doğrudur. Örneğin, (önemsiz) bir kimliktir ve zeta işlevi durumunda, Euler değerler arasında bir bağlantı kurmuştur ve bu herkes için geçerlidir . Şimdi doğru temsil olarak bilinen şeye dayanan kapsamlı sayısal hesaplamalardan sonra bundan şüphelendi. ${\ görüntü stili 2x + 2 = 0}$${\ görüntü stili x = -1}$${\ görüntü stili x = x}$${\ görüntü stili s}$${\ görüntü stili \ zeta(lar)}$${\ görüntü stili \ zeta (1-s)}$

${\ displaystyle (1-2 ^ {1-s}) \ zeta (s) = \ lim _ {x \ ila 1 ^ {-}} \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {x ^ {n}} {n ^ {s}}}}$

dayalı idi. Riemann zeta fonksiyonu, sayılar teorisinde çok önemli bir rol oynar ve fonksiyonel denklem, teorisini asal sayılar üzerine kurmak için ilk kez kesin bir ispat sunan Bernhard Riemann tarafından kullanılmıştır .

Beta ve gama işlevi

1729 gibi erken bir tarihte Euler, binom teoremi yardımıyla doğal sayılar için geçerli formülü geliştirdi.${\ görüntü stili m, n}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {m} (1-x) ^ {n} \ matematik {d} x = {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots n} { (m + 1) \ cdot (m + 2) \ cdots (m + n + 1)}}.}$

Bundan, fakülte işlevi için bir integral temsili türetmiştir :

${\ displaystyle n! = \ int _ {0} ^ {1} (- \ log (x)) ^ {n} \ matematik {d} x.}$

Bu sonuçlar , temel özelliklerini inceleyen Euler tarafından beta ve gama fonksiyonlarının keşfine yol açtı . 1729'da Christian Goldbach ile yazışmalarda, Euler ilk olarak fakülteyi genelleştirdi ve 1730'da, pozitif reel kısmı olan karmaşık değerler için Euler gama fonksiyonunu temsil eden ikinci tip Euler integralini tanıttı :${\ görüntü stili z}$

${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {1} (- \ log (x)) ^ {z-1} \ matematik {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty } t ^ {z-1} \ matematik {e} ^ {- t} \ matematik {d} t.}$

Zaten 1729'da Christian Goldbach Euler'e yazdığı bir mektupta , formda bahsedilen yarı tamsayı fakültesi için bir formül vardı : . Birinci türden integral, aşağıdakiler için beta işlevini temsil eder :${\ görüntü stili ({\ tfrac {1} {2}})! = {\ tfrac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}$${\ görüntü stili x, y> 0}$

${\ displaystyle \ matematik {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ matematik {d} t.}$

Euler, bu fonksiyonların özel özelliklerinden sadece Euler-Mascheroni sabitiyle ilişkiler türetmedi , aynı zamanda çarpım formüllerini de verdi.

${\ displaystyle \ Gama (z) = {\ frac {1} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sol (1 + {\ frac {1} {n}} \ sağ) ^ {z} \ sol (1 + {\ frac {z} {n}} \ sağ) ^ {- 1}}$

ve

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z) \ Gama (-z)}} = - z ^ {2} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sol (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ sağ) = - {\ frac {z} {\ pi}} \ günah (\ pi z),}$

ikincisi Euler tamamlayıcı kümesi (Euler yansıma formülü) olarak bilinir. Beta fonksiyonu temeli olan beta dağılımı ile ilgili olasılık teorisi . Gama fonksiyonu görünen gama dağılımı , aynı zamanda oynadığı önemli rol içinde işlevi ve , sayılar teorisi tamamlanan bağlamında diğer şeyler arasında L-fonksiyonları .

eliptik integraller

Euler'in eliptik integrallere ve eliptik fonksiyonlara olan büyük ilgisi Johann Bernoulli ile olan ilk yıllarına dayanmaktadır . Euler, Berlin Akademisi'nde okurken, 23 Aralık 1751'de Giulio Fagnano'dan resmi incelemesi için 1750'de yayınlanan Produzioni Matematiche başlıklı iki ciltlik bir eser aldı . Bu çalışma , kutupsal koordinat denklemi ve cebirsel denklemi olan lemniscate'nin yay uzunluğunu iki katına çıkarmak için formülü içeriyordu . Euler bu çalışmadan büyük ölçüde ilham aldı ve cebirsel fonksiyonlarda yeni bir alan yaratılmasına yardımcı oldu . ${\ displaystyle r ^ {2} = bir ^ {2} \ cos (2 \ teta)}$ ${\ görüntü stili (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = bir ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2})}$

Euler, bugün eliptik integraller için toplama teoremi (birinci tür) olarak bilinen sonucu kanıtlayabildi. Bir tam sayılarla kümelenirse, eşitlikten çıkar ${\ displaystyle R (t) = 1 + mt ^ {2} + nt ^ {4}}$${\ görüntü stili m, n}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ matematik {d} t} {\ sqrt {R (t)}}} + \ int _ {0} ^ {y} {\ frac { \ matematik {d} t} {\ sqrt {R (t)}}} = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ matematik {d} t} {\ sqrt {R (t)}} }}$

çoktan

${\ displaystyle z = {\ frac {x {\ sqrt {R (y)}} + y {\ sqrt {R (x)}}} {1-nx ^ {2} y ^ {2}}}.}$

Buna Euler'in toplama teoremi denir . 1753'te Euler, genellikle doğrudan toplama teoremi ile ilgili olan eliptik integraller için birçok toplama formülü keşfetti.

Sayı teorisi ve kombinatorik

Euler'in sayılar teorisine olan ilgisi , St. Petersburg Akademisi'ndeki arkadaşı Christian Goldbach'ın etkisine kadar uzanabilir . Sayı teorisi temel olarak doğal sayıların ve özelliklerinin bilimidir . Bir sayının teorik bir özelliği, örneğin, başka bir sayıya bölünüp bölünemeyeceği veya kaç sayıya bölünebileceğidir. Örneğin, Euler ki, bir bilgi vardı tek sayı daha büyük olan , sadece bölünebilir ile ve tek başına (a, asal sayı ) Sadece varsa bir olasılığı ayrı dizisinden iki nispeten toplamı olarak yazma, ana pozitif kareler. Böylece aynı anda bir doğal sayı olarak temsil edilebilir . (Aynı şey asal sayıların kare sayıları için de benzer şekilde geçerlidir, örneğin ). Örneğin, sayının önemsiz bir böleni vardır, bu nedenle asal bir sayı değildir.${\ görüntü stili 1,2,3, ...}$${\ görüntü stili 1}$${\ görüntü stili 1}$${\ displaystyle 4n + 1}$${\ görüntü stili n}$${\ displaystyle 25 = 5 ^ {2} = 4 \ kere 6 + 1 = 3 ^ {2} + 4 ^ {2}}$${\ görüntü stili 1 \ 000 \ 009}$

${\ displaystyle 1 \ 000 \ 009 = 1 \ 000 ^ {2} + 3 ^ {2} = 972 ^ {2} + 235 ^ {2}.}$

Ama durumda, tutar sayılar olduğunu ve asal olup, aksi iki önemsiz olmayan kareler içine ayrışma başka olasılığı vardır. Yani olan bir asal sayı. Ancak, diğer yandan, her asal sayının iki karenin toplamı olarak yazılamayacağına dikkat edilmelidir. Yalnızca formun asal sayıları her zaman iki kare sayının toplamıdır. Euler'in sayılar teorisi üzerine ilk çalışmalarının çoğu Pierre de Fermat'ın çalışmalarına dayanmaktadır . Euler, Fermat'ın bazı fikirlerini geliştirdi ve bazı tahminlerini reddetti. ${\ görüntü stili 29}$${\ displaystyle 29 = 5 ^ {2} + 2 ^ {2} = 4 \ kere 7 + 1}$${\ görüntü stili 2}$${\ görüntü stili 5}$${\ görüntü stili 29}$${\ displaystyle 4n + 1}$

Çeşitli sayılar ve sayı dizileri Euler'den sonra adlandırılır, bkz. Euler sayıları (anlam ayrımı) .

Temel sayı teorisi

Örneğin, Fermat'ın tüm Fermat sayılarının aynı zamanda asal sayılar olduğu varsayımını , sayının 641'e bölünebildiğini göstererek reddetti . ${\ displaystyle F_ {5} = 2 ^ {2 ^ {5}} + 1}$

Öklid'den beri matematikçileri büyüleyen mükemmel sayılar teorisine büyük katkı yaptı . Euler (çift) mükemmel sayılar arasındaki ilişki olduğu kanıtlanmıştır Mersenne asal Öklid ile gösterilen bir çift birine bir olarak bilinen bir sonucu Öklid-Euler teoremi . 1772'de Euler, Goldbach'a yazdığı bir mektupta 2.147.483.647'nin bir Mersenne asal sayısı olduğunu doğru bir şekilde belirtti . 1867'ye kadar bulunan en büyük asal sayı olarak kabul edildi. 1732 gibi erken bir tarihte 19 basamaklı mükemmel sayıyı elde edebildi. ${\ displaystyle 2 ^ {31} -1 =}$

${\ displaystyle P = 2 ^ {30} \ cdot (2 ^ {31} -1)}$

inşa etmek.

cebirsel sayı teorisi

Fermat'ın küçük teoremi için birkaç kanıt verdi ve bir kanıt yayınlayan ilk kişi oldu (1683'te Leibniz tarafından verilen kanıt 1894'e kadar ortaya çıkmadı). İlk kanıtı, o zamanlar için alışılmadık olan tümevarımla oldu. Ayrıca Euler'in phi fonksiyonunu tanıttı . Bu fonksiyonun özelliklerini kullanarak, Fermat'ın küçük teoremini şimdi Euler teoremi olarak bilinen şeye genelleştirdi .

Euler , 1751'de her pozitif rasyonel sayının dört rasyonel karenin toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlayarak Lagrange'ın dört kareler teoremi için önemli hazırlık çalışmaları yaptı . Daha önce, 1748'de Goldbach'a yazdığı bir mektupta kimliği vardı.

${\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2} + d_ {1} ^ {2}) (a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} + d_ {2} ^ {2})}$

${\ displaystyle {} = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2} -c_ {1} c_ {2} -d_ {1} d_ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle {} + {} (a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2} + c_ {1} d_ {2} -d_ {1} c_ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle {} + {} (a_ {1} c_ {2} -b_ {1} d_ {2} + c_ {1} a_ {2} + d_ {1} b_ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle {} + {} (a_ {1} d_ {2} + b_ {1} c_ {2} -c_ {1} b_ {2} + d_ {1} a_ {2}) ^ {2}}$

bahsedilen, bu da sorunu asal sayılara indirgemiştir. Lagrange, herhangi bir pozitif tam sayının dört tam karenin toplamı olarak yazılabileceğini gösterdikten sonra , kısa bir süre sonra Euler daha basit bir ispat sağladı. Uygulanır, örneğin

${\ displaystyle 34 = 5 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1 ^ {2} = 25 + 4 + 4 + 1.}$

Partitio numerorum ile meşgul olmasından kaynaklanan Euler'in çalışmasının bir başka fikri de Lagrange teoremini kanıtlamaktır. Bunu yapmak için güç serisine baktı.

${\ displaystyle (1 + q + q ^ {4} + q ^ {9} + q ^ {16} + \ dotsb) ^ {4} = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {4 } (n) q ^ {n},}$

burada tüm n için dört kare teoremi yeterlidir. Euler, Goldbach'a yazdığı mektuplarda ve bazı makalelerde (E394, E586 gibi) bu kanıt fikrini ima etti. Bu yüzden Ağustos 1750'de şöyle yazdı: "Bu yol bana kanıta ulaşmanın en doğal yolu gibi görünüyor [...]". Dikkate alınan kuvvet serisi, değiştirilmiş bir teta serisinin dördüncü kuvvetidir - Jacobi daha sonra Lagrange teoremini tamamen analitik olarak kanıtlamak için bu yola gitti. ${\ displaystyle A_ {4} (n)> 0}$

Ayrıca Fermat'ın iki karenin toplamı hakkında teoremini gösterdi . Bu, pozitif bir tam sayının ne zaman iki tam karenin toplamı olarak yazılabileceğine dair bir kriter sağlar. Örneğin, aşağıdaki geçerlidir , ancak sayı için böyle bir ayrıştırma olasılığı yoktur. ${\ displaystyle 13 = 3 ^ {2} + 2 ^ {2} = 9 + 4}$${\ görüntü stili 7}$

Euler, durumlar için Fermat'ın büyük teoremini gösterdi ve . Sıfırdan büyük hiçbir kare sayının sıfırdan büyük iki çift sayının toplamı olarak yazılamayacağını kanıtladı , bu zaten denklemin pozitif tamsayı çözümleri olmadığını ima ediyor . Durumda Euler çarpanlarına için . Euler, Gauss sayılarının bu varyantını ve benzersiz çarpanlara ayırmanın örtük bir varsayımını kullanarak , durumun imkansızlığını gösteren bir kanıt oluşturabildi . Duruma ilişkin ispatında olduğu gibi , Euler'in ispatı da öncelikle cebirsel sembollerin manipülasyonlarına ve parite argümanlarına dayanıyordu ve çok az yeni yöntem getirdi. Ancak kendisinden sonraki nesiller boyunca matematikçiler gibi, Euler de Fermat'ın büyük teoreminin genel ispatında başarısız oldu. Tam bir kanıt ancak 1995 yılında Andrew Wiles ve Richard Taylor tarafından yarı kararlı eliptik eğriler için modülerlik teoreminin bir sonucu olarak verildi .${\ görüntü stili n = 3}$${\ görüntü stili n = 4}$${\ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} = z ^ {4}}$${\ görüntü stili n = 3}$${\ displaystyle p ^ {2} + 3q ^ {2}}$${\ görüntü stili (p + q {\ sqrt {-3}}) (pq {\ sqrt {-3}})}$${\ görüntü stili n = 3}$${\ görüntü stili n = 4}$

Euler , daha sonra Carl Friedrich Gauß tarafından kanıtlanan ikinci dereceden karşılıklılık yasasından şüphelendi . Bu, sayılar teorisindeki en temel kavramlardan biridir.

kombinatorik

Kombinatorik ancak daha sonra matematiğin yeni bir modern dalı haline gelse de , sayma problemlerinin uzun ve erken bir geçmişi vardır. Euler, permütasyon ve kombinasyon problemlerini ele aldı ve belirli bir problemi şu şekilde formüle etti: Herhangi bir harf dizisi verildiğinde , hiçbirinin orijinal konumuna geri dönmemesi için onu yeniden düzenlemek için kaç olasılık var? Bu bağlamda, Euler , harflerin hiçbirinin orijinal konumuna geri dönmediği harflerin permütasyon sayısını temsil eden gösterimi tanıttı . Böyle bir permütasyon, bugün sabit nokta içermeyen bir permütasyon olarak bilinir . ${\ görüntü stili n}$${\ görüntü stili a, b, c, d, e, \ noktalarc}$${\ görüntü stili \ Pi (n)}$${\ görüntü stili n}$${\ görüntü stili a, b, c, d, e, \ noktalarc}$

Basit bir argümanla Euler , çift özyineleme formülü de dahil olmak üzere için birkaç özyineleme formülünü kanıtladı.${\ görüntü stili \ Pi (n)}$

${\ displaystyle \ Pi (n) = (n-1) \ sol (\ Pi (n-1) + \ Pi (n-2) \ sağ).}$

Açık formülü de verdi.

${\ displaystyle \ Pi (n) = n! \ sol (1 - {\ frac {1} {1!}} + {\ frac {1} {2!}} - {\ frac {1} {3!} } + \ dotsb + {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ sağ)}$

bu, sabit nokta içermeyen permütasyonların ve tüm permütasyonların bölümünün hızla sayıya yakınsadığını kanıtlar .${\ görüntü stili n!}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {e}} \ yaklaşık 0 {,} 367879}$

Beşgen sayı teoremi de Euler'e dayanmaktadır.

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-x ^ {n}) = \ toplam _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} x ^ {n (3n-1) / 2}}$

1750'de gösterdi . Bölmeler için bir özyineleme formülü bundan türetilebilir. Bu, Percy Alexander MacMahon tarafından yukarı bölme fonksiyonunun değerlerini hesaplamak için kullanıldı . Önemli olan fonksiyon , doğal sayıların toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabileceğidir . Örneğin çünkü . Uygulanır . Beşgen sayı teoremi aynı zamanda kombinatorik ve modüler formlar teorisi arasında bir köşe taşıdır . ${\ görüntü stili p (n)}$${\ görüntü stili n = 200}$${\ görüntü stili p (n)}$${\ görüntü stili n}$${\ görüntü stili p (4) = 5}$${\ displaystyle 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1}$${\ Displaystyle p (200) = 3,972,999,029,388}$

Analitik sayı teorisi

Euler, asal sayı dağılımının doğasını analizden elde edilen fikirlerle ilişkilendirdi. Örneğin asal sayıların karşılıklı değerlerinin toplamının birbirinden uzaklaştığını ispatlamıştır . Bunu yaparken Riemann zeta fonksiyonu ile asal sayılar arasındaki bağlantıyı buldu ; onun keşfi bugün Riemann zeta fonksiyonu için Euler çarpım formülü olarak bilinir :

${\ displaystyle \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p \, \ matrm {asal sayı}} {\ frac {1 } {1 - {\ tfrac {1} {p ^ {s}}}} = {\ frac {1} {\ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ sağ) \ cdots}},}$

burada çarpım tüm asal sayıların üzerine uzanır . Daha sonra ortaya çıktığı gibi, bu özdeşliğin asal sayıların dağılımı hakkındaki ifadeler için geniş kapsamlı sonuçları vardır. Euler'in bu alandaki çalışması, asal sayılar teoreminin geliştirilmesine yol açtı .

Devam eden kesirler

Euler, seleflerinin önceki çalışmalarına dayanarak, sürekli kesirler üzerine araştırmalarına başladı ve 1737'de De Fractionibus Continuis adlı bir çalışmada birçok yeni fikir ve sonuç yayınladı . Ayrıca, herhangi bir rasyonel sayının sonlu bir sürekli kesir ile temsil edilebileceğini kanıtladı ve sayı için aşağıdaki biçimde sonsuz bir sürekli kesir gösterimi buldu : ${\ displaystyle \ matematik {e}}$

${\ displaystyle \ matrm {e} = 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac) {1} {4 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {6+ \ dotsb}}}}}}}}}}}}}} } }}$

Euler bundan ( ve sürekli bir kesir olarak eşit derecede sonsuz bir temsilden ) ve'nin mantıksızlığını çıkardı . O için (yeni fraksiyonların numerators sadece onlar olmaksızın) düzenli olmayan devamı fraksiyonlarını vermiştir daire numarası gibi,${\ displaystyle \ matematik {e} ^ {2}}$${\ displaystyle \ matematik {e}}$${\ displaystyle \ matematik {e} ^ {2}}$ ${\ görüntü stili \ pi}$

${\ displaystyle \ pi = 3 + {\ frac {1 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {7 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {9 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {11 ^ {2}} {6+ \ dotsb}}}}}}}}}} } }$

Ayrıca, ikinci dereceden bir denklemin çözümünün, ancak ve ancak periyodik olarak sürekli bir kesir genişlemesine sahipse gerçek olduğunu söyleyen bir teoremi kanıtladı.

Euler-Mascheroni sabiti

Euler ilk olarak 1734'te (muhtemelen daha erken) doğal logaritmaların büyümesi ile harmonik dizi arasındaki bağlantıyı keşfetti . Terimler artan değerler için 0'a yönelse de, aşağıdakiler geçerlidir ${\ görüntü stili {\ tfrac {1} {n}}}$${\ görüntü stili n}$

${\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + \ dotsb = \ infty.}$

Yani tüm doğal sayıların karşılıklı değerlerinin toplamı sınırsızdır. Bununla birlikte, terim harmonik diziden çıkarılırsa, sınırsız büyüme ortadan kalkar ve fark şimdi Euler-Mascheroni sabiti veya Euler sabiti olarak adlandırılan bir değere yakınsar : ${\ displaystyle H_ {N} = 1 + {\ tfrac {1} {2}} + \ dotsb + {\ tfrac {1} {N}}}$${\ görüntü stili \ günlük (N)}$

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sol (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ dotsb + {\ frac { 1} {N}} - \ günlük (N) \ sağ) \ yaklaşık 0 {,} 57721.}$

Bu temel tanıma rağmen, bugüne kadarki cebirsel özellikler büyük ölçüde açıklanamamıştır. Mantıksız olduğuna inanılıyor , ancak bununla ilgili henüz bir kanıt bulunamadı. 1736'da E47 adlı makalesindeki sayıyı 15 basamaklı olarak hesaplamıştı.${\ görüntü stili \ gama}$${\ görüntü stili \ gama}$ ${\ görüntü stili \ gama}$

Geometri, topoloji ve grafik teorisi

geometri

Euler, geometrideki keşiflerinin çoğunu cebirsel ve analitik yöntemleri kullanarak yaptı. Hem düz hem de küresel trigonometri olan öğretim yapısı, mevcut biçimini - notasyon dahil - Leonhard Euler'e borçludur. Johann Bernoulli tarafından bir yüzey üzerindeki jeodezik çizgiler üzerinde başlatılan çalışmaları, diferansiyel geometrinin daha sonraki gelişimi için trend belirleyiciydi . Daha da büyük önem buluşları olan alan teorisi hangi, Gaspard Monge ve diğer araştırmacılar birbiri ardına devam ediyorum. Daha sonraki yıllarda, Euler nihayet uzay eğrilerinin genel teorisi üzerindeki çalışmasına Clairaut'un 1731'de bıraktığı yerden devam etti - ancak bunlar yalnızca ölümünden sonra basıldılar.

Diferansiyel geometrinin temellerinde, bir eğrinin eğriliği için katkılarda bulundu ve salınımlı dairelerin yarıçapları için analitik bir formül türetti . Ayrıca bir yüzeyin iki ana normal bölümünü ve ana eğrilikleri keşfetti ve . Onun sonuçlarından biri, sözde Euler denklemi, ana eğriliğe sahip bölümlerden biriyle açı oluşturan herhangi bir normal bölümün eğriliğini şu şekilde verir: Geliştirilebilir yüzeylerle (örneğin bir silindir) ilk ilgilenen Euler'di . veya bir koni ) kullanılan, d. H. Gerilme veya yırtılma gibi bozulma olmadan bir düzlemde deforme olabilen yüzeyler. Bir yüzeye, uzayda düz bir çizgi hareket ettirilerek oluşturulabiliyorsa , yönetilen yüzey (örneğin silindir, koni, hiperboloid veya hiperbolik paraboloid ) denir .${\ görüntü stili \ kappa _ {1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$${\ görüntü stili \ kappa}$${\ görüntü stili \ alfa}$${\ displaystyle \ kappa = \ kappa _ {1} \ cos ^ {2} (\ alpha) + \ kappa _ {2} \ günah ^ {2} (\ alpha).}$

Euler tamamen matematiksel bir şekilde tespit bilinmektedir daire involüt, ilk Jakob Bernoulli ve incelenmiştir Christiaan Huygens , dişlilerin yanları için en uygun profil şekli gibi. Mantıklı kullanılırsa, bu eğri sürtünme kaybı, düşük gürültü seviyeleri ve güç aktarımı ile ilgili olarak optimum mekanik özellikler sağlar (Euler'in bu keşfi veya icadı, 19. yüzyıla kadar sarmal dişli ile teknik olarak gerçekleştirilmemiştir ). Daha az bilinen şey ise, 1762 gibi erken bir tarihte yazılan E330 adlı bu çalışmada Euler'in şimdi Felix Savary adlı denklemi öngördüğüdür. Tespit için kullanılan çapındaki bir kavis bir haddeleme eğrisi ve onun eğrilik merkezleri zarif inşa edilmesini sağlar.

Euler, temel geometri içinde, diğer şeylerin yanı sıra, çift ​​oranın bir öncüsü ve Hipokrat'ın "küçük ayı" ile ilgilenir . Geniş aralıklı iki eseri E73 ve E423'ü ikincisine adadı. Euler, 1779 tarihli kısa bir E648 incelemesinde Apollonius'un sözde taktik problemini çözdü . Bu, düzlemde rastgele verilen üç daireye dokunan bir (dördüncü) dairenin (temel her zaman mümkün) yapısını gerektirir. Ancak bu sorun, Euler'den önce François Viète , Isaac Newton ve diğerleri tarafından zaten çözülmüştü. Kısa bir süre sonra, E733'te, sorunu üç boyutlu uzaya genelleştirdi ve temas küresinin yapısını, keyfi olarak verilen dört küre olarak buldu. Bu yapı da yalnızca ikinci dereceden bir denkleme yol açar ve bu nedenle basit bir şekilde gerçekleştirilebilir.

topoloji

14 Kasım 1750 tarihli Berlin'den Saint Petersburg'daki Christian Goldbach'a bir mektupta Euler, dışbükey çokyüzlülerin önemli boyutları arasında temel bir ilişki keşfettiğini duyurdu. Buluşu , düzlemsel bir grafik olan dışbükey bir çokyüzlülüğün köşe ( E ), kenar ( K ) ve yüzey ( F ) sayısının formülüydü . Bugün bu teoreme Euler'in çokyüzlü teoremi denir . ${\ displaystyle E-K + F = 2}$

• 

  Muhtemelen en belirgin dışbükey polihedron küptür : 8 köşesi, 12 kenarı ve 6 yüzü vardır,
  8 - 12 + 6 = 2

• 

  Bir dodecahedron'un 20 köşesi, 30 kenarı ve 12 yüzü vardır. Aşağıdakiler geçerlidir:
  20 - 30 + 12 = 2

• 

  Bir ikosahedron 12 köşe, 30 kenar ve 20 yüze sahiptir. Soldakine benzer şekilde, 12 - 30 + 20 = 2 geçerlidir
  

Mektubundan sekiz yıl sonra, 1758'de konuyla ilgili iki makale yayınladı. İlki keşfini içeriyordu, ikincisi bunu kanıtlama girişimi. Euler'in incelenen nesneleri tek tek dörtyüzlülere bölmek istediği kanıtı, günümüz standartlarına göre ciddi bir hata içeriyordu. Bu boşluk 1924'te Henri Lebesgue tarafından vurgulandı.

Euler, çalışmasıyla tüm çokyüzlüleri sınıflandırabilmeyi umdu, ancak bu hedefe ulaşamadı. İki eserin yayınlanmasından sonra artık konuya dönmedi.

Euler'in çokyüzlü kümesindeki sabit, artık grafiğin (veya başka bir matematiksel nesnenin) Euler özelliği olarak bilinir ve nesnenin matematiksel cinsiyetiyle doğrudan ilişkilidir. Çokyüzlü ikamesinin ilk tam kanıtı yalnızca Adrien-Marie Legendre'den geldi . Bu formülün özellikle Cauchy ve L'Huilier tarafından çalışılması ve genelleştirilmesi ( cebirsel ) topolojinin başlangıcını işaret eder .

Grafik teorisi

1735'te (1741'de Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis çalışmasıyla yayınlandı ) Euler, Königsberg köprüsü sorununa bir çözüm sundu . Kenti Königsberg de Prusya üzerinde yatıyordu Pregel Nehri ve yedi köprülerle birbirlerine ve anakaraya bağlanmıştır iki büyük adalar oluşur. Sorun, her köprüyü tam olarak bir kez geçen ve başlangıç ​​noktasına dönen bir yol seçmenin mümkün olup olmadığına karar vermektir. Bu mümkün değildir, çünkü tek sayıda köprü en az bir kara parçasına yol açar. Bu koşul, merkezi adaya giden köprüler tarafından zaten karşılanmaktadır. Köprü problemi , şehir haritasına karşılık gelen grafik için bir Euler çemberi olup olmadığı sorusuyla eş anlamlıdır .

Bu çözüm, çizge kuramının , özellikle de düzlemsel çizge kuramının ilk teoremi olarak kabul edilir .

Uygulamalı matematik

Sayısal ve diferansiyel denklemler

Euler-Maclaurin Formülü

Euler formülü 1732'de keşfetti.

${\ displaystyle \ toplam _ {k = 0} ^ {n} f (k) = \ int _ {0} ^ {n} f (t) \ matematik {d} t + {\ frac {f (0) + f (n)} {2}} + \ toplam _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ sol (f ^ {(2k-1)} ( n) -f ^ {(2k-1)} (0) \ sağ) + R_ {m}}$

ile Bernoulli sayı ve geri kalanı ${\ görüntü stili B_ {k}}$

${\ displaystyle R_ {m} = {\ frac {1} {(2m + 1)!}} \ int _ {0} ^ {n} B_ {2m + 1} (t) f ^ {(2m + 1) } (t) \ matematik {d} t.}$

Bernoulli polinomları ifade eder . Bu, Colin Maclaurin tarafından bağımsız olarak bulundu ve şimdi Euler-Maclaurin formülü olarak adlandırılıyor . Formül, toplamlar ve integral arasında bir ilişki oluşturur . Arkadaki terimler , sınır noktalarında (daha yüksek) türevlerini içerir ve genellikle akıllıca (genellikle çok yüksek olmayan) bir seçimle hızlı bir şekilde hesaplanabilir. Euler ve Maclaurin'in ampirik formülü, toplamı hesaplamanın çok zor olduğu ancak integralin hesaplanmasının kolay olduğu durumlarda kullanışlıdır. Örneğin ${\ displaystyle B_ {2m + 1} (t)}$ ${\ displaystyle f (0) + f (1) + \ cdots + f (N)}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {N} f (x) \ matematik {d} x}$${\ görüntü stili f}$${\ görüntü stili m}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {N ^ {2}}}}$

faturayı genel olarak hesaplamak zor

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {N} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ matrm {d} x = \ sol [- {\ frac {1} {x}} \ sağ ] _ {1} ^ {N} = 1 - {\ frac {1} {N}}}$

gerçekleştirilmesi çok daha kolaydır (ayrıca bkz: İntegral hesap ve terstürev ) - toplam formülünün herhangi bir belirli limite ayarlanmadığına ve bu nedenle 0 yerine 1 ile başlayabileceğine dikkat edilmelidir. Alternatif olarak, büyük bir başlangıç ​​değerinden başlarsanız , yaklaşık olarak şu şekilde verilir: ${\ görüntü stiliN}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {N ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {(N + 1) ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {(N + 2) ^ {2}}} + \ cdots}$

${\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \ matrm {d} x + \ lim _ {M \ to \ infty} {\ frac {{ \ frac {1} {N ^ {2}}} + {\ frac {1} {M ^ {2}}}} {2}} + \ lim _ {M \ to \ infty} \ toplam _ {k = 1 } ^ {m} B_ {2k} \ sol ({\ frac {1} {N ^ {2k + 1}}} - {\ frac {1} {M ^ {2k + 1}}} \ sağ) = { \ frac {1} {N}} + {\ frac {1} {2N ^ {2}}} + \ toplam _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {B_ {2k}} {N ^ { 2k + 1}}}.}$

Öte yandan, ampirik formül, ayrık toplamları kullanarak (hesaplanması zor olan) bir integrali tahmin etmek için kullanılabilir. Buna göre, Euler, yavaşça yakınsayan sonsuz serileri sayısal olarak hızlı bir şekilde yaklaşıklamak için bu formülden yararlandı. Bu yüzden değerler için çok yakın değerler verdi ve ve bulunan 20 haneli aynen: ${\ görüntü stili \ zeta (3)}$${\ görüntü stili \ zeta (4)}$${\ görüntü stili \ zeta (2)}$

${\ displaystyle \ zeta (2) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ yaklaşık 1 {,} 64493406684822643647.}$

Euler bunun yerine böyle bir kesinlik için terimleri "safça" özetlemiş olsaydı, toplam başına 20 saniye ile gereken süre yaklaşık 63 trilyon yıl olurdu . Hesaplama Euler'in orijinal yöntem kanıtlanmıştır yüksek değerler için kurulan sayısal matematik yeni bir araştırma alanı olarak.${\ görüntü stili {\ tfrac {1} {n ^ {2}}}}$${\ görüntü stili \ zeta (n)}$${\ görüntü stili n}$

Açık Euler yöntemi

On yedinci ve on sekizinci yüzyıllarda matematikçiler, basit diferansiyel denklemleri temel fonksiyonlar ve kareler cinsinden çözmek için ciddi girişimlerde bulundular. Bu yöntemler başarısız olduğunda, sonsuz seriler ve sayısal yöntemler kullanarak denklemleri çözdüler. 1768'de Euler , sıradan bir diferansiyel denklemin sayısal çözümü için basit bir sonlu farklar yöntemi geliştirdi.

${\ displaystyle {\ frac {\ matematik {d} y} {\ matematik {d} x}} = f (x, y)}$

verilen ilk durumuna . Noktalar arasında düzgün bir adım boyutu ile , Euler noktaları ile oluşturdu ve ardından formülü aldı. ${\ görüntü stili y (x_ {0}) = y_ {0}}$${\ görüntü stili h}$${\ displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc}$${\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {0} + (n + 1) h = x_ {n} + h,}$${\ görüntü stili n = 0,1,2, \ noktalarc}$

${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (x_ {n}, y_ {n}) = y_ {n} + hy_ {n} '+ O (h ^ {2}).}$

İşte atıfta Landau Ey notasyonu ve ötesinde hata gürültü bu durum araçlarında başlıca nedeni "küçük" bir numaraya doğru ifade aşılmaz. Eğer sürekli, ardından Euler poligon çizgiler dizisi yakınsar eşit olan fonksiyonu bilinmeyen için yeterince küçük bir belli bir aralıkta bulunur.${\ displaystyle O (h ^ {2})}$${\ displaystyle y_ {n} + hy_ {n} '}$${\ görüntü stili h ^ {2}}$${\ görüntü stili f (x, y)}$${\ displaystyle h \ 0'a kadar}$${\ görüntü stili y (x)}$${\ görüntü stili x_ {0}}$

Euler açısı

Önemli Euler açıları onun adıyla anılır. Üç boyutlu Öklid uzayında katı bir cismin yöneliminin (dönme konumu) tanımlanabileceği üçlü bir açıdır . Herhangi bir noktanın dönme konumunun hesaplanabileceği cebirsel bir açıklama, yalnızca Euler tarafından 1775'ten itibaren artan derinlikte formüle edildi. İlk çalışmasında, haritalama matrisinin (dönmeyi tanımlayan) dokuz elemanının, bir hareketin uzunluk doğruluğu nedeniyle birbirinden bağımsız olmadığını, sadece Euler açısı olan karşılıklı olarak bağımsız üç açı tarafından belirlendiğini gösterdi.

Gelen aerodinamik ait uçakların , Euler açıları bu güne kadar kullanılmaktadır. Bir uçağın dünyaya göre konumunu ve yönünü tanımlamak için yere sabitlenmiş bir koordinat sistemi kullanmak yaygın bir uygulamadır. Koordinat sistemi olduğu olmayan bir Kartezyen Sistem , genellikle hava dinamikleri formülasyonu ile bazı problemler vardır. Bu, daha fazla farklılaşma ile karşılanabilir. Uçağın konumu, yere sabitlenmiş bir koordinat sistemi aracılığıyla en iyi şekilde tanımlanabilirken , hareket denklemindeki atalet tensörünün bileşenleri , uçağın ağırlık merkezine sahip olan bir koordinat sistemi aracılığıyla en iyi şekilde tanımlanır. onun kökeni. Bir uçağın dünyaya göre oryantasyonu artık Euler açıları kullanılarak tanımlanabilir. Bu nedenle, üç Euler açı dönüşü vasıtasıyla iki üst koordinat sistemi arasındaki dönüşümü elde etmek gereklidir.

Piyangolar

Euler ayrıca piyangolarla da uğraştı . 1749'da Roccolini adında bir İtalyan işadamı, o zamanki Prusya Kralı Büyük Frederick'e 1'den 90'a kadar beş sayının çekileceği bir piyango sistemi getirme önerisiyle yaklaştı. Kral, teklifi Almanya'da bir devlet piyangosunun başlatılmasıyla ilgili matematiksel bir kontrol talebiyle bilimsel danışmanı Euler'e gönderdi. Kraliyet isteği üzerine Euler, Ceneviz piyango sisteminin çeşitli yönlerini analiz etmekle çok ilgilenmeye başladı ve bu şans oyununu analiz ederken kombinatoryal sorunları ele aldıktan sonra gelişmiş bir piyango sistemi geliştirdi. Sonuç olarak, Berlin Piyangosu 1763'te Almanya'da kuruldu.

Prusya'nın ilk piyangosunu düzenlediği yıl , Euler, Berlin Akademisi'nin önünde bu piyangonun ayrıntılı ve genel bir analizini içeren bir makale okudu. Euler'in çalışması ölümünden sonra yayınlandı. Euler elde ettiği temel sonuç, ki burada bahsi kazanma olasılığı için bir formül bulmak idi r doğru tahmin edilmelidir gelen T olmak üzere toplam dışarı çekilir sayı n . Onun formülü şuydu:

${\ displaystyle \ prod _ {j = 1} ^ {r} {\ frac {t-j + 1} {n-j + 1}}}$

Euler, bu olasılık hesaplamalarını kullanarak, piyango organizatörlerinin kâr etme olasılığını göz önünde bulundurarak, tüm bahislerdeki ödemeler için üç pratik senaryo hesapladı.

nüfus artışı

1907'de, Euler'in ölümünden neredeyse 125 yıl sonra, Alfred J. Lotka , nüfus artış oranlarını hesaplamak için Euler-Lotka denklemini türetmek için Euler'in Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du tür humain adlı çalışmasını kullandı . Bu, bugüne kadar popülasyon biyolojisi ve ekolojisinde kullanılan temel bir yöntemdir .

fizik

mekanik

"Programına" göre, Euler'in mekanik üzerine incelemeleri şu alanlara ayrılabilir: Mekaniğin temelleri (maddenin yapısı ve yapısı, kuvvet ve kuvvet ölçüsü, mekaniğin ilkeleri), maddi noktaların mekaniği, rijit mekaniği, mekanik esnek elastik olmayan, elastik mekanik, sıvı mekaniği ve gaz halindeki cisimlerin mekaniği . Gibi yazılarında Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736), Découverte d'un nouveau Principe de mécanique (1752) ve katı cisimlerin hareket kuramı (1765), Euler fizik sorularına uygulamalı matematik. Clifford Truesdell'e göre , "aslında, az sayıda hareket mekaniğe bahsedilen ikinci çalışma kadar katkıda bulunur".

Sert gövde mekaniği

Euler, o zamanlar genel olarak kabul edilen mekaniğin ilkelerinin, katı bir cismin hareketi sorununu tam genel olarak çözmek için yetersiz olduğunu fark etti . Teoremi açısal momentumu (uzayda sabit bir eksen etrafında) zaten bulunabilir - örtük olarak formüle - onun için Euler 1734 el yazması Mechanica ve onun içinde Scientia Navalis 1738 yılında yazılı ama sadece 1749 yılında yayınlandı, . Ayrık kütle noktaları sistemleri için açısal momentum teoremi (uzayda sabitlenmiş bir eksene göre) ilk kez Euler tarafından ay düğümlerinin hareketi üzerine bir incelemede türetilmiştir. 1744 ve 1750'de yayınlandı. 3 Eylül 1750'de, Berlin Akademisi'nin önünde, Euler'in katı cisim rotasyonu denklemi bağlamında “kuvvet eşittir kütle çarpı ivme” ilkesini kendisinin yeni bir keşfi olarak sunduğu bir anı okudu . Bununla birlikte, Euler'in açısal momentum yasasını en genel geçerli biçiminde bağımsız yeni bir mekanik ilke olarak yayınlaması 1775 yılına kadar değildi. Johann Bernoulli'nin Hydraulica adlı çalışmasındaki bir fikrinden ve bir kesme ilkesinin sonsuz derecede küçük hacimli bir elemana uygulanmasından Euler , mekaniğin momentum ilkesini elde etti ,

${\ displaystyle \ matrm {d} K = \ matrm {d} m \ cdot {\ frac {\ matrm {d} ^ {2} x} {\ matrm {d} t ^ {2}}}}$

yani günümüzde çok yaygın olan, her zaman Newton'a atfedilen ancak bu haliyle orada bulunmayan “ kuvvet = kütle × ivme ”.

Akışkanlar mekaniği

Tarihsel olarak, teorik akışkanlar mekaniğinde önemli ilerlemeler 18. yüzyılda Jean d'Alembert, Daniel Bernoulli, Alexis Clairaut ve Joseph Lagrange tarafından yapılmıştır . Bu büyük matematikçiler arasında Euler, ünlü hareket denklemlerini, akışkanlar mekaniğinin Euler denklemlerini kurarak akışkanlar mekaniğine en temel katkıları yaptı .

Euler'in akışkanlar mekaniği alanındaki ana çalışması, esasen süreklilik hipotezine ve Newton'un hareket yasalarına dayanıyordu . Çalışmaları, varyasyon hesabı ve kısmi diferansiyel denklemleri keşfetmesiyle kapsanan akışkanlar mekaniğinin matematiksel teorisinin temelini oluşturur . 1752'den 1761'e kadar olan dönemde hidrostatik ve hidrodinamiğe temel katkılarda bulundu ve 1757'de Mémories de l'Academie des Sciences de Berlin'de bu alanlarda birkaç önemli makale yayınladı . Bu makalelerden ilki , sıvıların temel genel kavramlarına, ilkelerine ve denge denklemlerine baktı . İkinci ve üçüncü tez, esas olarak kütle denkleminin (veya süreklilik denkleminin) korunumu ve sıkıştırılabilir akışkan akışlarının doğrusal olmayan Euler hareket denklemleri ile ilgilendi . Daha sonra viskoz olmayan , sıkıştırılamaz bir sıvı akışı için hareket denklemlerini ve süreklilik denklemini , ünlü d'Alembert paradoksunun katı bir cismin yanından akan viskoz olmayan bir sıvı akışındaki ilk kanıtıyla formüle etti .

Buna ek olarak, Leonhard Euler , Euler denklemlerine ek olarak Euler açılarını tanıttığı türbin denklemi ve jiroskopik teori alanlarında mekanikte çalıştı . Dünyanın ilk su türbininin geliştiricisi olarak kabul edilir. Euler türbininin yeniden yapılandırılması, %71'lik verimliliğinin modern türbinlerin (2015 itibariyle) sadece biraz altında olduğunu gösterdi. Çark tahrikinin ve geminin pervanesinin teknik olarak uygulanabilir prensibi de Euler'den kaynaklanmaktadır.

teknik mekanik

Bir sıkıştırma kuvveti ile yüklü bir çubuğun burkulmasının ilk analitik açıklaması da Euler'e kadar gider; istikrar teorisini kurdu . Mühendisliğin temel taşı haline gelen Euler-Bernoulli kiriş denkleminin geliştirilmesine yardımcı oldu.

astronomi

Euler analitik araçlarını klasik mekanikteki problemlere başarılı bir şekilde uygulamanın yanı sıra astronomiye de uyguladı - bu çalışma kariyeri boyunca Paris Akademisi'nden bir dizi ödülle tanındı. Başarıları arasında kuyruklu yıldızların ve diğer gök cisimlerinin yörüngelerini doğru bir şekilde belirlemek, kuyruklu yıldızların doğasını anlamak ve güneş paralaksını hesaplamak yer alıyor . Hesaplamaları, kesin boylam tablolarının geliştirilmesine katkıda bulundu .

Göre Victor J. Katz , Euler sistematik trigonometrik fonksiyonlar taşı nüfuz Avrupa'da ilk matematikçi olduğu kesindir. Bunu 1739'dan itibaren ortaya çıkan eserlerde yaptı. O istediğinde Birkaç yıl sonra trigonometrik fonksiyonların öneminin farkına çözmek için belirli diferansiyel denklemler , özellikle lineer diferansiyel denklemler ile sabit katsayılı . Trigonometrik fonksiyonlarla hesaplamanın, gezegenlerin ve uyduların hareketleri de dahil olmak üzere “periyodik fenomenleri” anlamanın anahtarı olduğu geriye dönük olarak açık bir gerçektir, Euler'den önce gökbilimciler için açık değildi. Euler, pertürbasyon probleminin formülasyonu ve çözümü ile ilgilenen ilk kişiydi - Newton'un yerçekimi yasası gezegen ve ay teorisinin temeli olarak kurulacaksa , formüle edilmesi ve çözülmesi gereken kilit problem .

Elindeki trigonometrik fonksiyonların hesaplanmasıyla bir dizi ay tablosu oluşturdu. Bunlar, 1746'da Opuscula varii argümanı'nda yayınlandı . Euler'in gezegensel düzensizliklerle başa çıkma konusundaki ilk girişimi, 1748'deki Paris Akademisi ödül yarışmasına yanıt olarak geldi. Ödül, “ bu gezegenlerin hareketlerinde neden olduğu eşitsizlikleri özellikle zamanlamayla ilgili olarak açıklayan bir Jüpiter ve Satürn teorisi” için verildi. onların birleşiminden ”. Newton, Principia'sında "bu gezegenin her birleşiminde Satürn'ün yörüngesinde bir bozulma" yazmıştı , "o kadar hassas ki gökbilimciler kayıpta". Paris Akademisi'nin 1748 ödül çekilişinin duyurusuna yanıt olarak Euler, her ikisi de 1747'nin ortalarında tamamlanan iki anı yazdı. Euler'in Berlin Akademisi'ne sunduğu ilkinde, bozulma problemi için diferansiyel denklemleri türetmiştir. Jüpiter'in Satürn'deki tedirginliklerinin bir türevi olan ikincisi, yarışmaya girdi ve ödülü kazandı, ancak Euler, Satürn'ün belirgin yavaşlamasını veya Jüpiter'in hızlanmasını açıklayamadı. Euler'in ödüllü makalesi, gezegensel bozulmalarla başa çıkmak için sunduğu yenilikçi yöntemlerden etkilendi.

optik

Gelen optik , o üzerine yayını ışık dalga teorisi ve optik hesaplanmasında lensler önlemek için renk hataları . O zamanlar yaygın olan Opticks'te Newton'un ışığın cisimcik teorisiyle çelişiyordu . 1740'lardan itibaren optik üzerine yaptığı çalışma, Christiaan Huygens tarafından önerilen ışığın dalga teorisinin, en azından ışığın kuantum teorisinin gelişimine kadar, baskın düşünce tarzı haline gelmesine katkıda bulundu .

Euler'in optik üzerine yazılarının neredeyse çoğunluğu, toplamda on beşten yedisi, dağılma sorunlarına ayrılmıştır. Diğer şeylerin yanı sıra, kırmızının mı yoksa morun mı daha yüksek frekansa sahip olduğu sorusuyla tekrar tekrar ilgilendi . Euler bu konudaki görüşünü üç kez değiştirdi, her seferinde duyduğu yeni bir deneyin onu yapmaya sevk ettiği teorik bir değerlendirmeye dayanarak. In nova Theoria , hala kırmızı büyük frekansını sahipti; ikisi arasında daha sonra çalışır o başka şeylerin yanı sıra dayanan bu görüşü, ince tabakaların renklerini gözlemleyerek kuramını düzeltti. Ancak daha sonra metal lamellerin esnekliği dikkate alınarak ilk yanlış görüşe ve son olarak da doğru olana geri dönülür.

balistik

1745'te Euler , İngiliz Benjamin Robins'in Topçuluğun Yeni İlkeleri adlı eserini Almancaya çevirdi. Aynı yıl Berlin'de , hızlı ve yavaş hareketlerde havanın direncinin (sic) farkının ( sic ) araştırılmasıyla birlikte tozun gücünün belirlenmesini içeren Yeni Topçu Prensipleri başlığı altında ortaya çıktı . Galileo'dan beri topçular, hava direncinin ihmal edilebilir olduğunu düşünerek mermilerin yörüngelerini paraboller olarak görüyorlardı . Robins, balistik üzerine ilk deneylerden birini gerçekleştirdi ve uçuş yolunun hava direncinden önemli ölçüde etkilendiğini gösterdi. Robins ve Euler'in yardımıyla “balistik üzerine ilk ders kitabı” oluşturuldu. Örneğin, Fransa'da (Fransızca tercümesiyle) askeri okullarda resmi bir ders kitabı olarak tanıtıldı. Napoleon Bonaparte onu bir teğmen olarak incelemek zorunda kaldı.

gemi yapımı

Daha az bilinenler, Euler'in Arşimet'in zaten edindiği ancak tekrar kaybettiği bilgiyi yenilediği gemilerin stabilite kriteri üzerine çalışmalarıdır . 19. yüzyıla kadar tahmin edilen, deniz mühendisliği üzerine ana çalışma olan Scientia navalis , Berlin'in ilk yıllarında ortaya çıktı.

cebir

Cebirde, Euler, diğer şeylerin yanı sıra, birliğin köklerinin açık biçimi üzerinde çalıştı . Bunlar denklemlerin çözümleri olarak görünür . 18. yüzyılda bu denklemlerin çözümlerini “radikaller” kullanarak cebirsel bir şekilde ifade etmek öncü bir problem olarak kabul edildi. Euler bu alanda da başarılı olmuş ve 'ye kadar olan birim denklemleri çözmüştür . Çözümleri kare ve küp kök olarak ifade eden prosedür teknik olarak özellikle zordur .${\ displaystyle x ^ {n} -1 = 0}$${\ displaystyle n \ leq 10}$${\ displaystyle x ^ {7} -1 = 0}$

Euler yoğun çalışılan Diofant denklemlerini formu ve vardır, tamsayılar ve bir kare sayısı. Daha genel olarak, tip denklemleri inceledi. ${\ displaystyle y ^ {2} = balta ^ {3} + b ^ {2}}$${\ displaystyle y ^ {2} = balta ^ {2} + bx + c}$${\ görüntü stili a, b, c}$${\ görüntü stili a> 0}$

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

burada diskriminant bir kare sayı değildir.${\ displaystyle \ Delta = B ^ {2} -AC> 0}$

Euler, sayısal denklemleri çözmek için yaklaşık yöntemler geliştirdi ve ayrıca -muhtemelen Daniel Bernoulli tarafından önerilen- eleme problemi üzerinde çalıştı . Newton'un m veya n dereceli iki cebirsel eğrinin en fazla mn kesişim noktasına sahip olabileceğine dair zaten bilinen teoremini kanıtlamayı başardı . Bu bağlamda o önemli kavram geldi bileşkesinin . 1750 tarihli iki E147 ve E148 makalesinde Euler, Cramer paradoksu denen şeyin sağlam bir açıklamasını yaptı .

1770'de Complete Guide to Cebir kitabını çıkardı . Kuartik denklemleri çözmek için bir yöntem geliştirdi . Euler ayrıca genel olarak Quintic denklemlerinin artık radikallerle ( yani kapalı kök ifade zincirleri ) çözülemeyeceğini fark etti . Ancak bu sonuç ancak daha sonra Niels Henrik Abel ve Évariste Galois tarafından kanıtlandı.

mantık

Euler, kıyassal akıl yürütmeyi göstermek için kapalı eğriler kullanmakla da tanınır . Bu diyagramlar Euler diyagramları olarak bilinir hale geldi. Şubat ve Mart 1761'de yazılan 101'den 108'e (bir Alman prensesine) mektuplar, bu bir yanlış isim olmasına rağmen, şimdi Venn diyagramları olarak bilinen diyagramları tanıtmaktadır. Mantıktaki matematiksel temsiller için diyagramlar, konuyla ilgili bazı on sekizinci yüzyıl incelemelerinde ortaya çıktı ve Johann Heinrich Lambert'in bunları Euler'in mektuplarından kısa bir süre önce kullanmış olması mümkündür . Mektuplar 101 ve 102'de Euler, genel fikirlerin sunumunda ve bunların genişletilmesinde disiplinli bir dile duyulan ihtiyacı vurguladı; Çeşitli kıyas biçimlerini ve varsayımsal önermeleri açıklamak için diyagramlar üzerinde daireler kullandı .

Euler diyagramı, kümeleri ve bunların ilişkilerini göstermenin diyagramatik bir yoludur. Euler diyagramları , düzlemde her biri miktarları temsil eden basit kapalı eğrilerden (genellikle daireler veya elipsler ) oluşur . Her Euler eğrisi, düzlemi iki alana veya “bölgeye” böler: sembolik olarak kümenin öğelerini içeren ve temsil eden iç alan ve kümeye ait olmayan tüm öğeleri temsil eden dış alan ( tümleyen ). Eğrilerin boyutları veya şekilleri önemsizdir. Diyagram, yalnızca bunların nasıl örtüştüğünü göstermeyi amaçlamaktadır. Her bir eğri tarafından sınırlanan alanlar arasındaki uzamsal ilişkiler (örtüşme, kapsama veya hiçbiri) küme-teorik ilişkilere ( kesişme , alt küme ve ayrıklık ) karşılık gelir. İç bölgeleri kesişmeyen eğriler ayrık kümeleri temsil eder İç bölgeleri kesişen iki eğri, ortak öğeleri olan kümeleri temsil eder ( boş olmayan kesişim): Her iki eğri içindeki bölge, öğeler kümesini temsil eder, iki küme ortaktır. Tamamen bir başkasının aralığında bulunan bir eğri, bunların bir alt kümesini temsil eder.

Euler diyagramları (ve daha genel Venn diyagramları ) 1960'lardan itibaren küme teorisi öğretiminin bir parçası olarak Yeni Matematik dersine dahil edildi .

Haritacılık ve Jeodezi

Euler astronomik-jeodezik ve kartografik sorulara büyük ilgi gösterdi; çözümü için Joseph-Nicolas Delisle - sözde Coğrafya Bölümü'nün önerisi üzerine Petersburg Bilimler Akademisi'nde yeni bir bilimsel kurum kuruldu . Euler orada birkaç yıl Delisle'nin yardımcısı olarak çalıştı. Bu departmanın çeşitli belgelerine, özellikle protokollere bakıldığında, Euler'in jeodezi ve haritacılık alanındaki çalışmaları hakkında birçok ayrıntı ortaya çıktı. Yani z olabilir. Örneğin, Euler'in Coğrafya Bölümü'ndeki konumunun tamamen onun isteklerine ve bilimsel eğilimlerine uygun olduğu tespit edilebilir. Euler'in ilk çalışması, Rusya'nın Avrupa sınırlarının Senato tarafından talep edilen haritasıydı. 2 Eylül'de Euler, Delisle ile böyle bir haritayı inşa etmenin en iyi yolunu görüştü. Euler, Rusya'nın Avrupa sınırlarının haritasını 6 Eylül 1736'da tamamladı. Euler ve Delisle'nin birlikte başlattığı harita, Ek Vasily Evdokimowitsch Adodurow tarafından yapılan düzeltmelerden sonra , nihayet 14 Ekim 1736'da tamamlandı.

Matematiksel müzik teorisi

Müzik alanında da Euler'in düşünceleri esas olarak matematiğe dayanıyordu: Matematiksel yasalara dayalı bir müzik teorisi kurdu ( Tentamen novae theoriae musicae , 1739, Music matématique, Paris 1865 dahil). Onun ses ağı modeli bugün hala saf akort hesaplamalarında kullanılmaktadır . Müzik teorisi üzerine yazıları, çalışmalarının sadece küçük bir bölümünü oluştursa da (yaklaşık otuz bin sayfalık toplam prodüksiyonun birkaç yüz sayfası), yine de, tüm hayatı boyunca onu terk etmeyen erken bir ilgiyi yansıtıyor.

Euler'in müzik teorisini anlamak için, 1: 2, 2: 3, 3: 4 veya 4 frekans oranlarına karşılık gelen oktav, beşinci , dördüncü ve büyük üçüncü perdelerle saf akort denilen müzik aralıklarının bilinmesi gerekir : 5 temel inşa ediliyor. Bunun aksine, günümüzde en yaygın olan eşit düzeyli akort (iyi temperlenmiş), bir yarım tonun iki tonunun her zaman tam frekans oranına sahip olduğu . ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}} \ yaklaşık 1.059463}$

Martin Vogel şöyle diyor: "Leonhard Euler çok kullanışlı ve pratik bir uyum derecesi hesaplaması yaptı." Devam ediyor, "sonuçlarınızın sağlam psikolojik testlerle büyük ölçüde uyumlu olduğunu. Besteleme ve analiz etme pratik çalışması için bundan önemli sonuçlar çıkarılabilir ”. Euler, insanların düzenli bir dünyada yaşamak istediklerini ve çok yorucu olmayan bu düzeni kavramanın onların refahlarını artırdığını varsayıyor. ... Euler ayrıca şu sonuca varmıştır: Bir ilişki ne kadar basitse, ifade edilen sayılar ne kadar küçükse, o kadar net algılanabilir ve etkisi o kadar hoştur. Matematiksel formüllerde, işitme izlenimine mümkün olduğu kadar karşılık geldiğini kavrar. Asal sayı teorilerini kullanır.

İlk olarak, Euler ünsüzleri tanımlar, yani. H. Armoniler, bir "derece". Bu, tonların bir uyumunun "zorluğunu" matematiksel olarak yakalamayı amaçlamaktadır. Düşük bir seviye "kabul edilebilir" bir seviye anlamına gelir - "hoş olmayan" bir ses için yüksek bir seviye. Bir fonksiyonu olarak, Euler kullanılan derece suavitatis ( "uyumluluk estetiğini derecesini") , yorumlanabilir bir şekilde tamamen soyut sayı-teorik fonksiyonu bir doğal sayı için: N ile prime çarpanlara ile tanımlanır ${\ görüntü stili \ Gama (n)}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {a_ {r}}}$

${\ displaystyle \ Gama (n) = 1 + \ toplam _ {j = 1} ^ {r} a_ {j} (p_ {j} -1).}$

Gradus suavitatis, bu nedenle, doğal sayıların asal çarpanlara ayrılmasının bir değerlendirmesini temsil eder ve daha büyüktür, asal sayılar ne kadar büyükse ve üsleri o kadar büyük olur. İki akor şimdi aşağıdaki gibi derecelendirilir: a : b oranı için , burada zaten tamamen kısaltılmıştır, yani. diğer bir deyişle, bir ve b olan göreceli asal bir setleri

${\ displaystyle \ Gama (a: b): = \ Gama (a \ cdot b).}$

Euler sayıyı ( a ve b'nin en küçük ortak katı ) a : b'nin üssü olarak adlandırır . Örneğin, mükemmel beşinci, geçerli olduğu için 4 derecesine sahiptir . Bu ilke , genel sesin LCM'si kullanılarak herhangi bir akora genişletilebilir . Bir için üçlü b: a, c , a , b ve c, her bir taban, bir örneğin, yer alır . Euler'in argümanları, örneğin, büyük bir üçlünün (4:5:6 oranında CEG gibi) küçük bir üçlüden (EGH, 10:12:15 oranında) neden “daha ​​mutlu” geldiğini açıklar. Şemasında, büyük üçlü dokuzuncu ve küçük üçlü on dördüncü vardır - bu nedenle küçük üçlü “daha ​​üzücü” çünkü “daha ​​basit, daha kolay algılanabilir bir düzene sahip şeylerden neşe ve düzeni daha karmaşık olan şeylerden üzüntü ve algılaması zor”. Böylece Euler, üs ilkesini , aralıkların ve akorların gradus suavitatis'inin asal faktörlerinden türetilmesini önermek için kullandı - başlangıçta yalnızca beşinci-üçüncü sistemi kullandığını akılda tutmak gerekir , yani. H. 1, 2 ve 3 ve 5 asal sayıları dikkate alındı. Bu sistemi herhangi bir sayıda asal sayıya genişleten yukarıda bahsedilen gradyan işlevi daha sonra önerildi.${\ displaystyle a \ cdot b}$${\ displaystyle \ Gama (2: 3) = \ Gama (2 \ cdot 3) = (2-1) + (3-1) + 1 = 4}$ ${\ displaystyle \ Gama (a: b: c) = \ Gama (\ matematik {kgV} (a, b, c))}$

Bu hesaplamaların sonuçlarıyla ilgili olarak, Vogel şunları söyledi: “Euler'in sistemi, olağan aralık kavramlarıyla tam olarak uyuşmuyor. Ancak bu fikirlerin nasıl ortaya çıktığını ve dayandıkları teorinin ne kadar temelsiz olduğunu anlayan herkes, bunun gerçekten başka türlü olamayacağını, bizi daha ileriye götürmesi gereken yeni bir yaklaşımın aynı olmadığını söyleyecektir. eski raylara. Euler'in dereceleri her zaman genel beklentilere karşılık gelmez, ancak işitsel izlenime oldukça iyi karşılık gelir."

Geleneksel müzik teorisi genellikle ünsüz ve ahenksiz aralıklar arasında net bir sınır varsayarken, Euler yalnızca kademeli farklılıklar gösterir, yani aynı anda çalan iki notanın farklı birleştirme dereceleri arasındaki ince derecelendirmeler. Bununla yeni müziğin önemli bir ilkesini alır , ör. B. von Schönberg , her şeyden önce, uyum ve uyumsuzluk arasındaki temel sınırın artık geçerli olmadığı yer.

"Euler'in Limitleri" bölümünde Vogel, Euler formüllerinin üç parçalı ve çok sesli akorlara uygulanmasının anlamlı sonuçlara yol açmadığını makul kılmaya çalışır. Öte yandan, Vogel iki parçalı akorlar (= aralıklar) için vurgular: “Ancak, aralıkların pratik kullanımında Euler'in sınıflandırması son derece yararlı olduğunu kanıtlıyor. Bu gözlem pratik yönü vurgular. Teorik gerekçelendirme imkansız değilse de zor olurdu."

Bununla birlikte, Euler'in ünsüz teorisi, onun ikame teorisi ile desteklenmelidir: Tonlaması idealden biraz sapan müzik dinlerken, onun görüşüne göre, iç hayal gücümüzdeki perdeleri mümkün olduğunca değil, daha fazla olan perdeleri algılarız. idealimiz doğrultusunda olur. “Kulak doğru işitir. Kulak ekonomik olarak duyar. Sunulan aralıkları en basit oranlar anlamında haklı olarak dinler. Kulak, gerçekte kastedilen aralığı tanır, tıpkı gözün tahtada dik açılı bir üçgeni kabul etmesi ve açısı tam olarak doğru olmasa bile bakması gibi. "Bu, Euler'in uyum derecesi hesaplamalarının sıklıkla karşılaştığı bir suçlamayı geçersiz kılar:" Euler'in teorisi Titreşimsel ritimlerin çoğu kez, en saf akordu en kaba ahenksizliğe dönüştürmek için hafif bir ayar değişikliğinin yeterli olacağı şeklindeki ucuz itirazla reddedildi. Saf bir beşinci 300/200 yerine, artık algılanamayan bir oran elde etmek için yalnızca 301/200'lük bir bozulmanın varsayılması gerekir. Euler, eleştirmenlerinin çoğunlukla farkında olmadığı ikame teorisiyle böyle bir itiraza karşı çıktı. Zihinsel olarak kavranan ton ilişkisinin genellikle akustik olarak verilen bağıntıdan farklı olduğu yeterince kanıtlansın. Bu gibi durumlarda, algılanan oran gerçek olandan daha basittir. Fark o kadar küçük ki algıdan kaçıyor. Kulak, ondan sadece biraz sapan daha basit bir sayısal oranı kabul etmeye alışkındır.

“Ancak, Euler'in en basit tabirle dinleme tezi, saf olmayan müzik yapımına ve zayıf tonlamalara bir ruhsat değildir. Euler, mümkün olan en yüksek saflık derecesinin hedeflenmesi gerektiğine dair hiçbir şüphe bırakmıyor. Aralıkları kavramak ne kadar kolaysa, kulak o kadar az yorulur ve müzik keyfi o kadar fazla olur."

Müzikte, özellikle klavyeli enstrümanlarda sıklıkla kullanıldığı için , dinleme prensibi de temperli akort sistemlerinin kullanımına dayanmaktadır .

Euler'in müzik teorisinin bir başka yaklaşımı, "türler" olarak adlandırılan, yani. H. Bir olası alt bölümlerin oktav tarafından asal sayılar 3 ve 5'in Bunlar belli frekans ilişkilerini izleyin ve bu nedenle vardır ardışık tonları temsil ölçekler . Euler, 3 ve 5 asal sayılarına dayalı olarak bu tür 18 cinsi tanımlar. Prosedür aşağıdaki gibidir: Her çarpım , bir temel frekansın katlarının bir dizisini tanımlar - tüm olası bölenleri alınır. İçin 1, 1: 2, 1: 3, 1: 5, 1: 6, 1:10 1:15 1:30, örneğin, tek bir oranı 1'dir. Ancak 2 sayısı (oktav hariç) oluşan seslerde hiçbir şeyi değiştirmediğinden (frekansın iki katına çıkması bir oktav sıçramasını tanımlar), ikisinin gücü tür için bir rol oynamaz.${\ displaystyle A = 2 ^ {m} 3 ^ {p} 5 ^ {q}}$${\ görüntü stili A}$${\ displaystyle 2 \ kere 3 \ kere}$

Euler, türlerini müzikal ve matematiksel notasyonları görsel olarak yan yana getiren kompakt tablolarda sundu. İkisinin de kendisi için ne kadar önemli olduğunu ve onları nasıl bir araya getirmeye çalıştığını gösterdi:

Bu ilke, Adriaan Fokker tarafından daha da geliştirildi. Örneğin, durum bir oktav içinde şu oranlara normalleştirilebilir: 1: 1, 8: 9, 16:21, 2: 3, 4: 7, 32:63. oyun ^{? / ben}${\ displaystyle A = 3 ^ {2} \ cdot 7}$

12 (Euler ile ), 13 (Euler ile ) ve 14 (Euler ile ) türleri , antik çağlardan diyatonik , kromatik ve enharmonik versiyonların düzeltilmiş versiyonlarıdır . 18. cins ( ), "genel olarak tüm kompozisyonlarda kullanılan" ve Johann Mattheson tarafından tarif edilen sistemle aynı olduğu kanıtlanan "diatonik-kromatik" tir . Euler daha sonra, 7 asal sayı da dahil olmak üzere cinsleri tanımlama olasılığını gördü. Euler , diyatonik-kromatik türü göstermek için özel bir diyagram, Speculum musicum geliştirdi ve bu diyagramdaki yolları, grafik teorisine, özellikle de Königsberg'in Yedi Köprüsü'ne olan ilgisini hatırlatan belirli aralıklarla açıkladı. Konsept , adını müzik teorisyeni Hugo Riemann'dan alan Neo-Riemann teorisinde (Neo-Riemann Teorisi) sağlam bir ağ olarak yeniden ilgi uyandırdı . ${\ displaystyle 2 ^ {m} .3 ^ {3} .5}$${\ displaystyle 2 ^ {m} .3 ^ {2} .5 ^ {2}}$${\ displaystyle 2 ^ {m} .3.5 ^ {3}}$${\ displaystyle 2 ^ {m} .3 ^ {3} .5 ^ {2}}$

Popüler temsiller ve temalar

Euler'in , II. Frederick'in yeğeni Prenses Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt'e mektuplar yazdığı , fiziğin ve astronominin temellerini öğrendiği 1768 tarihli Lettres à une Princesse d'Allemagne adlı popüler bilim incelemesi , halk arasında özel bir önem kazandı. kim matematik, felsefe ve teoloji öğretti. Euler ilk harfe " boyut " (la grandeur) teriminin bir açıklamasıyla başladı . Bir ayağın tanımından yola çıkarak , mili tanımladı ve pratik örneklerle farklı boyutları motive etti. Bu nedenle, Berlin ile Magdeburg arasındaki mesafeyi 432.000 fit (43.824 fit ) yerine 18 mil (bir çeviri 83 İngiliz milinden bahsediyor ) olarak koymak daha iyidir . Daha sonraki mektuplar optik, manyetizma, elektrik ve aynı zamanda astronomiyi içeriyordu. Euler, diğer şeylerin yanı sıra, dünya ile güneş arasındaki mesafeyi “trente Millions de Milles” (otuz milyon mil) olarak tahmin etti.

Aslen Fransızca yazılmış 234 mektubun ilk iki cildi 1768'de Saint Petersburg'da ve üçüncüsü 1774'te Frankfurt'ta yayınlandı. Mektuplar daha sonra Paris'te yeniden basıldı, birinci cilt 1787'de, ikinci cilt 1788'de ve üçüncü cilt 1789'da. Lettres'in 1787'de Paris'te yayınlanan ilk baskısı otuz altı sayfalık bir ölüm ilanı olan Eloge de M. Euler'i içeriyordu. Marquis de Condorcet tarafından yazılmıştır ve okuyucuya Euler'in kariyerinin biyografik Eskizlerini ve önemli noktalarını vermiştir. Euler mektupları Fransızca yazsa da, metnin orijinalinden farklı olması nedeniyle Condorcet'in bazı editoryal değişiklikler yaptığı kesin olarak kabul edilir.

Euler ayrıca kendini satranç matematiğine adadı , örneğin şövalye problemi . Bu, şövalye satranç taşının bir gidiş-geliş sırasında bir satranç tahtasının her karesini tam olarak bir kez geçip geçemeyeceği sorusuyla ilgilenir . Euler, 1757'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta sorundan bahsetti. 1758-1759 yıllarında nihayet konuyla ilgili bir makale yazdı ve bu makale 1766'da Berlin Mémoires'da yayınlandı .

O mucidi olarak kabul edilir Greko-Latin meydanına , bir önceki Sudoku . Bu (sırasıyla n ) bir kare n x n şemasıdır ve alanlarına iki ( n - elemanlı ) kümenin elemanları, her bir elemanın tam olarak bir kopyasının her sütunda ve satırda görüneceği şekilde girilir. Örnekler: ${\ görüntü stili L, M}$

• 

  3. sıra kare

• 

  4. sıra kare

• 

  5. sıra kare

Euler, Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques adlı çalışmasında bu tür karelere yüzlerce örnek vermekte ve ayrıca köşegenleri istenen özelliği sağlayan kareleri ele almaktadır. Sonunda, kesin kanıtlar sunmadan, 4 k + 2 büyüklüğünde bir Greko-Latin karesinin inşa edilemeyeceğini iddia ediyor. 1960 yılına kadar Euler'in yanıldığı ortaya çıkmamıştı. Greko-Latin kareler, 2. ve 6. sıralar hariç her zaman mevcuttur. Cebirsel-algoritmik yapı için grup teorisi , sonlu cisimler , projektif geometri ve blok planları kullanılmıştır.

Arşivlenen mülkün işlenmesi

Ölümünden sonra yayın süreci

Euler'in ölümünden sonra, St. Petersburg Akademisi, Euler'in daha önce yayınlanmamış eserlerini ölümünden sonra Hatıralarında yayınladı . Çok sayıda belge (yaklaşık 100 makale) nedeniyle, yayın sürecinin ancak 1830'da tamamlandığı ilan edildi. Ama çok geçmeden Euler'in başka makaleler de yazdığı ortaya çıktı. Paul Heinrich von Fuss , 1825'te babasının halefi olarak St. Petersburg Akademisi'nin sekreteri olduktan sonra , arşivlerini araştırdı ve diğerlerinin yanı sıra Euler'in yazışmalarından bazı paketler buldu. Bernoullilerle birlikte. Bundan, Correspondance mathématique et physique de quelques céleèbres géomètres du XVIIIème siècle başlığı altında iki ciltlik bir yazışma dizini büyüdü . Euler'in yazılarının bir listesi buna eklenmiştir. Fuss'un 'baba Nikolaus' dizini henüz 700 numara içermedikten sonra, bu şimdi 756'ya genişletildi. Daha fazla tamamlamak için arşivler tekrar tarandı ve Astromania mechanica başlığı altında henüz yayınlanmamış bir çalışma üretildi .

Tam bir çalışmanın yayınlanması

19. yüzyılda ilk denemeler

Euler'in tüm eserlerini yayınlamaya yönelik ilk girişimler 1830'lara kadar gider. Esasen iki girişim vardı. Bunlardan biri Paul Heinrich Fuss tarafından yaratıldı. Fuss, Carl Gustav Jacobi de dahil olmak üzere birçok önde gelen matematikçi tarafından teşvik edilse de , proje akademinin bütçesinin mali olanaklarını aştığında sonunda terk edildi. Fuss ve Jacobi'nin girişiminin tek sonucu, 1849'da 94 halihazırda yayınlanmış makale ve beş yayınlanmamış el yazması içeren Commentationes aritmetica'nın iki cildinin yayınlanmasıydı. Aynı zamanda, bir grup Belçikalı matematikçi de benzer bir projeyi üstlendi. Fuss ve Jacobi'den daha başarılıydılar, çünkü bu baskının beş cildi gerçekten basıldı. Bu basım, özellikle Belçikalı matematikçi Henri Bosmans tarafından "çok kötü bir çalışma" olarak nitelendirilerek ciddi şekilde eleştirildi . Editörler, Euler'in eserlerini halkın büyük bir kesimine ulaştırmak için, orijinal metinleri, orijinali Fransızca yazılmış olsa bile, bazıları keyfi olarak değiştirmişlerdi. Diğer matematikçiler tarafından erişim kolaylığı, editörlerin arkasındaki itici güç olarak görülüyor ve çalışmanın bugün hala onlar üzerinde "uyarıcı bir etkisi" olması gerekiyor.

20. yüzyılın başı

20. yüzyılın başında, Rusya Bilimler Akademisi, Euler'in doğum gününün iki yüzüncü yılını kutlayarak Euler'in tüm eserlerini yayınlamak için yeni bir girişim başlattı. Daha önceki girişimlerin başarısızlığıyla karşı karşıya kalan Ruslar, emeği ve maliyetleri paylaşabilecekleri müttefikler aradılar; Euler denilince akla ilk gelen kurum, Euler'in 25 yıl boyunca hizmet verdiği Berlin'deki Prusya Bilimler Akademisi oldu. Berlinli akademisyenler başlangıçta bu plan konusunda oldukça hevesliydiler. Ancak Rus Akademisi'nin matematiksel ve fiziksel külliyatı yayınlama görevini bölmek ve birincisini kendisi için talep etmek istediği ortaya çıktığında , coşku azaldı. Prusya Akademisi, üyeleri arasında en saygın fizikçi olan Max Planck'tan teklifi değerlendirmesini istedi . Planck, ünlü bir ifadesinde, matematikçilerin hala Euler'in yazılarından esinlendiğinin doğru olabileceğini, ancak fizikçilerin aynı ölçüde olmadığını söyledi. Euler'in fiziksel yazılarının yayınlanmasının "zamanımızın bir bilimi olarak fiziğin çıkarına" olmadığından şüphelendi ve bu nedenle Prusya Akademisi'nin projeyi finanse etmesine izin vermeyi reddetti. Tam bir baskı Rus Akademisi için çok pahalı olduğundan, bu girişim de başarısızlıkla sonuçlandı.

Gustaf Eneströms Euler Dizini

1910 ve 1913 yılları arasında İsveçli matematikçi Gustaf Eneström , Euler'in tüm çalışmalarını listeleyen bir dizin oluşturdu . Bu, E001, ..., E866 ilkesine göre düzenlenmiş 866 numaraya sahiptir.

Euler Komisyonu ve Opera omnia'nın kuruluşu

19. yüzyıldaki başarısız girişimlerden sonra, Leonhard Euler'in Nisan 1907'deki 200. doğum günü, İsviçre Doğa Araştırmaları Derneği'nin Euler'in yayınlarının başka bir tam baskısını başlatmasının nedeni oldu . Girişim , Zürih Politeknik'te (bugünkü ETH Zürih ) matematik profesörü olan matematikçi Ferdinand Rudio'dan geldi . Basel'de çok sayıda yabancı bilim insanının huzurunda gerçekleşen Euler'in 200. doğum günü kutlamasında yaptığı ateşli konuşmada Rudio, ustaca İsviçre yurtseverliğine ve uluslararası dayanışmaya çağrıda bulundu : Euler'in anavatanı için "yapıtlarının yayınlanması fahri bir yükümlülüktür" Ancak İsviçre'nin "Euler'in ün ve zafere ulaştığı iki ülkenin, Almanya ve Rusya'nın desteğine ihtiyacı var":

Rudio'nun sözleri her yerde güçlü bir yankı buldu. Schweizerische Naturforschende Gesellschaft şirketi yönetmek için bir Euler Komisyonu kurdu ve Rudio onun başkanlığına seçildi. Genç komisyonun ilk eylemi bağış çağrısı oldu. Petersburg Akademisi'nden daha fazla mali destek sözü de geldi. Bu aynı zamanda "şirketin mümkün olan en iyi şekilde yürütülmesi için gerekli olması gereken arşivlerindeki tüm materyalleri kullanıma sunmayı" da teklif etti. 1910'dan 1912'ye kadar, tüm Euler mülkü, Rus büyükelçiliği aracılığıyla diplomatik posta olarak yedi kutuda İsviçre'ye ulaştı. Çalışma ( Alexander Lyapunov gibi seçkin matematikçiler tarafından desteklenen ) başlangıçta hızlı bir şekilde ilerlemesine rağmen, Euler Komisyonu Avrupa'daki siyasi çatlaklardan etkilendi. İsviçre'de Sovyetler Birliği'nin komünist sistemine karşı önemli çekinceler vardı ve 1918 ile 1946 arasında iki devlet arasında herhangi bir diplomatik ilişki yoktu. Bununla birlikte, bilim adamları daha zor bir bağlantıya sahip olmaya devam ettiler. 28 Mayıs 1921 tarihli "savaşla ilgili sorunlar" nedeniyle gecikme talebi Rus tarafından hala kabul edilirken, 1930'da Petersburg Akademisi el yazmalarını geri istedi. Euler Komisyonu, hararetli bir mektup alışverişine yol açan bu talebi takip etmeyi reddetti. İsviçre tarafı başlangıçta çeşitli argümanlarla el yazmalarının iadesini tekrar tekrar ertelemeye çalıştı. Temmuz 1930'da Sovyet Akademisi, el yazmalarının "bir süre" Zürih'te kalması gerektiğine karar verdi ve olağanüstü ciltlerin baskısı için kesin bir program istedi. Andreas Speiser , Rusya'nın en azından artık ihtiyaç duyulmayan el yazmalarını iade etme talebine boyun eğmeyince , ton daha keskin hale geldi. Sovyet Akademisi, 5 Haziran 1933'te bir son tarih belirledi:

Komisyon başlangıçta bu gereklilikleri kabul etmesine rağmen, sonraki yıl programa uyulamayacağını öğrenmek zorunda kaldı. İsviçre Siyasi Departmanı başkanı Giuseppe Motta'ya yapılan başarısız bir çağrıda Speiser, "bu yayının [...] en az yirmi yıl sürmesi gerektiğini" yazdı. Rusya'dan daha fazla baskı yapılmasının bir sonucu olarak, kopya ve fotoğraf üretimine de başlandı. Bu 1938'de tamamlandı. Belgelerin nihai teslimi 15 Mayıs 1947'ye kadar Zürih'te gerçekleşmedi. Euler Komisyonu, Opera Omnia'nın yayınlanmasına başarıyla katkıda bulundu .

Dört sıra halinde planlanan 81 ciltten 76'sı (2018 itibariyle) ortaya çıktı. Seri I (matematik: 29 cilt) ve Seri III (fizik, değişken: 12 cilt) tamamlandı, Seri II'nin (mekanik, astronomi) 31 ciltten ikisi hala olağanüstü (gök mekaniği üzerine II / 26 ve II / 27) içeriğinin en erken 2019 yılı içerisinde tamamlanması gerekmektedir. Seri IVA'da (Yazışmalar), iki çift cilt IVA / 3 ve IVA / 4 olmak üzere şimdiye kadar planlanan 9 ciltten 8'i yayınlandı. IVA / 8'in son cildi 23 Kasım 2018'de yayınlandı. Son cilt IVA / 9, Antonio Moretto yönetiminde bir grup tarihçi tarafından düzenleniyor.

Sovyetler Birliği'nde 1950'den 1980'e kadar olan diğer yayınlar

Euler mülkü Leningrad Akademisi arşivlerinde Rusya'ya döndüğünde, Sovyet bilim adamlarına kapsamlı araştırmalar için yeni fırsatlar verildi ve bu fırsattan şiddetle yararlandı. 1958'de Gleb K. Michailow (1929 doğumlu) ve Vladimir Ivanovich Smirnov (1887–1974) bu faaliyetler hakkında ilk kez rapor verdi. Ayrıca, 1962 ve 1965'te, akademinin arşivlerinde saklanan Euler materyallerinin çok ayrıntılı, ancak yorumsuz bir listesi iki cilt halinde yayınlandı. Birinci cilt, Petersburg arşivinde saklanan ve Euler'e giden ve giden 2.268 mektubun (açıklamalar olmadan) bir listesini içerir. 1950'lerden beri, Sovyet Akademisi ve şimdi de Rusya Bilimler Akademisi, Opera omnia Euleri'nin orijinal planlarında yer almayan Leonhard Euler'in yazışmalarının indekslenmesine ve işlenmesine özel bir ilgi gösterdi . Berlin'deki Alman Bilimler Akademisi ile işbirliği içinde, genel yazışmalar üç cilt halinde yayınlandı ve Euler ile Christian Goldbach arasındaki yazışmalar yayınlandı. 1963'te Euler'in 19 (genç) bilim adamına yazdığı seçilmiş bilimsel mektuplardan oluşan bir cilt yayınlandı (tüm mektuplar Rusça'ya çevrildi). Euler'in mektuplarının bir listesi, Rusya'da ve Rusya dışında bilinen tüm mektupları içeren Adolf Pavlovič Jušskevič (1906–1993) ve Vladimir Ivanovič Smirnov tarafından Rusça olarak yayınlandı. Liste, Euler'den ve Euler'e giden toplam 2.654 mektubun yanı sıra kısa bir özet içerir.

1970'lerde, Zürih'teki Euler Komisyonu ile Sovyet Akademisi arasındaki işbirliği, Euler baskısının genişletilmesiyle yoğunlaştı. Yazışmalar ve bilimsel notlar, Opera omnia Euleri'nin yeni dördüncü serisinde toplanmıştır . Bu dizinin ilk cildi 1975'te çıktı ve yazışmalardan 2.892 mektuptan oluşan gözden geçirilmiş bir liste içeriyordu.

dijital çağda

Euler'in birincil kaynaklardan çok sayıda vardır serbestçe kullanılabilir üzerinde internete sonucunda sayısallaştırma . Buna karşılık, Euler'in Opera omnia'sı ücretsiz kullanım için değildir, ancak 18. yüzyılın orijinal sayfalarından taranan yayınlanmış eserlerinin yüzde 95'inden fazlasının orijinal versiyonlarının dijital görüntüleri Euler olarak adlandırılabilir. arşiv . Eski öğrenciler Lee Stemkoski ve Dominic Klyve bu web sitesinin kurucuları olarak kabul edilmektedir. Çevrimiçi belgelerde Opera omnia editörlerinin düzeltmeleri ve tanıtımları yoktur , ancak İnternet bağlantısı olan herkes bunlara erişebilir ve Euler Arşivlerinin editörleri yavaş yavaş yorumlara ve çevirilere bağlantılar ekliyor. 2033 yılına kadar (Euler'in 250. ölüm yılı) basılı ve dijital baskıların göreceli rollerinin daha iyi değerlendirileceği tahmin edilmektedir.

resepsiyon

Matematiksel çalışması birçok nesil matematikçiye ilham verdi. Diğer şeylerin yanı sıra, Pierre-Simon Laplace , Joseph-Louis Lagrange , Carl Friedrich Gauß , Carl Gustav Jacobi , Niels Henrik Abel , Évariste Galois , Karl Weierstraß ve Bernhard Riemann'ın çalışmalarını etkiledi .

Matematik tarihçileri, Euler'in günümüze kadar yaptığı çalışmaların önemini vurgulamaktadır. Dirk Struik , Euler'in “Fertility”sini “sürpriz ve hayranlık kaynağı” olarak görüyor. Euler'in çalışmasıyla ilgili olarak , 1967'de yazdığı Outline of the History of Mathematics'de , Euler'in Latincesi "çok basit" ve terimleri "neredeyse günümüzünkine benziyor" olduğu için, onu çalışmanın "göründüğü kadar zor olmayacağını" belirtiyor. Euler'in yöntemi, en basit örneklerden daha genel bağlamlara ilerlemekten oluşuyordu, burada temsil bugün kullanılan soyut üslupla zıtlık oluşturuyordu; buna bağlı olarak matematiksel titizlikteki eksiklikler de eleştirildi.

Yazı Tipleri

Leonhard Euler, tarihin en üretken matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Opera omnia'nın toplanmış eserleri şimdiye kadar 76 ciltten oluşuyor. Toplam 866 yayını bulunmaktadır. Bu nedenle, tam çalışmaları , 18. yüzyılın son üç çeyreği içinde tüm matematiksel, fiziksel ve mekanik araştırma külliyatının tahmini üçte birini oluşturmaktadır .

Yayınlar (seçim)

• Mechanica sive motus scientia analytice exposita. 2 cilt, 1736 ( E015 , E016 ).
• Tentamen nova theoriae musicae . 1739 ( E033 ).
• St. Petersburg'daki İmparatorluk Bilimler Akademisi'ndeki Gymnasium'un kullanımı için aritmetik sanatına giriş. 2 cilt, Academische Buchdruckerey, Saint Petersburg; Cilt 1 1738, Cilt 2 1740. ( Sayısallaştırılmış sürümü ve tam metin halinde Alman Metin Arşivi Cilt 1, sayısallaştırılmış sürümü ve tam metin halinde Alman Metin Arşivi Cilt 2).
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. 1741 ( E053 ).
• Metodus invenniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solitio problematis isoperimetrici latissimo sensu kabul etme. 1744 ( E065 ).
• Analysin infinitorum'a giriş. 2 cilt, 1748 ( E101 , E102 ).
• Découverte d'un nouveau ilkesi de Mécanique. İçinde: Berlin'deki Mémoires de l'académie des sciences. Cilt 6, 1752, sayfa 185-217 ( E177 ).
• Kurumsal hesap diferansiyeli. 2 cilt, 1755 ( E212 ).
• Theoria motus corporum solidorum seu rijidorum. 1765 ( E289 ).
• Lettres à une prenses d'Allemagne. 3 cilt, 1768 ( E343 , E344 , E417 ).
• Kurumlar hesap integrali. 3 hacim, 1768-1770 ( E342 , E366 , E385 ).
• Cebir için eksiksiz rehber. 2 hacimleri, 1770 ( E387 , E388 , cilt 2 dijital hale ve tam metin halinde Alman metin arşivinde ).

• 

  Başlık sayfası Methodus inveniendi lineas Curvas 1744 den

• 

  Giriş sayfası analysin infinitorum'da (Cilt 1) 1748'den

• 

  Giriş sayfası analysin infinitorum'da (Cilt 2) 1748'den itibaren

• 

  1755 tarihli Institutiones calculi Differentis'in başlık sayfası

• 

  1768'den Institutiones calculi integralis'in (Cilt 1) başlık sayfası

• 

  1769'dan Institutiones calculi integralis'in (Cilt 2) başlık sayfası (tanımlanmıştır)

• 

  1770 tarihli Institutiones calculi integralis'in (Cilt 3) başlık sayfası (damgalı)

Eserlerinin Almanca çevirileri ve basımları

• Leonhard Euler'in integral hesabı için eksiksiz kılavuzu. Ed. Joseph Solomon, 3 cilt, Viyana 1828 - 1830, Cilt 1, ETH Kütüphanesi , Cilt 1, Arşivler , Cilt 2, Arşivler , Cilt 3, Arşivler.
• Leonhard Euler'in mekaniği veya bilimin analitik temsili. 3 cilt, Ed. J. Ph. Wolfers, Greifswald 1848 - 1853, Cilt 1, Arşivler , Cilt 2, Arşivler , Cilt 3, Arşivler.
• Euler, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli: Varyasyonlar hesabı üzerine incelemeler. 1. kısım, Ostwalds Klassiker 46, Leipzig 1894, arşiv.
• Euler: Küresel trigonometri üzerine iki inceleme. Ostwald'ın klasiği 73, Leipzig 1896, arşiv.
• Euler: Harita projeksiyonu üzerine üç inceleme. Ostwalds Klassiker 93, Leipzig 1898, arşiv.
• Jakob Bernoulli, Leonhard Euler: Düz elastik eğrilerin dengesi ve salınımları üzerine incelemeler. Ostwald'ın klasiği 175, Leipzig 1910.
• Euler: Suyun tepkimesiyle harekete geçen makinelerin daha eksiksiz teorisi (1754). Ostwald'ın klasiği 182, Leipzig 1911.
• Euler: Denklemlerin çözümü üzerine üç inceleme (1783, 1764, 1790). Ostwald'ın klasiği 226, Leipzig 1928.
• Euler: Sonsuzluğun Analizine Giriş. Bölüm 1, Wolfgang Walter, Springer, 1983 tarafından giriş.
• Euler: Karmaşık fonksiyonlar teorisi üzerine. Giriş AP Juschkewitsch, Ostwalds Klassiker 261, Akademische Verlagsgesellschaft, 1983.

Opera Omnia

Euler yaklaşık iki düzine kitap ve 500 bilimsel makale yayınladı. Alman matematikçi Ferdinand Rudio (1856–1929) Euler'in tüm çalışmalarının yayınlanmasını başlattı. Rudio'nun yaşamı boyunca 30'dan fazla cilt yayınlandı. 2013 yılına kadar 70'in üzerinde bireysel cilt ve kapsamlı yazışmalardan dört cilt yayınlandı. Eserler, çoğunlukla Fransızca veya Latince olmak üzere orijinal dilde görünür.

Derlenen eserler, Ferdinand Rudio tarafından kurulan Euler Komisyonu tarafından 1911 yılından itibaren Birkhäuser (Springer) Verlag tarafından Opera Omnia adıyla yayınlanmaktadır. O dönemde Adolf Krazer , Rudolf Fueter , Heinrich Weber , Paul Stäckel ve Karl von der Mühll de yayında yer aldı. Bireysel ciltlerin sonraki editörleri arasında Ludwig Schlesinger , Friedrich Engel , Andreas Speiser , Clifford Truesdell (fizik, mekanik, tüm cilt 11-1, Truesdell tarafından yazılmış 17. ve 18. yüzyıllarda esneklik teorisinin bir tarihidir), Alexander Mikhailovich Lyapunow , Georg Faber , August Gutzmer , Carl Boehm , Constantin Carathéodory , Henri Dulac , Max Herzberger , Emile Cherbuliez , Charles Blanc ve Eric Aiton (fizik). Rudio'dan sonra ana editörler Andreas Speiser (1928'den), Walter Habicht (1965'ten) ve 1985'ten beri Hans-Christoph Im Hof ​​idi . Diğer editörler arasında Emil Fellmann , Adolf Juschkewitsch , Henri Dulac, Pierre Costabel , René Taton , Wladimir Iwanowitsch Smirnow , Alot T. Grigorjan, Joachim Otto Fleckenstein , Johann Jakob Burckhardt , Gleb K. Mikhailov, Franz Lemmermeyer ve Andreas Lemmermeyer vardı.

Sürüm şunlardan oluşur:

• 1. Sıra: Matematik, 30 cilt (tamamlandı). 1911'deki ilk cilt cebir el kitabıydı. 16. cilt iki alt ciltten oluşmaktadır.
• Seri 2: Mekanik ve Astronomi, 30 kısmi ciltte 27 cilt (tamamlandı).
• 3. Sıra: Fizik ve Diğerleri, 12 cilt (tamamlandı).
• Satır 4a: Yazışma. Planlanan: Yaklaşık 300 mektup ve yaklaşık 3100 mektuptan oluşan 9 cilt. Şimdiye kadar yayınlanmış: 8 cilt.
• Satır 4b: defterler, günlükler ve yayınlanmamış öğeler (planlanan).

Edebiyat

Mektup alışverişi yaparken, Opera Omnia bağlamında aşağıdakiler belirdi :

• Cilt 1 (içeriğin özeti, genel bakış, 1975),
• Cilt 2 (Johann I. ve Nikolaus I. Bernoulli ile birlikte),
• Cilt 5 ( Clairut , d'Alembert ve Lagrange ile birlikte ) ve
• Cilt 6 (Maupertuis ve Friedrich II ile birlikte).

Ayrıca, Opera Omnia'nın dışında aşağıdaki yazışmalar yayınlandı:

• Goldbach ile (Akademie Verlag, Berlin 1965),
• Berlin ve Petersburg akademileriyle (Akademie Verlag, Berlin, 3 cilt: 1959, 1961, 1976),
• Tobias Mayer ile birlikte (Amerikan Elsevier, 1971).

1845'te Paul-Heinrich Fuss, Euler'in Goldbach, Nikolaus Fuss , Johann I, Nikolaus ve Daniel Bernoulli ile yazışmalarının bölümlerini yayınladı . Çalışmanın Lagrange'ın baskısının 14. cildi, Euler ile yazışmaları da içerir.

• Alman prensesine mektuplar

Bireysel kanıt

	Bu makalenin sesli versiyonu mevcuttur:
	Bölüm 1: Giriş, Bölüm 1, Bölüm 2, Bölüm 3 Kaydet | Bilgi  | 54:15 (24.086 MB) Sözlü versiyonun metni (2020-09-28)
	Bölüm 2: Bölüm 4, Bölüm 5, Bölüm 6, Bölüm 7, Bölüm 8, Bölüm 9 Kaydet | Bilgi  | 41:20 (18.450 MB) Sözlü versiyonun metni (2020-09-28)
	Bölüm 3: Bölüm 10, Bölüm 11, Bölüm 12, Bölüm 13, Bölüm 14 Kaydet | Bilgi  | 42:37 (18.629 MB) Sözlü versiyonun metni (2020-09-28)
	Sözlü Wikipedia hakkında daha fazla bilgi