asal sayı

{\ displaystyle \ matematik {P}}

Bir asal sayı (dan Latince numerus Primus'un ilk numarası ' ) a, doğal sayı olduğu 1'den yüksek yalnızca bölünebilir kendisi ve 1 ile . İşte primus , özellikle "başlangıç, ilk (şeylerin)", böylece "başlangıç sayısı", herhangi bir başka doğal sayı çarpmasından oluşturulabileceği anlamına gelir .

Seti asal sayıların genellikle olduğu belirtilir tarafından sembolü . İle bağlantılı olduğu sonucu da boyut asal tarafından sipariş asal sonucu çağırır. buna göre ${\ displaystyle \ matematik {P}}$ ${\ displaystyle \ matematik {P}}$ ${\ displaystyle \ sol (p_ {n} \ sağ) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle \ mathbb {N} \ supset \ mathbb {P} = \ {p_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}

ile birlikte

{\ displaystyle \ sol (p_ {n} \ sağ) _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ sol (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, 37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97, \ dotsc \ sağ)}

(Takip A000040 içinde OEIS ).

12 sayısı asal sayı değildir, 11 sayısı asaldır.

Bölücü alanındaki asal sayı dizisi

Asal sayıların matematiğin birçok alanı için önemi, tanımlarından çıkan üç sonuca dayanmaktadır: ${\ displaystyle \ matematik {P}}$

Asal çarpanlara ayırmanın varlığı ve tekliği : 1'den büyük ve kendisi asal olmayan her doğal sayı, en az iki asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu ürün sunumu, faktörlerin sırası dışında nettir. Bu kanıt olarak hizmet ediyor
Öklid'in lemması : İki doğal sayının çarpımı bir asal sayıya bölünebiliyorsa, çarpanlardan en az biri onlara bölünebilir.
Asal sayılar, her ikisi de 1'den büyük olan iki doğal sayının çarpımı olarak gösterilemez.

Bu özellikler kullanılan cebir için asal sayıların kavramının genellemeler .

İki veya daha fazla asal çarpanın çarpımı olan sayılara bileşik denir . 1 sayısı , ters çevrilebilirliği ile ilgili olarak ne asal ne de bileşiktir . Diğer tüm doğal sayılar asal (yani asal) veya bileşiktir.

Antik Yunanistan'da bile asal sayılara ilgi vardı ve bazı özellikleri keşfedildi. Asal sayılar o zamandan beri insanlar için her zaman çok çekici olmasına rağmen , yüz yıldan daha eski ve anlaşılması kolay olanlar da dahil olmak üzere asal sayılarla ilgili birçok soru cevapsız kaldı . Bunlar , 2 dışındaki her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak gösterilebileceği Goldbach varsayımını ve sonsuz sayıda asal ikiz olduğu varsayımını içerir (bunlar, farkı 2'ye eşit olan asal sayı çiftleridir). ).

Asal sayılar ve özellikleri kriptografide önemli bir rol oynar çünkü elektronik hesaplama makinelerinin ortaya çıkmasıyla bile asal faktörler gerçekten verimli bir şekilde bulunamaz. Öte yandan, bu makineler verimli şifreleme ve eğer anahtarı biliyorsanız, uzun metinlerin bile şifresinin çözülmesini sağlar.

Asal sayıların özellikleri

Asal sayılar grubu içindedir ve böylece doğal sayılar, karakterize edici özelliği , bir şekilde, bu her biri doğal tam olarak iki sayı ayırıcı vardır. ${\ displaystyle \ matematik {N}}$

2 hariç tüm asal sayılar tektir, çünkü tüm büyük çift sayılar kendilerine ek olarak (en az) 2'ye ve 1'e bölünebilir. Yani 2 dışındaki her asal sayının bir doğal sayı formu vardır . ${\ görüntü stili p}$ ${\ displaystyle 2k + 1}$ ${\ görüntü stili k}$

Her bir asal sayı , bir doğal sayı olan “ formun asal sayısı” veya “ formun asal sayısı” olmak üzere iki sınıftan birine atanabilir . Her bir asal sayı , "formun asal sayısı " veya " formun asal sayısı" olmak üzere iki sınıftan birine atanabilir , burada bir doğal sayıdır. Ek olarak, her asal sayının bir doğal sayı olduğu veya formu vardır . Ayrıca, her asal sayı , dört ondalık basamaktan biriyle veya ile biter . Göre Dirichlet asal sayı teoremi, bu sınıfların her birinde sonsuz sayıda asal sayılar vardır. ${\ displaystyle p \ neq 2}$ ${\ görüntü stili 4k + 1}$ ${\ görüntü stili 4k + 3}$ ${\ görüntü stili k}$ ${\ displaystyle p \ neq 3}$ ${\ displaystyle 3k + 1}$ ${\ görüntü stili 3k + 2}$ ${\ görüntü stili k}$ ${\ görüntü stili p> 3}$ ${\ görüntü stili p = 6k + 1}$ ${\ görüntü stili p = 6k-1}$ ${\ görüntü stili k}$ ${\ görüntü stili p> 5}$ ${\ görüntü stili 1,3,7}$ ${\ görüntü stili 9}$

Negatif olmayan bir tamsayı içeren formun her doğal sayısı, formun en az bir asal çarpanını içerir . Formun sayıları veya formun asal çarpanları hakkında karşılık gelen bir ifade mümkün değildir. ${\ displaystyle 4m + 3}$ ${\ görüntü stili m}$ ${\ görüntü stili 4k + 3}$ ${\ displaystyle 4m + 1}$ ${\ görüntü stili 4k + 1}$

Formda bir asal sayı , ancak ve ancak formda ( iki kareler teoremi ) varsa , tam sayılarla yazılabilir . Bu durumda temsil esasen açıktır; H. sipariş için hariç ve imzalamak arasında . Bu temsil asal çarpanlara ayırmaya karşılık gelir. ${\ görüntü stili p> 2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$ ${\ görüntü stili a, b}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili 4k + 1}$ ${\ görüntü stili a, b}$

{\ displaystyle p = (a + b \ matrm {i}) ('den \ matrm {i})}

içinde halka bütünün Gauss sayıları .

−1 sayısı, formun herhangi bir asal sayısından ikinci dereceden kalan modulo ve formun herhangi bir asal sayısından ikinci dereceden kalansız modulodur . ${\ görüntü stili 4k + 1}$ ${\ görüntü stili 4k + 3}$

Bir asal sayı , ancak ve ancak formda varsa , tam sayılarla formda açıkça yazılabilir . ${\ görüntü stili p> 3}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + 3b ^ {2}}$ ${\ görüntü stili a, b}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ displaystyle 3k + 1}$

Bir sayı herhangi bir asal sayıya bölünemiyorsa, o zaman bir asal sayıdır (bkz . Asallık Testleri ve Prob Bölme makalesi ). ${\ görüntü stili n> 1}$ ${\ displaystyle 2 \ leq p \ leq {\ sqrt {n}}}$ ${\ görüntü stili n}$

Fermat'ın Küçük Teoremi

Öyle olsun bir asal sayı. Her tamsayı için değil bölünebilir tarafından , aşağıdakiler (notasyonu bkz için geçerlidir kongrüansının ): ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili p}$

{\ displaystyle a ^ {p-1} \ eşdeğer 1 \ mod s.}

İçin sayı olan olmayan sayılar ile bölünebilir , aşağıdaki formülasyon eşdeğerdir: ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili a}$

{\ displaystyle a ^ {p} \ equiv a \ mod p.}

Orada sayılardır asal değildi, ama yine de asal sayılar gibi davranır bir kaide üzerinde , yani h., öyle . Böyle denir Fermat pseudoprimes tabanı için . Bir edilene göre Fermat pseudoprime olan tüm üsleri vardır aralarında asal o kadar denir Carmichael numara . ${\ görüntü stili n}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ displaystyle a ^ {n-1} \ eşdeğer 1 {\ bmod {n}}}$ ${\ görüntü stili n}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili n}$ ${\ görüntü stili a}$

Bu bağlamda, Fermat'ın sözde asalları sorunu ortaya çıkıyor: Fermat'ın küçük teoremini kullanan bir asallık testi ( Fermat'ın asallık testi ) tarafından yanlışlıkla asal sayılar oldukları varsayılıyor . Ancak, RSA gibi bir şifreleme yöntemi, asal sayı yerine bileşik sayı kullanıyorsa, şifreleme artık güvenli değildir. Bu nedenle, bu tür prosedürlerde daha iyi asallık testleri kullanılmalıdır.

Euler ve Legendre sembolü

Fermat'ın Küçük Teoreminin basit bir sonucu şu ifadedir: Her tek asal sayı ve bölünemeyen her tam sayı için ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili p}$

{\ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv 1 \ mod p}

veya

{\ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv -1 \ mod s.}

İlk durumun, ancak ve ancak modulo ile uyumlu bir kare sayı varsa ortaya çıktığı gösterilebilir , bkz. Legendre sembolü . ${\ görüntü stili m ^ {2}}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili p}$

Binom katsayısı

Asal sayılar için ve elimizde ${\ görüntü stili p}$ ${\ displaystyle 1 \ leq k <p}$

{\ displaystyle p \, {\ Büyük |} {p \ k'yi seçin};}

takip ettiği iki terimli cümle ile birlikte

{\ displaystyle (a + b) ^ {p} \ eşdeğer a ^ {p} + b ^ {p} \ mod p.}

Tam sayılar için bu ifade aynı zamanda doğrudan Fermat'ın Küçük Teoreminden izler, ancak örneğin tam sayı katsayılı polinomlar için de kullanılabilir; genel bağlamda , karakteristik halkalardaki haritalamanın Frobenius homomorfizmi olarak adlandırılan bir homomorfizm olduğu gerçeğine karşılık gelir . ${\ görüntü stili a, b}$ ${\ displaystyle x \ mapto x ^ {p}}$ ${\ görüntü stili p}$

Gönderen Wilson'un teoremi ( bir asal sayı ancak ve ancak ise her asal sayı için o izler ise) ve Her doğal sayı vardır ahenk olduğunu ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili (p-1)! \ eşdeğer -1 {\ pmod {p}}}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili n}$

{\ displaystyle {{np-1} \ {p-1}} seçin \ equiv 1 {\ pmod {p}}}

memnun.

Charles Babbage 1819'da her asal sayı için bu uyumun geçerli olduğunu kanıtladı : ${\ görüntü stili p> 2}$

{\ displaystyle {{2p-1} \ select {p-1}} \ equiv 1 {\ pmod {p ^ {2}}}}

Matematikçi Joseph Wolstenholme (1829-1891) daha sonra 1862'de aşağıdaki uyumun her asal sayı için geçerli olduğunu kanıtladı : ${\ görüntü stili p> 3}$

{\ displaystyle {{2p-1} \ {p-1}} seçin \ eşdeğer 1 {\ pmod {p ^ {3}}}}

Giuga

Fermat'ın Küçük Teoremi'nden bir asal sayı için şunu izler : ${\ görüntü stili p}$

{\ displaystyle 1 ^ {p-1} + 2 ^ {p-1} + \ dotsb + (p-1) ^ {p-1} \ eşdeğer -1 {\ pmod {p}}}

Örnek : ${\ görüntü stili p = 5}$

{\ displaystyle 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + 4 ^ {4} = 1 + 16 + 81 + 256 = 354 = 71 \ cdot 5-1 \ equiv -1 {\ pmod {5}}}

Giuseppe Giuga , ters yönün de geçerli olduğunu, yani bu özelliğe sahip bir sayının her zaman asal olduğunu varsaymıştır. Bu varsayımın doğru olup olmadığı açık değildir. Bununla birlikte, bir karşı örneğin 10.000'den fazla ondalık basamağa sahip olması gerektiği bilinmektedir. İle bağlantılı olarak Giuga spekülasyonlarına , Giuga numaraları vardır inceledi.

Doğrusal özyinelemeler

Küçük Fermat teoremi şu şekilde de okunabilir: Aşağıda , bir asal sayı için -th terimi her zaman ile bölünebilir. Lucas dizisi ( ) ve Perrin dizisi ( ) gibi diğer üstel karakter dizileri benzer özelliklere sahiptir . Analog diğer doğrusal yineleme için de geçerlidir, ancak bu gibi daha karmaşık tablolar, Fibonacci dizisi : Eğer daha sonra asal bir sayı, tarafından bölünebilir; var mı ${\ displaystyle a ^ {n} -a}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ displaystyle p \ orta L_ {p} -1}$ ${\ displaystyle p \ orta P_ {p}}$ ${\ görüntü stili (f_ {n}) _ {n = 0,1,2, \ dotsc} = 0,1,1,2,3,5, \ dotsc}$ ${\ görüntü stili p}$ ${\ displaystyle f_ {p} - {\ Büyük (} {\ frac {p} {5}} {\ Büyük)}}$ ${\ görüntü stili p}$

{\ displaystyle {\ Büyük (} {\ frac {p} {5}} {\ Büyük)} = {\ başlangıç ​​{vakalar} 1 & p \ equiv 1,4 \ mod 5 \\ - 1 & p \ equiv 2 ,3 \ mod 5 \\ 0 & p = 5 \ end {cases}}}

Legendre sembolü .

Karşılıklı değerlerin toplamının diverjansı

Dizi asal sayıların karşılıklı değerlerinin farklı olduğunu. Buradan:

{\ displaystyle \ toplam _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3} } + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + \ dotsb = \ infty}

.

Bu, tarafından tanımlanan dizinin sonlu bir sınır değerine sahip olmadığı ifadesine eşdeğerdir , bu da yeterince büyük bir seçilmiş için akla gelebilecek her gerçek sayının aşılabileceği anlamına gelir . Her şeyden önce, bu şaşırtıcı çünkü asal sayı boşlukları ortalama olarak artmaya devam ediyor. Mertens seti bu farklı serisinin tam büyüme davranışı hakkında bir açıklama yapar. ${\ displaystyle \ textstyle a_ {n} = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {p_ {i}}}}$ ${\ görüntü stili n}$

asallık testleri

Herhangi bir doğal sayının asal olup olmadığını öğrenmek için bir asal sayı testi kullanılabilir. Asal sayıların özel özelliklerine dayanan bu tür birkaç yöntem vardır. Uygulamada, son derece kısa bir süreye sahip olan ancak yanlış pozitif sonuçlar verme olasılığı düşük olan Miller-Rabin testi en sık kullanılır. İle AKS asallık testinde polinom koşu zamanında bir hata riski olmadan asallık karar mümkündür. Ancak pratikte Miller-Rabin testinden önemli ölçüde daha yavaştır.

Asal sayı sertifikası

Bir doğal sayının asal olup olmadığını bulmak zor olabilir. Bununla birlikte, her bir asal sayı için, tümü hemen anlaşılabilir olan, birlikte asallığı ispatlayan ve toplam uzunluğu asal sayının uzunluğunun karesiyle en fazla orantılı olan bir iddialar zinciri verilebilir. Böyle bir belgeye Certificate (İng. Primality Certificate ) adı verilir.

Bir sayının bileşik yapısı (asal olmaması) durumunda, alındı ile makbuzu bulmak arasındaki fark daha da açıktır: Kanıt olarak iki faktör yeterlidir, bunların çarpımı bileşik sayı ile sonuçlanır; Gerçek bir bölen bulmak çok çaba gerektirebilir.

Bilinen en büyük asal

MÖ dördüncü yüzyılda, Yunan Öklid mantıksal olarak sonsuz sayıda asal sayı olduğu sonucuna vardı; bu ifadeye Öklid teoremi denir . Öklid , bu teoremin doğruluğu için bir çelişki kanıtı sağlamıştır ( Elements, Kitap IX, § 20): Yalnızca sonlu sayıda asal sayı olduğu varsayımına dayanarak, bölen olarak önceden bilinmeyen bir asal sayıya sahip başka bir sayı oluşturulabilir veya kendisi, varsayımla çelişen bir asal sayıdır. Dolayısıyla sonlu bir küme hiçbir zaman tüm asal sayıları içeremez, bu nedenle sonsuz sayıda vardır. Bugün Öklid teoremi için bir dizi ispat biliyoruz.

Öklid teoremi, en büyük asal sayının olmadığını belirtir. Bununla birlikte, keyfi olarak büyük asal sayıları verimli bir şekilde üreten bilinen bir yöntem yoktur - bu nedenle, insanlar asal sayılarla uğraşmaya başladığından beri her zaman bilinen en büyük asal sayı olmuştur. Şu anda (Aralık 2018 itibariyle) 7 Aralık 2018'de hesaplanan 24.862.048 (ondalık) basamaklı bir sayıdır. Kaşifi Patrick Laroche dan 3.000 $ aldı Büyük İnternet Mersenne Prime Arama projesi , arar Mersenne asal sayılar kullanılarak bilgisayar dağıtılmış . ${\ displaystyle 2 ^ {82.589.933} -1,}$

Bilinen en büyük asal sayı neredeyse her zaman bir Mersenne asal sayısıydı, yani Lucas-Lehmer testinin bu özel durumda kullanılabileceği formda , genel duruma kıyasla çok hızlı bir asal sayı testi. Bu nedenle, büyük asal sayılar aranırken, yalnızca bu veya benzer şekilde uygun türdeki sayılar asallık için incelenir. ${\ displaystyle 2 ^ {n} -1,}$

Yıllara göre rekor asal sayıların listesi

sayı	Ondalık basamak sayısı	yıl	Explorer (kullanılan bilgisayar)
2 ¹⁷ -1	6.	1588	Çataldi
2 ¹⁹ -1	6.	1588	Çataldi
2 ³¹ -1	10	1772	Euler
(2 ⁵⁹ −1) /179.951	13	1867	Landry
2 ¹²⁷ -1	39	1876	Lucas
(2 ¹⁴⁸ +1) / 17	44	1951	vapur
180 · (2 ¹²⁷ −1) ² +1	79	1951	Miller ve Wheeler (EDSAC1)
2 ⁵²¹ -1	157	1952	Robinson ( SWAC )
2 ⁶⁰⁷ -1	183	1952	Robinson (SWAC)
2 ^1.279 -1	386	1952	Robinson (SWAC)
2 ^2.203 -1	664	1952	Robinson (SWAC)
2 ^2.281 -1	687	1952	Robinson (SWAC)
2 ^3.217 -1	969	1957	Rizel (BESK)
2 ^4.423 -1	1.332	1961	Hurwitz (IBM7090)
2 ^9,689 -1	2.917	1963	Gillies (ILLIAC 2)
2 ^9,941 -1	2.993	1963	Gillies (ILLIAC 2)
2 ^11.213 -1	3.376	1963	Gillies (ILLIAC 2)
2 ^19.937 -1	6.002	1971	Tuckerman (IBM360 / 91)
2 ^21.701 -1	6.533	1978	Noll & Nikel (CDC Siber 174)
2 ^23.209 -1	6.987	1979	Noll (CDC Siber 174)
2 ^44.497 -1	13.395	1979	Nelson ve Slowinski (Cray 1)
2 ^86.243 -1	25.962	1982	Slowinski (Cray 1)
2 ^132.049 -1	39.751	1983	Slowinski (Cray X-MP)
2 ^216.091 -1	65.050	1985	Slowinski (Cray X-MP / 24)
391.581 · 2 ^216.193 -1	65.087	1989	"Amdahler Altı" (Amdahl 1200)
2 ^{756 839} -1	227.832	1992	Slowinski ve Gage (Cray 2)
2 ^{859 433} -1	258.716	1994	Slowinski ve Gage (Cray C90)
2 ^1.257.787 -1	378.632	1996	Slowinski ve Gage (Cray T94)
2 ^1.398.269 -1	420.921	1996	Armengaud, Woltman ( GIMPS , Pentium 90 MHz)
2 ^2.976.221 -1	895.932	1997	Spence, Woltman (GIMPS, Pentium 100 MHz)
2 ^3.021.377 -1	909.526	1998	Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 200 MHz)
2 ^6.972.593 -1	2.098.960	1999	Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 350 MHz)
2 ^13.466.917 -1	4.053.946	2001	Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS, Athlon 800 MHz)
2 ^20.996.011 -1	6.320.430	2003	Shafer (GIMPS, Pentium 4 2 GHz)
2 ^24.036.583 -1	7.235.733	2004	Findley (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
2 ^25.964.951 -1	7.816.230	2005	Nowak (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
2 ^30.402.457 -1	9.152.052	2005	Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
2 ^32.582.657 -1	9.808.358	2006	Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
2 ^43.112.609 -1	12.978.189	2008	Smith, Woltman, Kurowski, et al. (GIMPS, Core 2 Duo 2.4 GHz)
2 ^57.885.161 -1	17.425.170	2013	Cooper, Woltman, Kurowski, et al. (GIMPS, Core2 Duo E8400 @ 3.00 GHz)
2 ^74.207.281 -1	22.338.618	2016	Cooper, Woltman, Kurowski, et al. (GIMPS, Intel i7-4790 @ 3.60 GHz)
2 ^77.232.917 -1	23.249.425	2017	Jonathan Pace ve ark. (GIMPS, Intel i5-6600 @ 3.30 GHz)
2 ^82.589.933 -1	24.862.048	2018	Patrick Laroche ve ark. (GIMPS, Intel i5-4590T @ 2.0 GHz)

Dağıtım ve büyüme

Pi fonksiyonu ve asal sayı teoremi

İşlev mavi renkte gösterilir grafikte . Yeşil renkli fonksiyon ve kırmızı renkli integral logaritma , fonksiyonun yaklaşık değerleridir .

{\ görüntü stili \ pi}

{\ görüntü stili n / \ ln (n)}

{\ displaystyle \ operatör adı {Li} (n)}

{\ görüntü stili \ pi}

Asal sayıların dağılımını araştırmak için, diğer şeylerin yanı sıra fonksiyona bakılır.

{\ displaystyle \ pi \ iki nokta üst üste \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \; n \ mapsto \ pi (n)}

,

Asal sayıları gösteren ve Primzahlzählfunktion denir. örneğin ${\ displaystyle \ leq n}$

{\ displaystyle \ pi (1) = 0 \; \ \ pi (10) = 4 \; \ \ pi (100) = 25 \; \ \ pi (1000) = 168; \ \ pi (1000000) = 78498}

.

Bu fonksiyon ve büyüme davranışı, sayı teorisinde popüler bir araştırma konusudur. Zamanla, bazı yaklaşım formülleri geliştirilmiş ve iyileştirilmiştir.

Asal sayı teoremi diyor ki

{\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}}

tutar, yani, sol ve sağ tarafın bölümü 1'e yönelir: ${\ displaystyle x \ ila \ infty}$

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {\ frac {x} {\ ln x}}} = 1}

(bkz. asimptotik analiz )

Dirichlet asal sayı teoremi, diğer taraftan, hiç dikkate kısıtlar kalan sınıflar : Öyle olsun doğal bir sayı. Göreceli olarak asal olmayan bir tamsayı varsa , aritmetik dizi şu şekilde olabilir: ${\ görüntü stili m}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili m}$

{\ displaystyle a, a + m, a + 2m, a + 3m, \ dotsc}

serideki tüm terimler, çünkü en fazla bir asal sayı en içerirler bölünebilir büyük ortak bir bölen tarafından ve . Ama asal asal ise , Dirichlet'in asal sayı teoremi, dizinin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini söyler. Örneğin, formun sonsuz sayıda asal sayısı ve sonsuz sayıda formu vardır ( her durumda negatif olmayan doğal sayılar üzerinden geçer). ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili m}$ ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili m}$ ${\ görüntü stili 4k + 1}$ ${\ görüntü stili 4k + 3}$ ${\ görüntü stili k}$

Bu ifade aşağıdaki biçimde daha ayrıntılı olarak belirtilebilir: Uygulanır

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ # \ {p \ \ mid \ \ matrm {prim}, \ p \ leq x \ \ matematik {ve} \ p \ equiv a {\ pmod {m}} \}} {\ # \ {p \ \ orta \ \ matematik {prim}, \ p \ leq x \}}} = {\ frac {1} {\ varphi (m)}};}

burada Euler phi işlevi . Bu anlamda, kalan sınıflarda her durumda "aynı sayı" ile sabit bir asal sayılar vardır . ${\ displaystyle \ varphi (m)}$ ${\ görüntü stili m}$ ${\ displaystyle a + m \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ matematik {ggT} (a, m) = 1}$

engeller

(Kanıtlanmış) Bons eşitsizliği , bir asal sayının karesinin tüm küçük asal sayıların (beşinci asaldan itibaren) ürününden daha küçük olduğunu garanti eder.

Andrica'nın (kanıtlanmamış) varsayımına göre, -th ve -th asal sayıların kökleri arasındaki fark 1'den azdır. ${\ görüntü stili n}$ ${\ görüntü stili (n + 1)}$

Asal boşluklar

Komşu iki asal sayı arasındaki farka asal sayı boşluğu denir. Bu fark dalgalanır ve keyfi boyutta asal sayı boşlukları vardır. Ancak, konumuna bağlı olarak boşluğun boyutuyla ilgili kısıtlamalar da vardır:

Bertrand kümesi herhangi bir doğal sayı arasındaki asal sayı varlığını garanti ve çift . ${\ görüntü stili n}$ ${\ görüntü stili 2n}$

(Kanıtlanmamış) Legendre'nin varsayımına göre, ve arasında her zaman en az bir asal vardır . ${\ görüntü stili n ^ {2}}$ ${\ görüntü stili (n + 1) ^ {2}}$

Asal sayıların tahminleri ve asal sayı teoreminin sonuçları

Aşağıda asal sayıların sırası ile gösterilmiştir. ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Tahminler

Aşağıdaki tahminler için geçerli endeksleri : ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

(1 A): ${\ displaystyle p_ {n} <p_ {n + 1} <2 \ cdot p_ {n}}$

(1b): ${\ displaystyle {p_ {n + 1}} ^ {2} <2 \ cdot {p_ {n}} ^ {2}}$ için ${\ displaystyle n \ geq 5}$

(1c): ${\ displaystyle p_ {n} <2 ^ {n}}$ için ${\ displaystyle n \ geq 2}$

(1d): ${\ displaystyle p_ {n}> n \ cdot \ ln (n)}$

(1e): ${\ displaystyle \ toplam _ {k = 2} ^ {n} {\ frac {1} {p_ {k}}}> {\ frac {1} {36}} \ cdot {\ ln {\ ln (n + 1)}}}$ için ${\ displaystyle n \ geq 2}$

Asal sayı teoreminin sonuçları

Asal sayı teoremi ile aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

(2a): ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_ {n + 1}} {p_ {n}}} = 1}$

(2B): ${\ displaystyle {\ frac {n} {\ ln (n) - {\ frac {1} {2}}}} <\ pi (n) <{\ frac {n} {\ ln (n) - {\ frak {3} {2}}}}}$ için ${\ displaystyle n \ geq 67}$

(2c)

Her pozitif gerçek sayı için bir asal sayı dizisi vardır . ${\ görüntü stili x}$ ${\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {q_ {n}} {n}} = x}

.

(2d)

Set arasında quotients tüm asal sayılar oluşan bir olduğunu yoğun alt kümesi tüm pozitif reel sayılar kümesinin. Araçlarla Yani: herhangi bir pozitif reel sayılar için birlikte hep asal sayıların varolduğu böylece, ${\ görüntü stili a, b}$ ${\ görüntü stili 0 <a <b}$ ${\ görüntü stili p, q}$

{\ displaystyle a <{\ frac {p} {q}} <b}

memnun.

Asal sayıların üretilmesi

Algoritmanın gösterimi Eratosthenes Elek

Asal sayıları belirlemek için en eski algoritmalardan biri Eratosthenes'in eleğidir . Bugüne kadar verimli bir asal sayı üreteci bilinmemektedir. Bununla birlikte, üretilen sayıların asal olma olasılığının belirli olduğu formüller vardır. Bu tür sayılar daha sonra asallıkları için test edilmelidir.

Özel asal sayılar ve asal sayı takımyıldızları

Diğer özel asal sayı türleri şu kategoride bulunabilir: asal sayılar .

genelleme

Halka teorisinde, asal sayı kavramı , herhangi bir değişmeli üniter halkanın elemanlarına genelleştirilir. Karşılık gelen terimler asal eleman ve indirgenemez elemandır .

Asal sayılar ve bunların negatifleri, o zaman tam olarak asal öğelerdir ve ayrıca tam sayılar halkasının tam olarak indirgenemez öğeleridir . Gelen faktöryel halkaları olduğunu, kesin asal çarpanlara ayırma şartları ile yüzük asal eleman ve indirgenemez eleman konmuştur; Bununla birlikte, genel olarak, asal öğeler kümesi, indirgenemez öğeler kümesinin yalnızca bir alt kümesidir .

Özellikle durumunda Dedekind halkalar , olduğu bir dizi-teorik açıdan anlamlı bakış , asal idealler üstlenmesi asal sayıların rolü.

asal çarpanlara ayırma

Aritmetiğin temel teoremi geçerlidir : Birden büyük her tamsayı , asal sayıların bir ürünü olarak temsil edilebilir ve bu gösterim, faktörlerin sırası dışında belirsizdir. Bunlara sayının asal çarpanları denir .

Sıfırdan büyük her doğal sayı , asal sayıların çarpılmasıyla temsil edilebildiğinden , asal sayılar matematikte özel bir atomik konum işgal eder, bir anlamda diğer tüm doğal sayıları - boş bir çarpım olarak "oluştururlar" . Alexander K. Dewdney olarak nitelendirdi büyük ölçüde benzer elemanları arasında kimyası .

Bu aynı zamanda, birini asal sayı olarak tanımlamanın neden uygun olmadığını da ortaya koymaktadır: Çarpmanın nötr öğesidir ve bu nedenle çarpımsal olarak daha fazla sayı üretemez. Sayıların asal çarpanlarının çarpımı olarak gösterilmesine gerek yoktur. Asal sayılar arasında 1 sayılacak olursa, asal çarpanlara ayırmanın benzersizliği de kaybolur, çünkü sayının değerini değiştirmeden her bölüme herhangi bir sayıda birler eklenebilir.

Genel sayıların veya özel formdakilerin asal çarpanlarını olabildiğince çabuk belirlemek için bir dizi çarpanlara ayırma yöntemi geliştirilmiştir. Ancak şimdiye kadar, keyfi sayıları verimli bir şekilde çarpanlara ayırmaya yönelik bilinen bir yöntem yoktur, i. H. verilen sayının uzunluğu ile en fazla polinom olarak büyüyen bir zamanda . Faktoring varsayım böyle bir yöntem değil bu devletler ya mevcut.

Bilgisayar bilimlerinde asal sayılar

Gelen bilgi güvenliği ve özellikle de şifreleme ait mesajlar (bkz şifreleme ) önemli bir rol asal oynarlar. Genellikle açık anahtar şifreleme yöntemleri gibi asimetrik şifreleme sistemlerinde kullanılırlar . Önemli örnekler Diffie-Hellman anahtar değişimi , RSA şifreleme tarafından kullanılan, OpenPGP'de , diğerleri arasında , Elgamal şifreleme ve Rabin şifreleme . Tuşları olan gizli kalması gereken büyük, rasgele oluşturulmuş asal sayılar hesaplanan.

Bu tür algoritmalar , hızlı bir şekilde yürütülebilen, ancak tersinin şu anda bilinen teknoloji ile hesaplanması neredeyse imkansız olan tek yönlü fonksiyonlara dayanmaktadır . Ancak kuantum bilgisayarlar gibi yeni bilgi teknolojileri bunu değiştirebilir. Çözülmemiş P-NP sorunu bununla ilgilidir.

Doğada asal sayılar

Bazı hayvan ve bitki türleri (örneğin, belirli ağustosböcekleri veya ladin ağaçları ), yırtıcıların bu kitlesel oluşuma uyum sağlamasını daha zor hale getirmek için asal sayı döngülerinde (yaklaşık her 11, 13 veya 17 yılda bir) özellikle güçlü bir şekilde çoğalırlar.

1 neden asal sayı değildir

Yüzlerce yıldır matematikçiler sayının asal olup olmadığını tartışıyorlar . Örneğin, ünlü matematikçi Godfrey Harold Hardy , 1 sayısını 1908'de asal sayı olarak belirledi, ancak artık en geç 1929'da değil. Genel olarak, 20. yüzyıldan beri çoğu matematikçi, 1 sayısını asal sayılar arasında saymamak konusunda hemfikirdir. ${\ görüntü stili n = 1}$

1'in asal olduğu argümanı aşağıdaki gibidir:

1 sadece kendisine ve 1'e bölünür.

1'in asal sayı olmadığı gerçeğine karşı argümanlar şunlardır:

Matematikte özellikle önemli bir önerme, asal çarpanlara ayırmanın benzersizliğidir . Örneğin, eğer bir numara asal vardı bileşik sayı olurdu örneğin birçok farklı asal ayrıştırmaları, . ${\ görüntü stili n = 1}$ ${\ görüntü stili x = 6}$ ${\ displaystyle x = 6 = 2 \ kere 3 = 1 \ kere 2 \ kere 3 = 1 ^ {2} \ kere 2 \ kere 3 = \ ldots = 1 ^ {657} \ kere 2 \ kere 3 = \ kere}$

Birdenbire her sayının sonsuz sayıda farklı asal çarpanlara ayırması olur ve bu önemli teoremin önkoşullarını farklı bir şekilde formüle etmek gerekir, böylece benzersizlik tekrar verilir. Belirsizlik, özellikle bu bağlamda, 1 sayısının çarpmanın nötr öğesi olması nedeniyle, onu kullanmayı anlamsız hale getirmesinden kaynaklanmaktadır.

İki asal sayıyı birbiriyle çarparsanız, tanıma göre bir bileşik sayı , yani en az iki (asal) faktörden oluşan bir sayı elde edersiniz . 1 bir asal sayı olsaydı, örneğin bir asal sayı ile çarpılabilirdi ve çarpım yine bir bileşik sayı değil, bir asal sayı olurdu . Bileşik sayının tanımının çok daha karmaşık olması gerekirdi.
Her asal sayının tam olarak iki çarpanı vardır: 1 sayısı ve kendisi.Yalnızca bir çarpanı vardır ve açıkçası bu özelliği sağlamaz, yani bu sayı diğer tüm asal sayılardan farklıdır. ${\ görüntü stili n = 1}$
Eratosthenes elek değil iş, öncelikle 1 dışında başka hiçbir numarayı bırakacaktı 1 katlarını, dışarı geçmeye olurdu olacağından.
Tüm asal sayılar için Euler'in Phi işlevidir . Ama için geçerlidir . Cümlenin yeniden formüle edilmesi ve 1'i bir istisna yapması gerekir. ${\ görüntü stili p}$ ${\ displaystyle \ varphi (p) = p-1}$ ${\ görüntü stili n = 1}$ ${\ displaystyle \ varphi (1) = 1 \ değil = 1-1 = 0}$
Bölen işlevi tüm asal sayılar için geçerlidir . İçin ama . Ayrıca geçerlidir . İçin ama . Dolayısıyla 1 sayısı da bu fonksiyon(lar) için büyük bir istisna olacaktır. ${\ görüntü stili p}$ ${\ görüntü stili \ sigma _ {0} (p) = 2}$ ${\ görüntü stili n = 1}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (1) = 1 \ değil = 2}$ ${\ görüntü stili \ sigma _ {1} (p) = p + 1}$ ${\ görüntü stili n = 1}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {1} (1) = 1 \ değil = 1 + 1 = 2}$
1 asal sayı olsaydı , asal elemanların tanımının yeniden formüle edilmesi gerekirdi. Yeni tanım daha karmaşık olacaktır.
Her asal güç için, aynı sayıda elemana sahip sonlu bir alan vardır. 1 bir asal sayı olsaydı, aynı zamanda tek elemanlı sonlu bir alan olması gerekirdi. Ama böyle bir şey yok. Sonlu cisimlerin tanımını değiştirmek gerekir.

Asal sayılarla ilgili, sayı bir asal sayı olsaydı yeniden formüle edilmesi gereken başka matematiksel teoremler de vardır . ${\ görüntü stili n = 1}$

Örnekler, 1'siz asal sayılar kümesine acilen ihtiyaç duyulduğunu gösteriyor - 1'i içeren asal sayılar kavramından daha acil. Tanımlarda her zaman serbestlik dereceleri olduğundan, terimlerin ekonomisi adına , asal sayılardan (veya asal elemanlardan) 1'in (ve daha genel olarak tüm birimlerin ) hariç tutulmasına (0'a ek olarak) karar verildi. ).

Ayrıca bakınız

Edebiyat

Peter Bundschuh : Sayı Teorisine Giriş. 6. baskı. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8 .
Marcus du Sautoy : Asal sayıların müziği. Matematikteki en büyük bulmacanın izinde. Beck, Münih 2004, ISBN 3-406-52320-X .
Władysław Narkiewicz : Asal Sayılar Teorisinin Gelişimi. Öklid'den Hardy ve Littlewood'a. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66289-8 .
Paulo Ribenboim : Asal Sayı Kayıtlarının Yeni Kitabı. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94457-5 .

Robert E. Dressler, Louis Pigno, Robert Young: Asal sayıların kareleri toplamı . İçinde: Nordisk Mat.Tidskr . kaset 24 , 1976, s. 39-40 ( MR0419352 ).
Hans Rademacher , Otto Toeplitz : Rakamlar ve rakamlardan. Matematik sevenler için matematiksel düşünme örnekleri (= Heidelberger Taschenbücher . Cilt 50 ). Springer Verlag, Berlin ( diğerlerinin yanı sıra) 1968 ( MR0252141 ).
JB Rosser : n'inci asal sayı n log n'den büyüktür . İçinde: Proc. Londra Matematik Soc . kaset 45 , 1939, s. 21-44 .
J. Barkley Rosser , L. Schoenfeld : Asal sayıların bazı fonksiyonları için yaklaşık formüller . İçinde: Illinois J. Math . kaset 6 , 1962, s. 64-94 ( projecteuclid.org [PDF]). MR0137689
Wacław Sierpiński : Sayıların Temel Teorisi (= Kuzey Hollanda Matematik Kütüphanesi . Cilt 31 ). 2. gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskı. Kuzey Hollanda (diğerlerinin yanı sıra), Amsterdam (diğerlerinin yanı sıra) 1988, ISBN 0-444-86662-0 .
József Sándor , Dragoslav S. Mitrinović , Borislav Crstici : Handbook of Number Theory. 2. Baskı. kaset ben . Springer-Verlag, Dordrecht, NL 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 ( MR2186914 ).

İnternet linkleri

Commons : Asal sayılar - resim, video ve ses dosyalarının toplanması

Vikisözlük: Asal sayı - anlam açıklamaları, kelime kökenleri, eş anlamlılar, çeviriler

Vikikitaplar: Aritmetiğin Temel Teoremi - Öğrenme ve Öğretme Materyalleri

Vikikitaplar: 2'den 100.000'e kadar olan asal sayılar - öğrenme ve öğretme materyalleri

The Prime Pages (İngilizce)
asal sayı tarafı
Eric W. Weisstein : Rosser Teoremi . İçinde: MathWorld (İngilizce).

Bireysel kanıt

^ Karl Ernst Georges : Kapsamlı Latin-Almanca özlü sözlük . 8., geliştirilmiş ve artırılmış baskı. Hahnsche Buchhandlung, Hannover 1918 ( zeno.org [erişim tarihi 12 Mart 2020] sözlük girişi “önceki”).
↑ Christlieb von Clausberg : Gösterici aritmetik veya kapsamlı ve kısaca hesaplamak için bilim . Hem yaygın hem de diğer ticari fatura türlerinin, kambiyo senetlerinin örneklerinin ve arbitrajının özellikle kısa bir şekilde kapsamlı bir şekilde öğretildiği ve Avrupa madeni paralarının tanımı, fatura türleri ve kullanımları, ağırlıkların ve kübik ölçülerin bir karşılaştırması, gerçek interusurii hesaplaması, yeni bir logaritmik tablo, çok daha fazla diğer matematiksel ve meraklı hesaplamalar ektedir. Bernhard Christoph Breitkopf ve Oğlu , Leipzig 1762, s. 86 ( Google Kitap Arama'da sınırlı önizleme [12 Mart 2020'de erişildi]).
↑ Armin Leutbecher: Sayı Teorisi: Cebire Giriş. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8 , s. 18, Google kitap aramasında sınırlı önizleme .
↑ Don Zagier: Denklemlerin Tam Sayılarda Çözümleri , s.311-326, 1984
^ Vaughan R. Pratt: Her Prime'ın Kısa Bir Sertifikası vardır. PDF.
^ Vašek Chvátal : Pratt'in Asallık Kanıtları üzerine ders notları. PDF.
↑ Günün Teoremi Olarak Vaughan Pratt Teoremi. PDF.
↑ Öklid teoreminin kanıtı için kanıt arşivine bakın .
↑ Mersenne Asal Sayı keşfi - 2 ^82589933 -1 ^Asaldır ! 21 Aralık 2018'de erişildi .
↑ Bilinen Mersenne asal sayılarının listesi - PrimeNet. 1 Kasım 2019'da alındı .
↑ https://primes.utm.edu/bios/page.php?id=5004
^ Daniel AJ Sokolov: Florida'daki bilgisayar yeni en büyük asal sayıyı buldu. İçinde: Heise.de. 22 Aralık 2018, erişim tarihi 22 Aralık 2018 .
↑ Rademacher-Toeplitz: s. 164.
↑ Sierpiński: s. 146.
↑ Dressler Pigno-Young: . Nordisk Mat Tidskr . kaset 24 , s. 39 .
↑ Sándor Mitrinović-Crstici: S. 247.
↑ Sierpiński: s. 145.
↑ Tahmin (1d) ilk olarak John Barkley Rosser tarafından bulunmuştur (bakınız Rosser, Proc. London Math. Soc., Cilt 45, s. 21 ff. / Sierpiński, s. 163 / Sándor-Mitrinović-Crstici, s. 247).
↑ Sierpiński: s. 162.
↑ kaynaktan (1 e) Sierpinski olarak elde edilir gözlemler, direkt olarak, ıraksama dizisinde . ${\ displaystyle \ textstyle \ toplam _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {k}}}}$
↑ Sierpiński: s. 163.
^ Rosser-Schoenfeld: Illinois J. Math . kaset 6 , s. 64 ff .
↑ Sierpiński: s. 163.
↑ Sierpiński'nin belirttiği gibi, (2b) doğrudan asal sayı teoremine götürür .
↑ Sierpiński: s. 165.
↑ Sierpiński'ye göre, bu sonuç ilk olarak Polonyalı matematikçi Hugo Steinhaus tarafından elde edilmiştir .
↑ Sierpiński: s. 165.
↑ Klaus Schmeh : Ağustosböceklerinin asal sayılarla ne ilgisi var. içinde: heise çevrimiçi . 9 Mart 2020'de alındı .
↑ Sayılar ağustosböceğinin ömründe önemlidir. Max Planck Kurumu, 29 Nisan, 2002, arşivlenmiş orijinal üzerine 1 Ekim 2007 ; 9 Mart 2020'de erişildi .
↑ Chris K. Caldwell , Angela Reddick, Yeng Xiong: Birin İlkesinin Tarihi: Kaynakların Seçimi. Journal of Integer Sequences 15 , Madde 12.9.8, 2012, pp. 1-40 , 10 Şubat 2020'de erişildi .

[1] Karl Ernst Georges : Kapsamlı Latin-Almanca özlü sözlük . 8., geliştirilmiş ve artırılmış baskı. Hahnsche Buchhandlung, Hannover 1918 ( zeno.org [erişim tarihi 12 Mart 2020] sözlük girişi “önceki”).

[2] Christlieb von Clausberg : Gösterici aritmetik veya kapsamlı ve kısaca hesaplamak için bilim . Hem yaygın hem de diğer ticari fatura türlerinin, kambiyo senetlerinin örneklerinin ve arbitrajının özellikle kısa bir şekilde kapsamlı bir şekilde öğretildiği ve Avrupa madeni paralarının tanımı, fatura türleri ve kullanımları, ağırlıkların ve kübik ölçülerin bir karşılaştırması, gerçek interusurii hesaplaması, yeni bir logaritmik tablo, çok daha fazla diğer matematiksel ve meraklı hesaplamalar ektedir. Bernhard Christoph Breitkopf ve Oğlu , Leipzig 1762, s. 86 ( Google Kitap Arama'da sınırlı önizleme [12 Mart 2020'de erişildi]).

[3] Armin Leutbecher: Sayı Teorisi: Cebire Giriş. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8 , s. 18, Google kitap aramasında sınırlı önizleme .

[4] Don Zagier: Denklemlerin Tam Sayılarda Çözümleri , s.311-326, 1984

[5] Vaughan R. Pratt: Her Prime'ın Kısa Bir Sertifikası vardır. PDF.

[6] Vašek Chvátal : Pratt'in Asallık Kanıtları üzerine ders notları. PDF.

[7] Günün Teoremi Olarak Vaughan Pratt Teoremi. PDF.

[8] Öklid teoreminin kanıtı için kanıt arşivine bakın .

[9] Mersenne Asal Sayı keşfi - 2 ^82589933 -1 ^Asaldır ! 21 Aralık 2018'de erişildi .

[10] Bilinen Mersenne asal sayılarının listesi - PrimeNet. 1 Kasım 2019'da alındı .

[11] ttps://primes.utm.edu/bios/page.php?id=5004

[12] Daniel AJ Sokolov: Florida'daki bilgisayar yeni en büyük asal sayıyı buldu. İçinde: Heise.de. 22 Aralık 2018, erişim tarihi 22 Aralık 2018 .

[13] Rademacher-Toeplitz: s. 164.

[14] Sierpiński: s. 146.

[15] Dressler Pigno-Young: . Nordisk Mat Tidskr . kaset 24 , s. 39 .

[16] Sándor Mitrinović-Crstici: S. 247.

[17] Sierpiński: s. 145.

[18] Tahmin (1d) ilk olarak John Barkley Rosser tarafından bulunmuştur (bakınız Rosser, Proc. London Math. Soc., Cilt 45, s. 21 ff. / Sierpiński, s. 163 / Sándor-Mitrinović-Crstici, s. 247).

[19] Sierpiński: s. 162.

[20] ynaktan (1 e) Sierpinski olarak elde edilir gözlemler, direkt olarak, ıraksama dizisinde . ${\ displaystyle \ textstyle \ toplam _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {k}}}}$

[21] Sierpiński: s. 163.

[22] Rosser-Schoenfeld: Illinois J. Math . kaset 6 , s. 64 ff .

[23] Sierpiński: s. 163.

[24] Sierpiński'nin belirttiği gibi, (2b) doğrudan asal sayı teoremine götürür .

[25] Sierpiński: s. 165.

[26] Sierpiński'ye göre, bu sonuç ilk olarak Polonyalı matematikçi Hugo Steinhaus tarafından elde edilmiştir .

[27] Sierpiński: s. 165.

[28] Klaus Schmeh : Ağustosböceklerinin asal sayılarla ne ilgisi var. içinde: heise çevrimiçi . 9 Mart 2020'de alındı .

[29] Sayılar ağustosböceğinin ömründe önemlidir. Max Planck Kurumu, 29 Nisan, 2002, arşivlenmiş orijinal üzerine 1 Ekim 2007 ; 9 Mart 2020'de erişildi .

[30] Chris K. Caldwell , Angela Reddick, Yeng Xiong: Birin İlkesinin Tarihi: Kaynakların Seçimi. Journal of Integer Sequences 15 , Madde 12.9.8, 2012, pp. 1-40 , 10 Şubat 2020'de erişildi .


formüle dayalı	Carol ((2 ⁿ - 1) ² - 2) \| Çift Mersenne (2 ^{2 ^s - 1} - 1) \| Faktöriyel ( n! ± 1) \| Fermat (2 ^{2 ⁿ} + 1) \| Kübik ( x ³ - y ³ ) / ( x - y ) \| Kine ((2 ⁿ + 1) ² - 2) \| Leyland ( x ^y + y ^x ) \| Mersenne (2 ^s - 1) \| Değirmenler ( A ^{3 ⁿ} ) \| Pierpont (2 ^u ⋅3 ^v + 1) \| İlkel ( p _n # ± 1) \| Protez ( k ⋅2 ⁿ + 1) \| Pisagor (4 n + 1) \| Quartic ( x ⁴ + y ⁴ ) \| Sabit (3⋅2 ⁿ - 1) \| Wagstaff ((2 ^p + 1) / 3) \| Williams (( b-1 ) ⋅ b ⁿ - 1) \| Woodall ( n ⋅2 ⁿ - 1)
Asal sayı takip	çan \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pelet \| Perrin
mülk temelli	seçkinci \| Şanslı \| iyi \| mutlu \| Higgs \| Yüksek bölüm \| İzole \| pili \| Ramanujan \| Normal \| Güçlü \| Yıldız \| Duvar – Güneş – Güneş \| Wieferich \| Wilson
baz bağımlı	Belfegor \| Champernowne \| dihedral \| Benzersiz \| mutlu \| Keith \| Uzun \| Asgari \| Mirp \| Değiştirilebilir \| İlkel \| palindrom \| Repunit asal ((10 ⁿ - 1) / 9) \| zayıf \| Smarandache – Wellin \| Strobogrammatik \| Tetradik \| Trunk \| dairesel
demetlere dayalı	Dengeli ( p - n , p , p + n) \| Chen \| Kuzen ( p , p + 4) \| Cunningham ( p , 2 p ± 1, ...) \| Üçlü ( p , p + 2 veya p + 4, p + 6) \| takımyıldızı \| Seksi ( p , p + 6) \| Güvenli ( p , ( p - 1) / 2) \| Sophie Germain ( s , 2 s + 1) \| Dördüzler ( p , p + 2, p + 6, p + 8) \| İkiz ( p , p + 2) \| İkiz çift zincirli ( n ± 1, 2 n ± 1, ...)
boyutuna göre	Titanik (1.000+ basamak) \| Dev (10.000+ basamak) \| Mega (1.000.000+ basamak) \| Beva (1.000.000.000+ pozisyon)

Languages