sayısal Matematik

Sayısal matematik , kısaca Sayısal olarak adlandırılan bir devreye girer matematik dalında tasarımı ve analiz ve algoritmalar için sürekli matematik problemleri. Ana uygulama, bilgisayar yardımı ile yaklaşım algoritmaları kullanılarak çözümlerin yaklaşık olarak hesaplanmasıdır .

genel bakış

Bu tür algoritmalara ilgi genellikle aşağıdaki nedenlerden birinden kaynaklanır:

  1. Sorunun açık bir çözümü yoktur (örneğin Navier-Stokes denklemlerinde veya üç cisim probleminde olduğu gibi ) veya
  2. çözüm temsili mevcuttur, ancak çözümü hızlı bir şekilde hesaplamak için uygun değildir veya hesaplama hatalarının çok belirgin olduğu bir formdadır (örneğin birçok güç serisinde ).

İki tür yöntem arasında bir ayrım yapılır: bir yandan, sınırlı sayıda kesin hesaplama adımından sonra bir soruna kesin çözüm sağlayan doğrudan ve diğer yandan yalnızca tahminler sağlayan yaklaşım yöntemleri . Doğrudan bir yöntem, örneğin, doğrusal bir denklem sisteminin çözümünü sağlayan Gauss eleme yöntemidir . Yaklaşım yöntemleri arasında kareleme formülleri yaklaşık tamamlayıcı ya da değerini hesaplamak, Newton yöntemi , iteratif bir işlevi sıfıra daha yaklaşımları içerir.

Çözümler yalnızca uygulamalarda sınırlı doğruluk için gerekli olduğundan, yinelemeli bir yöntem, daha kısa sürede yeterli doğruluğu sağladığında doğrudan bir yöntem mevcut olduğunda daha yararlı olabilir.

Çalışma süresi , kararlılık ve sağlamlığa göre farklı yöntemler karşılaştırılır. Bununla birlikte, nadiren , belirli problem sınıflarını çözmek için özel olmayan sayısal çözümlere göre daha uygun olan (tamamen sayısal prosedürlerin aksine) sayısal prosedürler de vardır.

Tarih

Matematiksel denklemleri sayısal olarak (ayrıca yaklaşık olarak) çözme arzusu eski zamanlardan beri var olmuştur . Eski Yunanlılar, alanların hesaplanması ( integral hesaplama ) veya daire sayısı gibi ancak yaklaşık olarak çözebilecekleri sorunları zaten biliyorlardı . Bu anlamda her iki problem için de algoritmalar sağlayan Arşimet , ilk önemli sayısalcı olarak tanımlanabilir.

Klasik yöntemlerin isimleri, matematiksel problemlere algoritmik ve yaklaşık erişimin, tamamen teorik ifadeleri verimli bir şekilde kullanabilmek için her zaman önemli olduğunu açıkça göstermektedir . El ile hesaplanırken yakınsama hızı veya kararlılık gibi kavramlar da çok önemliydi. Örneğin, yüksek yakınsama hızı, hesaplamanın hızlı bir şekilde yapılacağına dair umut verir. Ve Gauss bile , Gauss eleme yöntemindeki hesaplama hatalarının bazen çözüm üzerinde feci bir etkiye sahip olduğunu ve onu tamamen işe yaramaz hale getirdiğini fark etti. Bu nedenle , hataların başka bir yineleme adımı gerçekleştirilerek kolayca telafi edilebildiği Gauss-Seidel yöntemini tercih etti .

Algoritmaların monoton yürütülmesini kolaylaştırmak için, mekanik hesaplama makineleri 19. yüzyılda geliştirildi ve nihayet 1930'larda Konrad Zuse tarafından ilk bilgisayar geliştirildi . İkinci Dünya Savaşı dramatik gelişimini hızlandırmıştır ve özellikle John von Neumann gelişmiş hem matematiksel ve teknik olarak sayısal değerler parçası Manhattan Projesi . Soğuk Savaş dönemi gibi askeri uygulamalar tarafından domine edildi Yeniden giriş sorunları, fakat 1980'lerden beri işlem gücünün artması ön plana de sivil amaçlı getirdi. Ayrıca, hızın artmasıyla hızlı algoritmalara olan ihtiyaç artmıştır. Araştırma bunu birçok sorun için yapabildi ve bu nedenle algoritmaların hızı, 1980'lerin ortalarından bu yana CPU performansıyla yaklaşık aynı büyüklükte arttı . Günümüzde sayısal yöntemler, örneğin sonlu elemanlar yöntemi , her teknik veya bilimsel alanda mevcuttur ve günlük araçlardır.

Başarısızlık analizi

Sayısaldaki algoritma analizinin bir yönü hata analizidir . Sayısal bir hesaplamada çeşitli tipte hatalar devreye girer: Kayan noktalı sayılarla hesaplarken kaçınılmaz olarak yuvarlama hataları oluşur. Bu hatalar, örneğin basamak sayısını artırarak azaltılabilir, ancak bunlar tamamen ortadan kaldırılamaz, çünkü her bilgisayar prensipte yalnızca sınırlı sayıda basamağa güvenebilir.

Sorunun ilk verilerdeki bozulmalara nasıl tepki verdiği durumla birlikte ölçülür. Bir problemin büyük bir koşulu varsa, problemin çözümü hassas bir şekilde ilk verilere bağlıdır, bu da sayısal çözümü zorlaştırır, özellikle de yuvarlama hataları başlangıç ​​verilerinin bozulması olarak yorumlanabilir.

Sayısal yöntem ayrıca sürekli matematik problemini ayrı, yani sonlu bir problemle değiştirir. Tutarlılık analizinin bir parçası olarak tahmin edilen ve değerlendirilen ayrıklaştırma hatası halihazırda meydana gelir . Bu gereklidir çünkü sayısal bir yöntem genellikle kesin çözümü sağlamaz.

Kararlılık analizi, hesaplamaya devam edildiğinde bu tür hataların nasıl arttığını değerlendirmek için kullanılır .

Algoritmanın tutarlılığı ve kararlılığı genellikle yakınsamaya yol açar (bakınız: Limit değeri (fonksiyon) ).

Sayısal yöntemler

Kısmi diferansiyel denklemlerin optimizasyonu veya çözülmesi gibi birçok matematik problemi için çok sayıda sayısal yöntem ve algoritma mevcuttur. Seçilen sayısal prosedürlerin yorumlanmış bir derlemesi, sayısal prosedürler listesi altında bulunabilir .

Edebiyat

  • Wolfgang Dahmen , Arnold Reusken: Mühendisler ve doğa bilimcileri için sayısal bilgiler . Springer, Berlin ve diğerleri 2006, ISBN 3-540-25544-3 .
  • Peter Deuflhard , Andreas Hohmann: Sayısal Matematik. Cilt 1: Algoritmik Odaklı Giriş. 3., gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskı. de Gruyter, Berlin ve diğerleri 2002, ISBN 3-11-017182-1 .
  • Gene H. Golub , James M. Ortega: Bilimsel Hesaplama ve Diferansiyel Denklemler. Sayısal matematiğe giriş (= matematik üzerine Berlin çalışma serisi. Cilt 6). Heldermann, Berlin 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
  • Martin Hanke-Bourgeois: Sayısal matematiğin ve bilimsel hesaplamanın temelleri. Teubner, Stuttgart ve diğerleri, 2002, ISBN 3-519-00356-2 .
  • Martin Hermann : Sayısal Matematik. 2., gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskı. Oldenbourg, Münih ve diğerleri 2006, ISBN 3-486-57935-5 .
  • Thomas Huckle, Stefan Schneider: Bilgisayar bilimcileri için sayısal bilgiler. Springer, Berlin ve diğerleri 2002, ISBN 3-540-42387-7 .
  • Ernst Kausen : TURBO-PASCAL ile Sayısal Matematik. Hüthig, Heidelberg 1989, ISBN 3-7785-1477-6 .
  • Gerhard Kurban: Yeni Başlayanlar İçin Sayısal Matematik. Matematikçiler, mühendisler ve bilgisayar bilimcileri için bir giriş. 5., gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskı. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0413-6 .
  • Robert Plato: Sayısal Matematik kompakt. Çalışma ve uygulama için temel bilgiler. Vieweg, Braunschweig ve diğerleri 2000, ISBN 3-528-03153-0 .
  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Sayısal Matematik. 8. baskı. Teubner, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 .

İnternet linkleri

Vikisözlük: Sayısal  - anlamların açıklamaları , kelime kökenleri, eşanlamlılar, çeviriler

Bireysel kanıt

  1. ↑ Lloyd N. Trefethen : Sayısal analizin tanımı. İçinde: SIAM News. 25, 6 Kasım 1992 ( PDF dosyası , ≈ 228  KB ).
  2. ↑ Lloyd N. Trefethen şöyle yazdı: "[…] bizim temel görevimiz, tipik olarak tahmin edilemeyen miktarları analitik bir bakış açısıyla ve yıldırım hızında hesaplamaktır ." (Veya İngilizce: […] ana görevimiz miktarları hesaplamaktır. analitik bir bakış açısından tipik olarak hesaplanamaz olan ve bunu yıldırım hızıyla yapmak için .; Sayısal Analizin Tanımı , SIAM , 1992'de ayrıca Google kitaplarından alıntılara bakın )