geometri
Geometri ( Antik Yunan γεωμετρία geometria iyonik γεωμετρίη geometri , yeryüzünün kitle 'Erdmessung', kara Ölçümü ') bir olduğu matematik dalı .
Bir yandan, geometri ortalama anlaşılır iki ve üç boyutlu Öklid geometrisi , temel geometrisi de öğretilmektedir, matematik ders önce terimi altında - mekansal teori - ile fiyatları nokta , düz çizgiler , uçaklar , mesafeler , açılar vb. ile bu konunun sistematik ve matematiksel olarak ele alınması sırasında geliştirilen kavram ve Yöntemler.
Öte yandan, geometri terimi , temel geometri ile ilişkisi sıradan insanlar için tanınması zor olan bir dizi büyük matematiğin alt alanını kapsar . Bu özellikle, genellikle değişmez niceliklerin incelenmesini ifade eden modern geometri kavramı için geçerlidir .
Almanca geometri literatürünün tarihi
Almanca'da hayatta kalan en eski geometri incelemesi, 15. yüzyılın başlarından gelmektedir. Cermen Tarikatı'nın Büyük Üstadı Konrad von Jungingen adına Culm bölgesinde yazılmış olan ve esasen Dominicus de Calvasio'nun Practica geometriae'sine dayanan Latince metni içeren sözde Geometria Culmensis'tir. Almanca tercümesi gibi. Albrecht Dürer'in 1525'ten itibaren planya çizgilerinde zirckel ve richtscheyt ile ölçmenin Underweysung'u ve bütün corporen , Almanca'da ilk basılı ve bağımsız geometri kitabı olarak kabul edilir .
Konu alanları
geometriler
Çoğul kullanımı, geometri teriminin çok özel bir anlamda kullanıldığını gösterir, yani elemanları geleneksel olarak noktalar, düz çizgiler, düzlemler olarak adlandırılan ve ilişkileri aksiyomlar tarafından düzenlenen matematiksel bir yapı olarak geometri . Bu bakış açısı , Öklid düzlem geometrisinin teoremlerini birkaç postülaya (yani aksiyomlara) indirgemeye çalışan Öklid'e kadar gider . Aşağıdaki liste, bu şemaya uyan farklı geometri türlerine genel bir bakış sunmayı amaçlamaktadır:
- Projektif geometri ve afin geometri : Bu tür geometriler çoğunlukla noktalardan ve düz çizgilerden oluşur ve aksiyomlar, düz çizgilerin bağlantı noktaları ve düz çizgilerin kesişme noktaları ile ilgilidir. Afin ve izdüşümsel geometriler genellikle çiftler halinde gelir: Uzaklık elemanlarının eklenmesi, afin bir geometriyi yansıtmalı bir geometriye dönüştürür ve noktalarıyla birlikte bir düz çizginin veya bir düzlemin çıkarılması, iki veya üç boyutlu bir yansıtmalı geometriyi afin bir geometriye dönüştürür. . Önemli durumlarda, noktalar olabilir yerleştirilmiş bir ilgin geometride bir doğru üzerinde bir şekilde bu yarım hat ve hatlar tanımlanabilir. Bu durumlarda, afin geometri ve onun yansıtmalı kapanması 'düzenlenmiş' olarak adlandırılır.
- Öklid geometrisi : Bu genellikle Öklid'in aksiyomlarından ve varsayımlarından türetilen geometri anlamına gelir. Öklid'den bu yana aktarılan teorinin yapısı hala boşluklar içerdiğinden, David Hilbert , Fundamentals of Geometry'de (1899 ve diğer birçok basım) bir aksiyomlar sistemi kurdu ve bu sistemden, Öklid geometrisini izomorfizme kadar açıkça oluşturabildi. Bu, daha sonra, noktaların vektörler ve düz çizgilerin tek boyutlu alt uzayların ikincil sınıfları tarafından temsil edildiği üç boyutlu gerçek vektör uzayı olarak açıkça tanımlanabilir. Germe, dik durma, açılar vb . Descartes'tan beri alışılmış analitik geometride olduğu gibi açıklanır.
- Öklid dışı geometri : Özellikleri birçok yönden Öklid geometrisine benzer olan, ancak paralellik varsayımının (paralel aksiyomu olarak da bilinir) uygulanmadığı geometriler . Eliptik ve hiperbolik geometriler arasında bir ayrım yapılır .
- Mutlak geometri : Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometrilerin ortak alt yapısıdır, yani. H. Paralel postulat olmadan ispatlanabilen tüm önermeler kümesi.
Her geometride, belirli özellikleri (yani otomorfizmlerini) yok etmeyen dönüşümlerle ilgilenilir: Örneğin, iki boyutlu bir Öklid geometrisinde ne paralel kayma ne de döndürme veya yansıma noktalar arasındaki mesafeleri değiştirmez. Tersine, noktalar arasındaki mesafeyi değiştirmeyen herhangi bir dönüşüm, paralel yer değiştirmelerin, dönmelerin ve yansımaların bir bileşimidir. Bu eşlemelerin bir düzlem Öklid geometrisine ait dönüşüm grubunu oluşturduğu ve iki nokta arasındaki uzaklığın bir Öklid değişmezini temsil ettiği söylenir. Onun içinde Erlangen programı, Felix Klein tanımlanan transformasyon grupları ve değişmezler (bkz teorisinin genel olarak geometri eşleme geometrisi ); ancak, bu hiçbir şekilde tek olası tanım değildir. Geometriler ve belirgin değişmezler aşağıda listelenmiştir:
- Projektif geometri : Değişmezler, noktaların doğrusallığı ve düz bir çizginin dört noktasının çift oranıdır ( kısmi oranların oranı ) (herhangi dört noktanın karmaşık sayı düzleminde; bunlar bir daire üzerinde bulunuyorsa, gerçektir)
- Afin geometri : Doğruların paralelliği, doğrunun üç noktasının bölme oranı, alan oranları.
- Benzerlik geometrisi, afin geometriye ek olarak, tesisat ilişkileri ve açıları değişmezdir.
- Öklid Geometrisi ; ek değişmezler, noktalar ve açılar arasındaki mesafelerdir.
- Öklid Dışı Geometri : Noktaların doğrusallığı, noktalar arasındaki uzaklıklar ve açılar değişmez. Ancak, Öklidyen olmayan iki geometri yukarıdaki hiyerarşiye uymaz.
Geometrinin parçası olan matematik alanları
Aşağıdaki liste, matematiksel araştırmaların çok geniş ve geniş kapsamlı alanlarını kapsamaktadır:
- temel geometri
- Diferansiyel geometri özel yöntemler, geometri dalıdır analizi ve topoloji kullanılır. Temel diferansiyel geometri , diferansiyel topolojisi , Riemann geometrisi ve teorisi Lie grupları başka alt bölgeler arasında ayırıcı bir geometriye sahiptir.
- Cebirsel Geometri . Aynı zamanda bir cebir alanı olarak da görülebilir. Bernhard Riemann'dan bu yana fonksiyon teorisinden gelen bilgileri de kullandı. Cebirsel geometrinin alt alanları, örneğin, cebirsel gruplar teorisi, Abelian çeşitleri teorisi veya ayrıca torik ve tropikal geometriyi içerir .
- Esasen Hermann Minkowski tarafından kurulan dışbükey geometri .
- Sentetik geometri , cebirsel nesneler (koordinatlar, morfizmler ...) yerine soyut geometrik nesneler (noktalar, düz çizgiler) ve bunların ilişkileri (kesişim, paralellik, ortogonallik ...) kullanarak klasik "saf" geometri yaklaşımını sürdürür. İnsidans yapısı bugün burada en genel yaklaşımlardan biridir. Doğrusal olmayan geliş yapılarına örnek olarak Benz uçakları verilebilir .
- Hesaplamalı Geometri ( hesaplamalı geometri ).
- Ayrık geometri , içerdiği kombinatoryal geometriyi daha ayrıntılı, en eski alt alanı olarak çokyüzlüler ile ve fırsatlar tilings , düzlemde ve uzayda, Paketleme imalatı Matroidlerin alt bölgesinde, sonlu geometri ile insidans yapılar , blok planları gibi ve.
Okullarda ve sınıflarda geometri
Geometri derslerinde genellikle pusulalar , cetveller ve kare kare gibi cihazlar kullanılır , ayrıca bilgisayarlar da (ayrıca bkz: dinamik geometri ) kullanılır. Geometri derslerinin başlangıcı, geometrik dönüşümler veya uzunluk , açı , alan , hacim , oranlar vb. gibi geometrik büyüklüklerin ölçümü ile ilgilidir. Özel eğriler veya konik bölümler gibi daha karmaşık nesneler de ortaya çıkar. Tanımlayıcı geometri , (iki boyutlu) düzlemde üç boyutlu Öklid geometrisinin grafik temsilidir.
cümleler
İfadeler cümleler halinde formüle edilmiştir .
Temel cümleler:
- Pisagor teoremi veondan türetilen kosinüs teoremi ve trigonometrik Pisagor
Tanımlamalar
Asteroit (376), geometriden sonra Geometria olarak adlandırıldı.
Ayrıca bakınız
Edebiyat
- HSM Coxeter : Geometriye Giriş .
- HSM Coxeter, L. Greitzer: Geometri Tekrar Ziyaret Edildi .
- Öklid : Elementler .
- Georg Glaeser : Geometri ve sanat, doğa ve teknolojideki uygulamaları . 2. Baskı. Elsevier, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (2007), ISBN 3-8274-1797-X
- David Hilbert : Geometrinin Temelleri
- Max Koecher , Aloys Krieg : seviye geometrisi . 3. Baskı. Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49327-3
- Hans Schupp: Elementarge Geometri , UTB Schoeningh, Paderborn (1977), ISBN 3-506-99189-2
- Georg Ulrich, Paul Hoffmann: Kendi kendine öğretmek için geometri . 5 cilt. 26. baskı. C. Bange Verlag, Hollfeld (1977), ISBN 3-8044-0576-2 (Cilt 1)
- M. Wagner: Geometrinin ABC'si . 2. Baskı. CC Buchners Verlag, Bamberg (1920)
İnternet linkleri
- Alman Milli Kütüphanesi kataloğunda geometri üzerine literatür
- Orta düzey 1 eyalet eğitim sunucusu Baden-Württemberg için geometrik kanıt
- Hans-Joachim Vollrath ile geometri konusunda röportaj (67 MB; AVI )
- John B. Conway , Peter Doyle, Jane Gilman , Bill Thurston : Geometri ve Hayal Gücü
Bireysel kanıt
- ^ Hubert LL Busard : Dominicus de Clavasio'nun Practica Geometriae'si. İçinde: Arşiv Tarihi Kesin Bilimler. Cilt 2, 1965, sayfa 520-575.
- ↑ Geometri Culmensis. İçinde: Burghart Wachinger ve ark. (Ed.): Orta Çağ Alman edebiyatı. Yazarın Sözlüğü . 2., tamamen gözden geçirilmiş baskı, ISBN 3-11-022248-5 , Cilt 2: Comitis, Gerhard - Gerstenberg, Wigand. Berlin / New York 1980, sütun 1194 f.
- ^ Daire ve Richtscheydt ile Underweysung . VikiKaynak