Navier-Stokes denklemleri

Navier Stokes denklemlerinin [ navjeː stəʊks ] (sonra Claude Louis Marie Henri Navier ve George Gabriel Stokes ) bir olan matematiksel modeli akış doğrusal viskoz Newtonyen sıvılar ve gazlar ( sıvıları ). Denklemler, akışkanlar mekaniğindeki Euler denklemlerinin viskoziteyi tanımlayan terimleri içerecek şekilde bir uzantısıdır .

Daha dar bir anlamda, özellikle fizikte Navier-Stokes denklemi, akışlar için momentum denklemidir . Daha geniş anlamda, özellikle sayısal akışkanlar mekaniğinde , bu momentum denklemi süreklilik denklemi ve enerji denklemi ile genişletilir ve daha sonra ikinci dereceden doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler sistemi oluşturur . Bu, akışkanlar mekaniğinin temel matematiksel modelidir . Özellikle denklemler türbülansı ve sınır tabakalarını gösterir . Navier-Stokes denklemlerinin boyutsuzlaştırılması , Reynolds sayısı veya Prandtl sayısı gibi çeşitli boyutsuz anahtar rakamlar sağlar .

Navier-Stokes denklemleri su, hava ve yağların davranışını gösterir ve bu nedenle arabalar ve uçaklar gibi araçların geliştirilmesinde ayrık bir biçimde kullanılır . Bu karmaşık uygulamalar için kesin analitik çözümler bilinmediğinden, bu yaklaşık olarak yapılır. Ayrıca, çözülmemiş en önemli matematik problemlerinden biri olan Milenyum Problemleri genel durumunda, denklemlerin bir çözümünün varlığı ve tekliği henüz kanıtlanmamıştır .

Tarih

Isaac Newton , 1686'da hareket yasalarıyla üç ciltlik Principia'sını yayınladı ve ikinci kitapta da lineer olarak viskoz (bugünkü Newtonian ) bir sıvının viskozitesini tanımladı . 1755'te Leonhard Euler , viskozitesiz akışkanların (sıvılar ve gazlar) davranışının hesaplanabileceği hareket yasalarından Euler denklemlerini türetti . Bunun ön koşulu, bugün hala geçerli olan bir sıvı içindeki basınç tanımıydı. Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (1717-1783) Euler'in yaklaşımını ortaya koydu , yerel kütle dengesini türetti ve viskozitesiz sıvıların akışının akış yönünde herhangi bir kuvvet uygulamadığına göre d'Alembert paradoksunu formüle etti . (Euler'in zaten kanıtlamış olduğu) bir cisim üzerindeki akış. Bu ve viskozitesiz akışların diğer paradoksları nedeniyle, Euler'in hareket denklemlerinin desteklenmesi gerektiği açıktı.

Claude Louis Marie Henri Navier, Siméon Denis Poisson , Barré de Saint-Venant ve George Gabriel Stokes, Newton akışkanları için momentum yasasını 19. yüzyılın ilk yarısında birbirlerinden bağımsız olarak diferansiyel formda formüle ettiler. Navier (1827) ve Poisson (1831), moleküller arası kuvvetlerin etkilerini göz önünde bulundurarak momentum denklemlerini kurdular. 1843'te Barré de Saint-Venant, Newton'un lineer viskozite yaklaşımından momentum denklemlerinin bir türevini yayınladı, Stokes bunu yapmadan iki yıl önce (1845). Ancak, momentum denklemleri için Navier-Stokes denklemleri adı geçerliydi.

Ludwig Prandtl , 1904 yılında sınır tabaka teorisi ile viskoz akışkanların teorik ve pratik anlayışında önemli bir ilerleme kaydetti . 20. yüzyılın ortalarından itibaren, sayısal akışkanlar mekaniği , pratik problemlerin yardımıyla Navier-Stokes denklemlerinin - ortaya çıktığı gibi - gerçek akış süreçleriyle iyi uyum sağlayan çözümleri bulunabilecek ölçüde gelişti .

formülasyon

momentum denklemi

Daha dar anlamda Navier-Stokes denklemi , Newton aksiyomlarının bir sürekliliğe uygulanması olarak momentum teoremidir . Sıkıştırılabilir akışkanlar için kullanılan bir form:

${\ displaystyle \ rho {\ frac {D {\ vec {v}}} {Dt}} = \ rho \ sol ({\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + ( {\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ sağ) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla ( \ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}.}$

İşte yoğunluk , (statik) basınç , bir hız partikül akışında, superpoint yanı sıra önemli ölçüde zaman türevi altında , kısmi türevi sabit sıvı eleman ile zamana göre, " " (kayıtlı) skalar ürün ile nabla operatörü ve Laplace operatörü . Eşittir işaretinin solunda, akışkan elemanlarının önemli ivmesi vardır ve Nabla operatörü ile oluşturulan terim, bunların konvektif kısımlarını temsil eder.Vektör , her biri birim hacimle ilgili olan, yerçekimi veya Coriolis kuvveti gibi bir hacim kuvveti yoğunluğunu temsil eder. ve SI birimi Newton / metreküptür . Parametreler ve vardır dinamik viskozite ve ilk Lamé sabiti . Literatürde bunlara topal viskozite sabitleri de denir. ${\ görüntü stili \ rho}$${\ görüntü stili p}$${\ görüntü stili {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ matematik {D}} {\ matematik {D} t}}}$${\ displaystyle \ kısmi / \ kısmi t}$${\ görüntü stili \ cdot}$ ${\ görüntü stili \ nabla}$${\ görüntü stili \ Delta}$${\ görüntü stili {\ vec {f}}}$${\ görüntü stili \ mu}$${\ görüntü stili \ lambda}$

Literatürde kullanılan form için başka bir gösterim:

${\ displaystyle \ rho {\ dot {\ vec {v}}} = \ rho \ sol ({\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + ({\ vec {v}) } \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ sağ) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + \ sol (\ zeta + {\ frac {\ mu} {3} } \ sağ) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}.}$

Bu şekilde, yığın viskozitesi . İle süreklilik denklemi ve uygulama Stokes hipotezi için, denklem ivme yoğunluğu olur : ${\ görüntü stili \ zeta}$ ${\ görüntü stili \ zeta = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {m}} = \ rho {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ vec {m}}} {\ kısmi t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ bazen {\ vec {m}}) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + {\ frac {\ mu} {3}} \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}.}$

Aritmetik sembol oluşturan diyadik ürünü . Denklemleri tamamlamak için kütle dengesi veya süreklilik denklemi ( kütlenin korunumu yasası ) ve gazlar söz konusu olduğunda enerji dengesi ( enerjinin korunumu yasası ) eklenmelidir. Akışkandan yapılan diğer varsayımlara bağlı olarak, tüm sistem farklı biçimlerde sonuçlanır. Sıkıştırılamaz akışkanlar için en yaygın kullanılan biçim Navier-Stokes denklemleridir çünkü bunlar ses altı akışlara çok uygundur ve bunların hesaplanması sıkıştırılabilir akışkanlarınkinden daha kolaydır. ${\ görüntü stili \ bazen}$

Bileşenlerde momentum denklemi

Denklemlerin vektör biçimi her koordinat sisteminde geçerlidir . Burada momentum denkleminin bileşen denklemleri özellikle Kartezyen koordinatları için verilecektir .

${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} & {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {x})} {\ kısmi t}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {x} ^ {2}) } {\ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {x} v_ {y})} {\ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {x} v_ {z) })} {\ kısmi z}} = \ dotsm \\ & \ qquad \ dotsm = - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \ sol [\ mu \ sol (2 {\ frac {\ kısmi v_ {x}} {\ kısmi x}} - {\ frac {2} {3}} (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})) \ sağ) \ sağ] + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y}} \ sol [\ mu \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {x}} {\ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi x}} \ sağ) \ sağ] + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ sol [\ mu \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {x}) } {\ kısmi z}} + {\ frac {\ kısmi v_ {z}} {\ kısmi x}} \ sağ) \ sağ] + f_ {x} \\ & {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ { y})} {\ kısmi t}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {x} v_ {y})} {\ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {y}) ^ {2})} {\ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {y} v_ {z})} {\ kısmi z}} = \ dotsm \\ & \ qquad \ dotsm = - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \ sol [\ mu \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi v_ {x}} {\ kısmi y}} \ sağ) \ sağ] + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y }} \ sol [\ mu \ sol (2 {\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi y}} - {\ frac {2} {3}} (\ nabla \ cdot {\ vec {v}) }) \ sağ) \ sağ] + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ sol [\ mu \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi z}} + {\ frac {\ kısmi v_ {z}} {\ kısmi y}} \ sağ) \ sağ] + f_ {y} \\ & {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {z})} {\ kısmi t}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {x} v_ {z})} {\ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {y} v_ {z})} {\ kısmi y }} + {\ frac {\ kısmi (\ rho v_ {z} ^ {2})} {\ kısmi z}} = \ dotsm \\ & \ qquad \ dotsm = - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi z}} + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \ sol [\ mu \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {z}} {\ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi v_ {x}} {\ kısmi z}} \ sağ) \ sağ] + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y}} \ sol [\ mu \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {z}}) {\ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi z}} \ sağ) \ sağ] + {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ sol [\ mu \ sol (2 {\ frac {\ kısmi v_ {z}} {\ kısmi z}} - {\ frac {2} {3}} (\ nabla \ cdot {\ ve c {v}}) \ sağ) \ sağ] + f_ {z} \ bitiş {hizalı}}}$

İçinde ve uzaysal -, - ve - yönlerdeki vektör bileşenleri vardır . Bu formda, sıcaklık bağımlılığı ve akışkandaki sıcaklık dalgalanmaları nedeniyle kesme viskozitesinin olası bir konum bağımlılığı hesaba katılabilir. ${\ görüntü stili v_ {x, y, z}}$${\ görüntü stili f_ {x, y, z}}$${\ görüntü stili x}$${\ görüntü stili y}$${\ görüntü stili z}$

boyutsuzlaştırma

Navier-Stokes denklemleri, uzunluk , hız ve yoğunluk için tüm akış alanının karakteristik ölçümleriyle boyutsuzlaştırılabilir . Bu boyutsuz miktarları yaratır ${\ görüntü stili L}$${\ displaystyle v _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ rho _ {\ infty}}$

${\ displaystyle {\ start {hizalanmış} {\ vec {x}} ^ {\ ast}: = {\ frac {\ vec {x}} {L}}, \ quad \ nabla ^ {\ ast}: = L \ nabla, \ dörtlü \ Delta ^ {\ ast}: = L ^ {2} \ Delta, \ dörtlü {\ vec {v}} ^ {\ ast}: = {\ frac {\ vec {v}} {v_ {\ infty}}}, \ dörtlü \\ t ^ {\ ast}: = {\ frac {v _ {\ infty} t} {L}}, \ dörtlü \ rho ^ {\ ast}: = {\ frac { \ rho} {\ rho _ {\ infty}}}, \ dörtlü p ^ {\ ast}: = {\ frac {p} {\ rho _ {\ infty} v _ {\ infty} ^ {2}} }, \ dörtlü {\ vec {f}} ^ {\ ast}: = {\ frac {L {\ vec {f}}} {\ rho _ {\ infty} v _ {\ infty} ^ {2}} }, \ bitiş {hizalanmış}}}$

hangi boyutsuz momentum denklemine yol açar:

${\ displaystyle \ rho ^ {\ ast} \ sol ({\ frac {\ kısmi {\ vec {v}} ^ {\ ast}} {\ kısmi t ^ {\ ast}}} + ({\ vec {v) }} ^ {\ ast} \ cdot \ nabla ^ {\ ast}) {\ vec {v}} ^ {\ ast} \ sağ) = - \ nabla ^ {\ ast} p ^ {\ ast} + {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ Delta ^ {\ ast} {\ vec {v}} ^ {\ ast} + {\ frac {1} {3 \ mathrm {Re}}} \ nabla ^ {\ ast} (\ nabla ^ {\ ast} \ cdot {\ vec {v}} ^ {\ ast}) + {\ vec {f}} ^ {\ ast}}$

Bu boyutsuz Reynolds sayısını karakterize eder.

${\ displaystyle \ matrm {Re} = {\ frac {L \ rho _ {\ infty} v _ {\ infty}} {\ mu}}}$

atalet kuvvetinin kesme kuvvetlerine oranı cinsinden akış.

Serbest bir yüzeye sahip akışları durumunda, boyutsuz bir güç yoğunluğu içeren Froude sayısı yerçekimi kuvvetleri atalet oranını karakterize etmektedir. ${\ displaystyle {\ vec {f}} ^ {\ ast}}$

Momentum denkleminin türetilmesi

Chapman-Enskog genişleme Boltzmann denklemleri kinetik gaz teorisi ufuk toplu viskozitesi, yani, ile Navier Stokes denklemlerinin potansiyel . Bu gelişme, yalnızca parçacıkların hızına bağlı olan, yani dönme açısal momentumlarını ihmal eden bir dağılım fonksiyonuna dayanmaktadır. Bu, düşük ila orta basınçtaki tek atomlu gazlarda iyi bir varsayımdır, ancak artık çok atomlu gazlar için geçerli değildir. Chapman-Enskog geliştirmesi matematiksel olarak o kadar zorlayıcıdır ki burada sunulamaz.${\ görüntü stili \ zeta = 0}$

Fenomenolojik süreklilik mekanik yaklaşımında, hacim viskozitesi ile Navier-Stokes denklemleri Newton'un doğrusal viskozite varsayımından aşağıdaki gibi sonuçlanır. Viskozite, etkili alanına dayalı olarak bir kesme gerilimine karşılık gelen bir kesme akışını sürdürmek için bir kuvvetin gerekli olduğu deneye dayanmaktadır . Tüm uzaysal yönlerde üniform bir normal gerilimi temsil eden basınç, aynı zamanda sıvı içinde de etki eder . Cauchy'nin stres tensörü , bir akışkan elemanındaki gerilme durumunu matematiksel bir nesnede özetler ve buna göre ayrılmasını somutlaştırır . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ int _ {A} {\ vec {s}} \, \ matematik {d} A = \ int _ {V} \ operatör adı {div} {\ varvec {\ sigma }} \, \ matematik {d} V}$

sıvıdaki kuvvetlerin akışı. Hacmin yüzeyinde alan-dağıtılmış kuvvetlerle etki eden kuvvet , gerilme tensörünün diverjansı üzerindeki hacim integralidir . Bu nedenle, önemli bir hızlanmaya katkıda bulunur ${\ görüntü stili {\ vec {F}}}$${\ görüntü stili {\ vec {s}}}$${\ görüntü stili A}$${\ görüntü stili V}$

${\ displaystyle {\ dot {\ vec {v}}}: = {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + {\ vec {v}} \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {v}} ) = {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} \ cdot {\ vec {v}} = {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + \ operatöradı {grad} ({\ vec {v}}) \ cdot {\ vec {v}}}$

akışkan elementlerdendir. Gerilme tensörünün diverjansına ek olarak, yerçekimi gibi hacimce dağıtılmış bir kuvvet bir akışkan elemanı üzerinde etki edebilir ve böylece birinci Cauchy-Euler hareket yasası yoğunluk ile sonuçlanır : ${\ görüntü stili {\ vec {f}}}$${\ görüntü stili \ rho}$

${\ displaystyle \ rho {\ dot {\ vec {v}}} = \ operatöradı {div} {\ boldsymbol {\ sigma}} + {\ vec {f}}}$

Bir Newton tipi sıvı olan ile kuvvetlerini aktarabilmek basınç akış hızındaki uzamsal değişim bağlıdır ve makroskopik olarak sıvı üzerinden ve gerilimler, içinde fark olarak viskozite . Akış hızındaki uzamsal değişim, hız gradyanında özetlenir. Bununla birlikte, hız gradyanının asimetrik kısmı ile ölçülen rijit bir dönüşte gerilim yoktur , bkz . akışkanlar mekaniğinde kinematik . Buna göre, hız gradyanının sadece simetrik kısmı olan distorsiyon hız tensörü,${\ displaystyle \ operatöradı {grad} {\ vec {v}}}$${\ görüntü stili \ matematik {d}}$

${\ displaystyle \ mathbf {d}: = {\ frac {1} {2}} [\ nabla \ otimes {\ vec {v}} + (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top }] = {\ frac {1} {2}} {\ başlangıç ​​{pmatrix} 2 {\ frac {\ kısmi v_ {x}} {\ kısmi x}} & {\ frac {\ kısmi v_ {x}} { \ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi x}} & {\ frac {\ kısmi v_ {x}} {\ kısmi z}} + {\ frac {\ kısmi v_ { z}} {\ kısmi x}} \\ & 2 {\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi y}} & {\ frac {\ kısmi v_ {y}} {\ kısmi z}} + { \ frac {\ kısmi v_ {z}} {\ kısmi y}} \\ {\ metin {sym.}} && 2 {\ frac {\ kısmi v_ {z}} {\ kısmi z}} \ son {pmatrix} }}$

viskoziteye katkıda bulunur. Referans sisteminde değişmez olan bir doğrusal viskozite malzeme modelinde , stres tensörü yalnızca ana doğrusal değişmezine bağlı olabilir . Lineer olarak viskoz, izotropik akışkan için klasik malzeme teorisinin malzeme modeli buna göre: ${\ görüntü stili \ matematik {d}}$ ${\ displaystyle \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d})}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p \ mathbf {1} + \ lambda \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d}) \ matbf {1} +2 \ mu \ matbf {d} = - p \ mathbf {1} + \ zeta \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d}) \ matbf {1} +2 \ mu \ matbf {d} ^ {\ rm {D}}}$

Bu belirtmektedir (statik) basıncı, birim tensörü , iz , üst saptırma , kesilme viskozitesine , birinci Lamé sabit ve hacim viskozitesi . ${\ görüntü stili p}$${\ görüntü stili \ matematik {1}}$${\ displaystyle \ operatör adı {Sp}}$${\ görüntü stili {\ rm {D}}}$${\ görüntü stili \ mu}$${\ görüntü stili \ lambda}$${\ displaystyle \ zeta = \ lambda +2 \ mu / 3}$

Gerilme tensörünün diverjansını birinci Cauchy-Euler hareket yasasına eklemek Navier-Stokes denklemlerini verir.

kanıt

Cauchy-Euler'in hareket yasası için, stres tensörünün diverjansı kullanılarak hesaplanır. ${\ displaystyle {\ start {hizalanmış} 2 \ mathbf {d} = & \ nabla \ otimes {\ vec {v}} + (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} \\\ operatöradı {Sp} \ mathbf {d} = & \ nabla \ cdot {\ vec {v}} \ bitiş {hizalı}}}$ ve türetme kuralları ${\ displaystyle {\ start {hizalanmış} \ nabla \ cdot (f \ mathbf {1}) = & \ nabla f \\\ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {f}}) = & (\ nabla \ cdot \ nabla) {\ vec {f}} = \ Delta {\ vec {f}} \\\ nabla \ cdot (\ nabla \ bazen {\ vec {f}}) ^ {\ top} = & \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {f}}) \ bitiş {hizalanmış}}}$ sağlanan formül toplama Tensöranalizine bakın : ${\ displaystyle {\ start {hizalanmış} \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} = & \ nabla \ cdot \ left [-p \ mathbf {1} + \ lambda \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d }) \ matbf {1} +2 \ mu \ matbf {d} \ sağ] \\ = & - \ nabla p + \ lambda \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + \ mu \ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) + \ mu \ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} \\ = & - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \ bitiş {hizalı}}}$ Orada olan Laplace operatörü . Viskozite parametreleri sıcaklığa bağlıdır ve sıcaklık, özellikle gazlarda, sapma oluşumunda dikkate alınması gereken yerel olarak değişkendir. Burada ihmal edildi (her zamanki gibi). Navier-Stokes denklemleri bu şekilde ortaya çıkıyor ${\ görüntü stili \ Delta}$ ${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} \ rho {\ nokta {\ vec {v}}} = & - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla ( \ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}} \\\ rho {\ dot {\ vec {v}}} = & - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v }} + {\ vec {f}}, \ end {hizalanmış}}}$ aşağıdaki denklem sıkıştırılamazlığı varsayar. Çarpım kuralı momentum yoğunluğunu hesaplamak için kullanılır : ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {v}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {m}} = \ rho {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} {\ frac {\ kısmi {\ vec {m}}} {\ kısmi t}} = {\ frac {\ kısmi (\ rho {\ vec {v}})} {\ kısmi t}} = & {\ frac {\ kısmi \ rho} {\ kısmi t}} {\ vec {v}} + \ rho {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t} } \\\ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = & \ nabla \ cdot ({\ vec {m}} \ otimes {\ vec {v}}) = (\ nabla \ cdot {\ vec {m}}) {\ vec {v}} + ({\ vec {m}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \\\ sağ ok {\ frac {\ kısmi {\ vec {m}}} {\ kısmi t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = & {\ altı çizili {{\ frac {\ kısmi \ rho} {\ kısmi t}} {\ vec {v}}}} + \ rho {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + {\ altı çizili {(\ nabla \ cdot {\ vec {m}}) {\ vec {v}}}} + \ rho ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \ cdot {\ vec {v}} = \ rho {\ nokta { \ vec {v}}} \ bitiş {hizalı}}}$ Süreklilik denklemi nedeniyle altı çizili terimler atlanır ve momentum yoğunluğu denklemi oluşturulur: ${\ displaystyle {\ tfrac {\ kısmi \ rho} {\ kısmi t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ vec {v}}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ vec {m}}} {\ kısmi t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ bazen {\ vec {m}}) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + (\ lambda + \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) + {\ vec {f}}}$

Basınç, yoğunluk ve bozulma hızı tensörü nesneldir, bkz. Öklid dönüşümü , bu nedenle farklı gözlemciler tarafından aynı şekilde algılanırlar. Bu nedenle Navier-Stokes denklemleri bir Galilei dönüşümü için değişmezdir . ${\ görüntü stili \ matematik {d}}$

Sıkıştırılamaz akışkanlar için Navier-Stokes denklemleri

Parçacık yörüngeleri boyunca yoğunluk değişmezse, akış sıkıştırılamaz olarak adlandırılır . Bu, örneğin, ses hızının çok altındaki su veya gazlar için makul bir varsayımdır ( Mach sayısı <0.3). Hız alanının sapmasız olmasını sağlamak için süreklilik denklemi basitleştirilmiştir :

${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ vec {v}} = 0}$

Momentum denklemi şunları basitleştirir:

${\ displaystyle \ rho \ sol ({\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + \ sol ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla \ sağ)) {\ vec { v}} \ sağ) = - \ nabla p + \ mu \ Delta {\ vec {v}} + {\ vec {f}}}$

Burada fiziksel basınç anlamına gelir , birim hacme dayalı bir hacim kuvvetidir ve dinamik viskozitedir. Sıkıştırılamaz bir akış, konum ve zamanın bir fonksiyonu olarak hız ve basınç için iki miktar için iki denklemli bir kısmi diferansiyel denklem sistemi ile tamamen tanımlanır . Sistemi kapatmak için enerjinin korunumu gerekli değildir. Bu denklem seti, sıkıştırılamaz Navier-Stokes değişken yoğunluk denklemleri olarak da bilinir . Bu denklem için uygulama örnekleri, farklı tuzluluktaki suyun sıkıştırılamaz olduğu ancak sabit bir yoğunluğa sahip olmadığı oşinografideki problemlerdir. ${\ görüntü stili p}$${\ görüntü stili {\ vec {f}}}$${\ görüntü stili \ mu}$${\ görüntü stili {\ vec {v}}}$${\ görüntü stili p}$

Birçok pratik problemde akış sadece sıkıştırılamaz olmakla kalmaz, aynı zamanda sabit bir yoğunluğa sahiptir. Burada yoğunluğa bölebilir ve bunu diferansiyel operatörlere dahil edebilirsiniz:

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = - \ nabla {\ üst üste {p}} + \ nu \ Delta {\ vec {v}} + {\ üst üste {\ vec {f}}}}$

Bu denklemde fiziksel basınç ve yoğunluk bölümü temsil edilir ve yerçekiminden kaynaklanan bir ivmedir . Bu değişkenler böylece birim kütle ile ilgili basıncı veya hacim kuvvetini temsil eder Değişken , kinematik viskozitedir ve difüzyon momentum taşınımını ölçer. ${\ displaystyle {\ üst çizgi {p}} = p / \ rho}$${\ displaystyle {\ üst çizgi {\ vec {f}}} = {\ vec {f}} / \ rho}$${\ displaystyle \ nu = \ mu / \ rho}$

İkincisi denklemler olarak da literatürde anılır Navier-Stokes denklemlerinin veya basitçe onlar en iyi çalışılmış ve en sık pratikte kullanılan çünkü Navier-Stokes denklemlerinin. Ayrıca sıkıştırılabilir akışkanlar için denklemlerden daha kolay çözülürler. Denklemler birçok önemli akış problemi için kullanılabilir, örneğin ses hızının çok altındaki hava akımları ( Mach sayısı <0.3), su akımları ve sıvı metaller için. Bununla birlikte, söz konusu akışkanların yoğunlukları, süpersonik akışlarda veya meteorolojide olduğu gibi önemli ölçüde değişir değişmez, sıkıştırılamaz akışkanlar için Navier-Stokes denklemleri artık uygun bir gerçeklik modelini temsil etmez ve tam Navier-Stokes ile değiştirilmelidir. sıkıştırılabilir akışkanlar için denklemler Akışkanlar değiştirilir.

Bileşenlerde sıkıştırılamazlık için momentum denklemi

Denklemlerin vektör biçimi her koordinat sisteminde geçerlidir . Burada sıkıştırılamazlık için momentum denkleminin bileşen denklemleri Kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlarda verilecektir.

Bir de Kartezyen sistemde, momentum denkliği yazılır: ${\ görüntü stili xyz}$

${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} \ rho {\ frac {\ matematik {D} v_ {x}} {\ matematik {D} t}} = & - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi x} } + \ mu \ Delta v_ {x} + f_ {x} \\\ rho {\ frak {\ matrm {D} v_ {y}} {\ matrm {D} t}} = & - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi y}} + \ mu \ Delta v_ {y} + f_ {y} \\\ rho {\ frac {\ matematik {D} v_ {z}} {\ matematik {D} t}} = & - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi z}} + \ mu \ Delta v_ {z} + f_ {z} \\ {\ frac {\ matematik {D}} {\ matematik {D} t }} = & {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t}} + v_ {x} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} + v_ {y} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y}} + v_ {z} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ bitiş {hizalanmış}}}$

Operatör , önemli türev anlamına gelir . ${\ görüntü stili {\ tfrac {D} {\ matematik {D} t}}}$

Olarak silindir koordinatlarda ( ) denklemleri şunlardır: ${\ displaystyle R, \ varphi, z}$

${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} \ rho \ sol ({\ frac {\ matematik {D} v_ {R}} {\ matematik {D} t}}) - {\ frac {v _ {\ varphi} ^ { 2 }} {R}} \ sağ) = & - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi R}} + \ mu \ sol (\ Delta v_ {R} - {\ frac {v_ {R}} { R ^ {2}}} - {\ frac {2} {R ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi v _ {\ varphi}} {\ kısmi \ varphi}} \ sağ) + f_ {R} \\ \ rho \ sol ({\ frac {\ matrm {D} v _ {\ varphi}} {\ matrm {D} t}} + {\ frac {v_ {R} v _ {\ varphi}} {R }} \ sağ ) = & - {\ frac {1} {R}} {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi \ varphi}} + \ mu \ sol (\ Delta v _ {\ varphi} - {\ frac {v _ {\ varphi}} {R ^ {2}}} + {\ frac {2} {R ^ {2}}} {\ frac {\ kısmi v_ {R}} {\ kısmi \ varphi}} \ sağ) + f_ { \ varphi} \\\ rho {\ frac {\ matematik {D} v_ {z}} {\ matematik {D} t}} = & - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi z}} + \ mu \ Delta v_ {z} + f_ {z} \\ {\ frac {\ matematik {D}} {\ matematik {D} t}} = & {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t}} + v_ { R} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi R}} + {\ frac {1} {R}} v _ {\ varphi} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ varphi }} + v_ {z} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ bitiş {hizalı}}}$

Olarak küresel koordinatlar ( ) denklemleri şunlardır: ${\ displaystyle r, \ varphi, \ teta}$

${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} \ rho \ sol ({\ frac {\ matematik {D} v_ {r}} {\ matematik {D} t}}) - {\ frac {v _ {\ varphi} ^ { 2 } + v _ {\ teta} ^ {2}} {r}} \ sağ) = & - {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi r}} + \ mu \ sol [\ Delta v_ {r} - { \ frac {2} {r ^ {2}}} \ sol (v_ {r} + {\ frac {\ kısmi v _ {\ teta}} {\ kısmi \ teta}} + v _ {\ teta} \ cot \ teta + {\ frac {1} {\ sin \ teta}} {\ frac {\ kısmi v _ {\ varphi}} {\ kısmi \ varphi}} \ sağ) \ sağ] + f_ {r} \ \\ rho \ sol ({\ frac {\ matrm {D} v _ {\ varphi}} {\ matrm {D} t}} + {\ frac {v_ {r} v _ {\ varphi} + v _ { \ varphi} v _ {\ teta} \ cot \ teta} {r}} \ sağ) = & - {\ frac {1} {r \ sin \ teta}} {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi \ varphi}} + \ mu \ sol [ \ Delta v _ {\ varphi} + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ sol (-v _ {\ varphi} +2 {\ frac {\ kısmi v_ {r }} {\ kısmi \ varphi}} + 2 {\ frac {\ kısmi v _ {\ teta}} {\ kısmi \ varphi}} \ cos \ teta \ sağ) \ sağ] + f _ {\ varphi} \\\ rho \ sol ({\ frac {\ matematik {D} v _ {\ teta}} {\ matematik {D} t}} + {\ frac {v_ {r}) v _ {\ teta} -v _ {\ varphi} ^ {2 } \ karyola \ teta} {r}} \ sağ) = & - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ kısmi p} {\ kısmi \ teta}} + \ mu \ sol [\ Delta v _ {\ teta} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} \ sol ({\ frac {\ kısmi v_ {r}} {\ kısmi \ teta}} - { \ frac {v _ {\ teta}} {\ günah ^ {2} \ teta}} - {\ frac {\ cos \ teta} {r ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta}} {\ frac { \ kısmi v _ {\ varphi}} {\ kısmi \ varphi}} \ sağ) \ sağ] + f _ {\ teta} \\ {\ frac {\ matrm {D}} {\ matrm {D} t }} = & {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi t}} + v_ {r} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi r}} + {\ frac {v _ {\ varphi}} {r \ günah \ teta}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ varphi}} + {\ frac {v _ {\ teta}} {r}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ teta}} \ bitiş {hizalanmış}}}$

Sıkıştırılabilir akışkanlar için Navier-Stokes denklemleri

Sıkıştırılabilir gazlar için, yukarıdaki momentum denklemleri, bir ideal gazın enerji dengesini ve durum denklemini içerecek şekilde genişletilir . Denklemler tam grubu bu şekilde süreklilik denklemi (oluşur kütlenin korunumu ) momentum dengesinin ( korunumu ivme ), enerji dengesi ( enerjinin korunumu ) ve devlet bir denklem. Parantez içinde verilen yasalar kapalı sistemlerde geçerlidir, ancak gelen ve giden akışlar bir akışkan parçacığı üzerinde dengelenmelidir, bu da akışkanlar mekaniği altında bakılabilecek denge denklemlerine yol açar . Parçacık yörüngeleri boyunca yoğunluğun sabit olduğu varsayıldığında, sıkıştırılamaz akışkanlar için denklemler yeniden ortaya çıkar.

Aşağıda, bir değişken aracının türevi zamana göre ve bir Nabla operatör bağlantıyı bağlı konuma türevi olup oluşturan, yani bir sapma veya gradyan, ve üç olan konumu , bir Kartezyen koordinat sisteminde koordinatları . Belirtilen denge denklemleri kapalı sistemlerde korunum denklemlerine yol açar. ${\ görüntü stili \ kısmi _ {t}}$${\ görüntü stili \ nabla}$${\ displaystyle x_ {i} ~ (i = 1,2,3)}$

kütle korunumu

Süreklilik denklemi kütlesinin korunması karşılık gelir ve formüle ivme yoğunluğu burada : ${\ displaystyle {\ vec {m}} = \ rho {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi \ rho} {\ kısmi t}} + \ nabla \ cdot {\ vec {m}} = 0}$

Momentumun korunması

Momentum dengesi , momentumun korunumuna karşılık gelir ve indeks notasyonundadır.

${\ displaystyle \ rho {\ nokta {v}} _ {i}: = \ kısmi _ {t} m_ {i} + \ toplam _ {j = 1} ^ {3} \ kısmi _ {x_ {j}} m_ {i} v_ {j} = - \ kısmi _ {x_ {i}} p + \ toplam _ {j = 1} ^ {3} \ kısmi _ {x_ {j}} S_ {ij} + f_ {i } \ qquad (i = 1,2,3),}$

nerede Kronecker delta ve ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

${\ displaystyle S_ {ij} = \ mu (\ kısmi _ {x_ {j}} v_ {i} + \ kısmi _ {x_ {i}} v_ {j}) + \ lambda \ delta _ {ij} \ toplam _ {k = 1} ^ {3} \ kısmi _ {x_ {k}} v_ {k} \ qquad (i, j = 1,2,3)}$

sürtünme tensörü veya viskoz stres tensörüdür . Malzeme parametre dinamik viskozite, bir ilk Lamé sabit ve bir hacim kuvvet vektörünün inci bileşeni. Alternatif, koordinatsız gösterimde, momentum dengesi ${\ görüntü stili \ mu}$${\ görüntü stili \ lambda}$${\ görüntü stili f_ {i}}$${\ görüntü stili ben}$

${\ displaystyle \ rho {\ nokta {\ vec {v}}} = {\ frac {\ kısmi {\ vec {m}}} {\ kısmi t}} + \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes {\ vec {m}}) = \ nabla \ cdot \ sol (-p \ mathbf {1} + \ mathbf {S} \ sağ) + {\ vec {f}},}$

hangisinde

${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mu \ sol [(\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ top} + \ nabla \ otimes {\ vec {v}} \ sağ] + \ lambda (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \ matbf {1} = 2 \ mu \ matbf {d} + \ lambda \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d}) \ matbf {1}}$

viskoz gerilme tensörü, şekil değiştirme hızı olan tensör, simetrik bir parçası hızı gradyanı vardır ve izleme , stres tensörünün 1 birim tensörü ve diyadik ürün , bakınız momentum denkleminin içinde türev üzerinde. ${\ görüntü stili \ matematik {d}}$ ${\ displaystyle (\ nabla \ otimes {\ vec {v}}) ^ {\ üst}}$ ${\ displaystyle \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d}) = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$${\ displaystyle -p \ mathbf {1} + \ mathbf {S} = {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ görüntü stili \ bazen}$

Enerjinin korunumu

Dünyanın yerçekimi alanındaki akışkan parçacık üzerindeki enerji dengesi okur

${\ displaystyle \ kısmi _ {t} \ rho E + \ nabla \ cdot (H {\ vec {m}}) = \ nabla \ cdot (\ mathbf {S} \ cdot {\ vec {v}} - {\ vec {W}}) + q- \ rho {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {g}},}$

burada yer çekimi ivmesi ve ${\ görüntü stili {\ vec {g}}}$

${\ displaystyle H = E + {\ frac {p} {\ rho}}}$

bir entalpi Birim kütle başına. Yerçekimine bağlı ivmenin önündeki negatif işaret, aşağı yönlü vektörden kaynaklanır , böylece yukarı doğru akan bir akımda potansiyel enerji kazanılır . Isı akısı , termal iletkenlik katsayısı aracılığıyla bir ${\ görüntü stili {\ vec {g}}}$ ${\ görüntü stili {\ vec {W}}}$${\ görüntü stili \ kappa}$

${\ displaystyle {\ vec {W}} = - \ kappa \ nabla T}$

yazılacak. Kaynak terimi , örneğin, radyasyonun bir sonucu olarak sera gazlarından ısının emilmesini ve emisyonunu tanımlamak için kullanılabilir . Birim kütle başına toplam enerji , iç ( ), kinetik ve potansiyel enerjinin toplamıdır , bu nedenle (yükseklik ile ) olarak yazılabilir . ${\ görüntü stili q}$${\ görüntü stili E}$${\ görüntü stili e}$${\ görüntü stili h}$

${\ displaystyle E = e + {\ frac {1} {2}} | {\ vec {v}} | ^ {2} + h | {\ vec {g}} |.}$

Devlet denklemi

Şimdi beş değişken için dört denklem var ve sistem aşağıdaki durum denklemi ile tamamlanıyor :

${\ displaystyle p = (\ gamma -1) \ rho \ sol (E - {\ frac {1} {2}} | {\ textbf {v}} | ^ {2} -h | {\ vec {g} } | \ sağ)}$

Termodinamik büyüklükler yoğunluk, basınç ve sıcaklık ideal gaz yasası ile bağlantılıdır:

${\ displaystyle T = {\ frac {p} {\ rho R}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad e = \ int _ {T_ {0}} ^ {\ top} c_ {v} (\ tau) \, \ matematik {d} \ tau}$

Çoğu zaman sabit özgül ısı kapasitesine sahip mükemmel bir gaz da varsayılır . Daha sonra integral basitleştirilir ve aşağıdakiler uygulanır: ${\ görüntü stili c_ {v}}$

${\ displaystyle e = c_ {v} T = {\ frac {RT} {\ gama -1}} = {\ frac {p} {\ rho \ cdot (\ gamma -1)}}}$

Her iki durumda da asılı izentropik üs ve gaz sabiti sabit basınç için spesifik ısı katsayısı ile , sırasıyla sabit hacim ile ve birlikte. ${\ görüntü stili \ gama}$ ${\ görüntü stili R}$${\ görüntü stili c_ {p}}$${\ görüntü stili c_ {v}}$${\ displaystyle \ gama = {\ frac {c_ {p}} {c_ {v}}}}$${\ displaystyle R = c_ {p} -c_ {v}}$

sınır şartları

Navier-Stokes denklemlerinde önemli bir nokta, sıfırın hem normal yönde hem de özellikle teğetsel yönde bir duvardaki bağıl hız olarak belirtildiği , deneysel olarak çok iyi kanıtlanmış kayma koşuludur ( kaymama koşulu ) . Akışkan parçacıkları duvara yapışır. Bu , yalnızca Navier-Stokes denklemleri tarafından modellenen temel olaylardan sorumlu olan bir sınır tabakasının oluşumuna yol açar . Yalnızca hareketli moleküllerin serbest yolu, geometrinin karakteristik uzunluğuna göre büyükse (örneğin, aşırı düşük yoğunluklu gazlar veya aşırı dar boşluklardaki akışlar için), bu koşul artık kullanışlı değildir.

Bir yüzeydeki dinamik (yani kuvvet) sınır koşulları nedeniyle, yüzey genellikle deforme olur ve akış onu takip eder. Daha sonra sorun, alanın belirlenmesini içerir. Yüzeydeki tüm noktalar için yüzey kuvvetinin veya stres vektörünün belirtilmesinden ve yüzeyin bir malzeme yüzeyi olması gerçeğinden kaynaklanır, çünkü yüzey kuvvetleri sadece sıvı parçacıklarına uygulanabilir. Şu yüzeyine uygulanır olup, normal birim vektörü yüzeyi ve tensör stres hesaplanan malzeme denklem. Çoğunlukla, özellikle teknik alanda B. İçinden akışın olduğu bir borunun çıkışında, işi önemli ölçüde kolaylaştıran alan bilinir. ${\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {s}} _ {0} = {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {n}}}$${\ görüntü stili {\ şapka {n}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p \ mathbf {1} + \ lambda \ operatöradı {Sp} (\ mathbf {d}) \ matbf {1} +2 \ mu \ matbf {d}}$

Buna küçük ölçekli akışları durumunda, yüzey gerilimi göre, hesap, alınması gereken Young-Laplace denklemi, bağlı eğriliği yüzeyinde. Eğrilik zayıfsa, yüzeydeki basınç için denklem ortaya çıkar.

${\ displaystyle p (x, y, z = h) = p_ {0} - \ gama \ sol ({\ frac {\ kısmi ^ {2} h (x, y)} {\ kısmi x ^ {2}} } + {\ frac {\ kısmi ^ {2} h (x, y)} {\ kısmi y ^ {2}}} \ sağ).}$

Burada yüzey parametrelerine sahip olan yüzey üzerindeki belirtilen basınç ve , ve yüzey geriliminin gücünü ölçekleyen bir parametredir.${\ görüntü stili p_ {0}}$${\ görüntü stili h}$${\ görüntü stili x}$${\ görüntü stili y}$${\ görüntü stili \ gama}$

Ek olarak, gerekirse kenarda bir sıcaklık veya ısı akışı belirtilmelidir.

Muhtemel çözümler

teorik çözüm

Bugüne kadar küresel çözümlerin varlığını kanıtlamak mümkün olmamıştır. Matematikçiler P.-L. Aslanlar (literatür listesine bakınız) esasen sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerinin önemli özel durumunu dikkate alır . Diğerlerinin yanı sıra Olga Alexandrovna Ladyschenskaja , Roger Temam ve Ciprian Foias, iki boyutlu durum için varoluş, benzersizlik ve düzenlilik hakkında kapsamlı ifadeler kanıtlamış olsa da , şu ana kadar genel üç boyutlu durum için hiçbir sonuç yok. Sobolev uzayları için artık kullanılamayacak bazı temel gömme teoremleri vardır . Bununla birlikte, sonlu zamanlar veya özel, özellikle küçük, üç boyutlu durumda da - özellikle zayıf çözümler için -  varlık ve benzersizlik ifadeleri vardır . Navier-Stokes denklemlerinin üç boyutta da zayıf çözümleri durumu Jean Leray tarafından 1934'te ele alındı . Getirdiği zayıf çözümlerin iki boyutta patolojik davranış göstermediğini (sonlu zamanda ıraksamanın (blow up) olmadığını) gösterdi. ve böylece küresel zaman içinde var olur. Ancak, Tristan Buckmaster ve Vlad Vicol tarafından yapılan araştırma, başka bir zayıf çözüm türü için (Leray'in tanımından daha zayıf), Navier-Stokes denklemlerinin üç boyutta patolojik davranış (belirsizlik) gösterdiğini gösterdi.

Clay Mathematics Institute'a göre , üç boyutlu varlığın genel, sıkıştırılamaz ispatı sorunu , binyılın başında çözülmemiş en önemli matematik problemlerinden biridir.

Pratikte fiziksel modeller/sınır koşulları (özel durumlar) sadeleştirilerek analitik çözümler elde edilir. Konvektif ivmenin lineer olmayışı burada özel bir problem teşkil etmektedir . Girdap yardımıyla temsil burada yararlıdır : ${\ görüntü stili ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = \ nabla \ kez {\ vec {v}} = \ operatör adı {kırmızı} \; {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla (\ | {\ vec {v}} \ |) ^ {2} - {\ vec {v}} \ kere {\ vec {\ omega}}}$

Kapalı analitik çözümler neredeyse sadece ikinci terimin ortadan kalktığı durumlar için mevcuttur. Bu, 3-boyutlu akışlarda girdapların daima akım çizgisi boyunca oluştuğu varsayımına dayanır ( Helmholtz girdap yasasına göre ), yani durum için. Ancak, bu varsayım tüm gerçek akımlar için geçerli değildir. Hamel-Oseenschen girdabında olan analitik bir çözüm . ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} \ | {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} \ bot {\ vec {v}}}$

Navier-Stokes denklemleri, sayısal matematikte önemli bir uygulama alanıdır (teori, çözümlerin varlığı ve benzersizliği ile ilgilenir, ancak genellikle kapalı çözüm formülleri yoktur). Navier-Stokes denklemleri için sayısal yaklaşım yöntemlerinin oluşturulmasıyla ilgilenen alt alan, sayısal akışkanlar mekaniği veya Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiğidir (HAD).

sayısal çözüm

Navier-Stokes denklemlerinin sayısal çözümü için sayısal akışkanlar mekaniği yöntemleri kullanılmaktadır . Şöyle discretisations olmak sonlu fark , sonlu eleman ve sonlu hacim yöntemi hem de özel görevler için spektral yöntemler kullanılabilir ve diğer teknikler. Sınır tabakasını doğru bir şekilde çözebilmek için, ızgaraların duvara yakın normal yönde son derece ince bir şekilde çözülmesi gerekir. Bu, duvardaki hücrelerin son derece büyük en boy oranlarına sahip olması için teğet yönde yapılmaz.

Hassas çözünürlük , açık zaman entegrasyonu ile CFL koşuluna uygunluk nedeniyle son derece küçük zaman adımlarını zorlar . Bu nedenle, genellikle örtük prosedürler kullanılır. Denklem sisteminin doğrusal olmaması nedeniyle , sistem yinelemeli olarak çözülmelidir (örneğin, çoklu ızgara veya Newton yöntemleri ile ). Sıkıştırılamaz denklemlerdeki momentum ve süreklilik denklemlerinin birleşimi burada kullanılabilecek bir eyer noktası yapısına sahiptir.

FHP modeli , hidrodinamik limit dahilinde Navier-Stokes denklemini karşılayan sıvıları simüle etmek için basit bir modeldir . Daha da geliştirilmesi , süper bilgisayarlarda yürütme için paralelleştirme bağlamında özellikle çekici olan Kafes-Boltzmann yöntemlerine yol açar .

Bilgisayar grafikleri alanında, bazı durumlarda fiziksel doğruluk her zaman garanti edilmese de, belirli varsayımlar yoluyla gerçek zamanlı bir temsilin elde edilebildiği birkaç sayısal çözüm yöntemi kullanılmıştır. Buna bir örnek, Jos Stam tarafından geliştirilen “kararlı akışkanlar” sürecidir. Burada bilgisayar grafikleri alanında Chorin projeksiyon yöntemi kullanılmıştır.

Türbülanslı akışların hesaplanması

Amacıyla hesapla için çalkantılı akar , Navier Stokes denklemleri edilebilir hesaplanan sayısal doğrudan . Bununla birlikte, bireysel türbülansın çözünürlüğü çok ince bir ızgarayı zorlar, böylece bu sadece süper bilgisayarların yardımıyla ve küçük Reynolds sayılarıyla yapılan araştırmalarda ekonomiktir.

Uygulamada, Reynolds denklemlerinin çözümü galip gelmiştir. Ancak burada denklem sistemini kapatmak için bir türbülans modeli gereklidir.

Orta yol, en azından büyük girdapları sayısal olarak hesaplayan ve türbülans modeli kullanarak sadece küçük ölçekleri simüle eden büyük girdap simülasyonudur .

Navier-Stokes denklemi ile tanımlanabilecek çok çalışılmış bir konveksiyon Rayleigh-Bénard konveksiyonudur . Kendi kendini örgütleyen yapıların ve kaos teorisinin önemli bir örneğidir .

basitleştirmeler

Navier-Stokes denklemlerinin zor çözülebilirlik özelliklerinden dolayı, uygulamalarda (fiziksel olarak mantıklı olduğu sürece) Navier-Stokes denklemlerinin basitleştirilmiş versiyonlarını dikkate almak için girişimlerde bulunulacaktır.

Euler denklemleri

Viskozite ihmal edilirse ( ), Euler denklemleri elde edilir (burada sıkıştırılabilir durum için) ${\ displaystyle \ eta = \ lambda = 0}$

${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ kısmi {\ vec {v}}} {\ kısmi t}} + \ rho ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} = - \ nabla p + {\ vec {f}}.}$

Sıkıştırılabilir akışkanlar için Euler denklemleri , tam Navier-Stokes denklemlerinin bir yaklaşımı olarak özellikle aerodinamikte rol oynar.

Stokes denklemi

Başka bir basitleştirme türü, örneğin, dünyanın mantosunun (veya diğer karasal gezegenlerin) son derece viskoz bir sıvı ( sürünen akış ) olarak ele alındığı jeodinamikte yaygındır . Bu yaklaşımda, momentumun yayılımı, yani. H. kinematik viskozite, termal yayılımdan çok daha yüksek büyüklük mertebeleri ve atalet terimi ihmal edilebilir. Bu sadeleştirme sabit Navier-Stokes momentum denklemine dahil edilirse, Stokes denklemi elde edilir :

${\ displaystyle - \ nabla p + \ mu \ cdot \ Delta {\ vec {v}} + {\ vec {f}} = 0}$

Helmholtz projeksiyonunu denkleme uygulayarak, denklemde basınç kaybolur: ${\ görüntü stili P}$

${\ displaystyle \ mu \ cdot P \ Delta {\ vec {v}} + {\ tilde {\ vec {f}}} = 0}$

ile . Bu, denklemin yalnızca bağlı olduğu bir avantaja sahiptir . Orijinal denklem ile elde edilir ${\ displaystyle {\ tilde {\ vec {f}}} = P {\ vec {f}}}$${\ görüntü stili {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle \ nabla p = (\ operatöradı {Id} -P) (\ Delta {\ vec {v}} + f),}$

${\ görüntü stili P \ Delta}$Stokes operatörü olarak da adlandırılır .

Öte yandan, jeomalzemeler karmaşık bir reolojiye sahiptir, bu da viskozitenin sabit olarak kabul edilmediği anlamına gelir. Sıkıştırılamaz durum için bu şu şekilde sonuçlanır:

${\ displaystyle - \ nabla p + \ nabla \ cdot \ {\ mu [\ nabla {\ vec {v}} + (\ nabla {\ vec {v}}) ^ {\ matematik {T}}] \} + { \ vec {f}} = 0}$

Boussinesq yaklaşımı

Boussinesq yaklaşımı genellikle küçük yoğunluk değişimleri ve çok büyük olmayan sıcaklık dalgalanmaları olan yerçekimine bağlı akışlar için kullanılır.

Stokastik Navier-Stokes denklemleri

Genel Navier-Stokes denklemlerinin çözümlerinin hala var olduğuna dair bir kanıt bulunmadığından, akışkanlardaki türbülansı yansıtıp yansıtmadıkları ve eğer öyleyse ne kadar gerçekçi oldukları kesin değildir. Ayrıca, rastgele harici rahatsızlıklar akışı etkileyebilir ( kelebek etkisi ) ve akışkan elemanların rastgele bir Brownian hareketi gerçekleştirdiği bilinmektedir . Bu tür rastgele dalgalanmalar, stokastik bir yaklaşımla yakalanabilir. Bu bir hale stokastik diferansiyel denklem içinde diferansiyel notasyonu

${\ displaystyle \ matematik {d} {\ vec {v}} _ {t} = [- \ nabla p_ {t} + \ mu \ Delta {\ vec {v}} _ {t} - ({\ vec { v}} _ {t} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} _ {t} + {\ vec {f}} _ {t}] \ matematik {d} t + b ({\ vec {v) }} _ {t}, \ operatöradı {grad} {\ vec {v}} _ {t}) \ matematik {d} W_ {t}}$

düşünülen. Köşeli parantez içindeki terim, sıkıştırılamazlık için Navier-Stokes denklemlerini ve sonraki terim Brownian hareketi gibi stokastik bir etkiyi temsil eder. Bu yaklaşım, milenyumun başında canlı araştırma faaliyetinin konusudur.

Edebiyat

• H. Oertel (Ed.): Prandtl, akışkanlar mekaniğine rehberlik ediyor. Temeller ve fenomenler . 13. baskı. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5 . 
• GK Batchelor : Akışkanlar Dinamiğine Giriş. Cambridge University Press, Cambridge ve diğerleri. 2000, ISBN 0-521-66396-2 ( Cambridge matematik kitaplığı ).
• Alexandre Chorin , Jerrold Marsden : Akışkanlar Mekaniğine Matematiksel Bir Giriş. 3. baskı düzeltildi, 3. baskı. Springer, New York NY ve ark. 1998, ISBN 3-540-97918-2 ( Uygulamalı Matematikte Metinler 4).
• Robert Kerr, Marcel Oliver: Düzenli mi, düzenli değil mi? - Akış tekilliklerini takip etme. İçinde: Dierk Schleicher, Malte Lackmann: Matematiğe Davet: Güncel Araştırmalara Bakış . Springer Spektrum Verlag, 2013. ISBN 978-3-642-25797-1 .
• LD Landau, EM Lifschitz: Teorik Fizik Ders Kitabı , Cilt VI: Hidrodinamik . Akademie Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500070-6 .
• Pierre-Louis Lions : Akışkanlar Mekaniğinde Matematiksel Konular. Cilt 1: Sıkıştırılamaz Modeller. Clarendon Press, Oxford ve ark. 1996, ISBN 0-19-851487-5 ( Matematikte Oxford ders serisi ve uygulamaları 3).
• Pierre-Louis Lions: Akışkanlar Mekaniğinde Matematiksel Konular. Cilt 2: Sıkıştırılabilir Modeller. Clarendon Press, Oxford ve ark. 1998, ISBN 0-19-851488-3 ( matematikte Oxford ders serisi ve uygulamaları 10).
• Thomas Sonar : Akışkanlar mekaniği etrafında türbülans . Spektrum of Science Dossier 6/2009: “Matematikteki en büyük bulmacalar”, ISBN 978-3-941205-34-5 , s. 64-73.
• Karl Wieghardt : Teorik akışkanlar mekaniği. 2. gözden geçirilmiş ve genişletilmiş baskı. Teubner, Stuttgart 1974, ISBN 3-519-12034-8 Uygulamalı matematik ve mekanik için yönergeler. Teubner çalışma kitapları; (Yeniden Basım: Universitäts-Verlag Göttingen, Göttingen 2005, ISBN 3-938616-33-4 ( Göttingen Classics of Fluid Mechanics 2).
• Lars Davidson: Akışkanlar mekaniği, türbülanslı akış ve türbülans modellemesi . (PDF) Ders notları, Chalmers Teknoloji Üniversitesi, Göteborg, İsveç.

İnternet linkleri

• Millennium Problem Navier-Stokes denklemlerinin açıklaması (PDF; 98 kB).
• Navier-Stokes İlk Tam Dönüşüm. (PDF; 185 kB).
• Video: Navier-Stokes denklemi . Institute for Scientific Film (IWF) 2007, Teknik Bilgi Kütüphanesi (TIB) tarafından kullanıma sunulmuştur, doi : 10.3203 / IWF / C-13096 .

Bireysel kanıt

1. ↑ LD Landau, EM Lifshitz: Akışkanlar Mekaniği - Kuramsal Fizik Kursu , Fiziksel Problemler Enstitüsü, Pergamon Press, 1966, s. 47-53.
2. ↑ A. Chorin, J.-E. Marsden: Akışkanlar Mekaniğine Matematiksel Bir Giriş . Springer Verlag, 2000.
3. ↑ T. Sonar: Akışkanlar mekaniği etrafında türbülans . Spektrum der Wissenschaft Verlag, Nisan 2009, s. 78-87.
4. ^ ^{A b} G. G. Stokes: Hareket Halindeki Akışkanların İç Sürtünme Teorileri Üzerine . İçinde: Cambridge Felsefe Derneği'nin İşlemleri . bant 8 , 1845, s. 287-305 ( archive.org [erişim tarihi: 15 Kasım 2020]). 
5. ↑ H. Schlichting, Klaus Gersten: sınır tabaka teorisi . Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-3-662-07554-8 , s. 73 ( books.google.de [erişim tarihi: 15 Kasım 2020]). 
6. ↑ F. Durst: Akışkanlar mekaniğinin temelleri . Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0 , s. 10-16 . 
7. ↑ J.-N. Reddy: Süreklilik Mekaniğine Giriş. Cambridge 2008, s. 212-214.
8. ↑ LD Landau, EM Lifshitz: Akışkanlar Mekaniği - Kuramsal Fizik Kursu , Fiziksel Problemler Enstitüsü, Pergamon Press, 1966, s. 47-53.
9. ↑ Oertel (2012), s. 252.
10. ↑ Oertel (2012), s. 267 vd.
11. ^ Sydney Chapman, TG Cowling: Düzgün Olmayan Gazların Matematiksel Teorisi . Gazlarda Viskozite, Termal İletim ve Difüzyonun Kinetik Teorisinin Bir Hesabı. Cambridge University Press, 1970, ISBN 978-0-521-40844-8 . 
12. ↑ Bergmann, Schaefer: Deneysel Fizik Ders Kitabı . Gazlar. Nanosistemler. Sıvılar. Ed.: Thomas Dorfmüller, Karl Kleinermanns. 2. Baskı. bant 5 . Walter de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 978-3-11-017484-7 , s. 45 f . ( google.de [15 Kasım 2020'de erişildi]). 
13. ↑ Çok sayfalı bir özet Jonas Toelke: İki fazlı akışların simülasyonu için Kafes-Boltzmann yönteminde bulunabilir . Ed.: Münih Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ve Haritacılık Fakültesi. 2001, s. 11–15 ( çevrimiçi ( İnternet Arşivinde 10 Temmuz 2018 hatırası ) [PDF; 25.5 MB ; 15 Kasım 2020'de erişildi]). 
14. ↑ M. Bestehorn: hidrodinamik ve yapı oluşumu . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6 . 
15. ↑ LD Landau, EM Lifshitz: Akışkanlar Mekaniği - Teorik Fizik Kursu , Cilt 6, Fiziksel Problemler Enstitüsü, Pergamon Press, 1966.
16. ↑ P. Haupt: Süreklilik Mekaniği ve Malzeme Teorisi . Springer, 2002, ISBN 3-540-43111-X , s. 182 ff . 
17. ↑ M. Bestehorn: hidrodinamik ve yapı oluşumu . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6 , s. 64 . 
18. ^ Tristan Buckmaster, Vlad Vicol: Navier-Stokes denkleminin zayıf çözümlerinin benzersizliği. Annals of Mathematics, Cilt 189, 2019, pp. 101-144, Arxiv, erişim tarihi 15 Kasım 2020.
19. ↑ Hannelore Inge Breckner: Stokastik navier-stokes denkleminin yaklaşıklığı ve optimal kontrolü . Ed.: Martin Luther Üniversitesi Halle-Wittenberg Matematik-Doğal-Bilimsel-Teknik Fakültesi. 1999, s. 1 (İngilizce, uni-halle.de [erişim tarihi 15 Kasım 2020]).