aksiyom

Bir aksiyom (Yunanca ἀξίωμα aksiyomundan , "talep; irade; karar; ilke; philos. (...) kanıt gerektirmeyen cümle", "takdir, yargı, doğru olarak kabul edilen ilke") bir teorinin ilkesidir , Bu sistem içinde ne gerekçelendirilen ne de tümdengelim yoluyla türetilmeyen, ancak isteyerek kabul edilen veya temel alınan bir Bilim veya aksiyomatik sistem .

sınırlamalar

Resmileştirilebilen bir teori içinde, bir tez, kanıtlanması gereken bir önermedir. Bir aksiyom ise teoride kanıtlanması gerekmeyen, ancak kanıtsız olarak varsayılan bir önermedir. Teorinin seçilen aksiyomları mantıksal olarak bağımsız ise , hiçbiri diğerlerinden türetilemez. Bu hesabın aksiyomları her zaman resmi bir hesap çerçevesinde türetilebilir . Biçimsel veya sözdizimsel anlamda bu bir kanıttır ; Anlamsal bir bakış açısından, döngüsel bir argümandır . Aksi takdirde şu geçerlidir: "Eğer bir türetme bir hesabın aksiyomlarına veya doğru ifadelere dayanıyorsa, o zaman bir ispattan söz edilir."

Aksiyom, teoremin tersi olarak kullanılır (dar anlamda). Teoremler ve aksiyomlar, türev ilişkileriyle birbirine bağlanan resmileştirilmiş bir hesabın teoremleridir. Teoremler, aksiyomlardan biçimsel kanıtlar yoluyla türetilen teoremlerdir. Ancak bazen, tez ve teorem terimleri, formel bir sistemin tüm geçerli önermeleri için daha geniş bir anlamda kullanılır, yani. H. orijinal anlamda hem aksiyomları hem de teoremleri içeren genel bir terimdir.

Aksiyomlar, formalize edilmiş bir hesapta ifade edilebildikleri sürece , tüm teorinin koşulları olarak anlaşılabilir . Yorumlanmış bir biçimsel dilde , aksiyomların seçimiyle farklı teoriler ayırt edilebilir. Biçimsel mantığın yorumlanmamış hesapları durumunda, teoriler yerine , tamamen aksiyomlar ve çıkarım kuralları tarafından belirlenen mantıksal sistemlerden söz edilir . Bu, tümdengelim veya kanıtlanabilirlik kavramını görelileştirir: yalnızca belirli bir sistemle ilişkili olarak var olur. Aksiyomlar ve türetilmiş ifadeleri ait nesne dili , kurallar üstdil .

Bununla birlikte, bir hesap mutlaka bir aksiyomatik hesap değildir, bu nedenle "bir aksiyom kümesinden ve mümkün olan en küçük çıkarım kuralları kümesinden" oluşur. Ayrıca ispat hesapları ve tablo hesapları da vardır .

Immanuel Kant , aksiyomları “doğrudan kesin olmaları koşuluyla a priori sentetik ilkeler” olarak adlandırır ve bu tanımla onları felsefe alanından dışlar. Bu, soyut imgeler olarak, dolaysız sezginin nesnesi olarak hiçbir zaman hiçbir kanıtı olmayan kavramlara dayanır. Bu nedenle, felsefenin söylemsel ilkelerini matematiğin sezgisel ilkelerinden ayırır: İlki, "tamamen tümdengelim yoluyla kendi otoritelerini haklı çıkarmakta rahat olmalı" ve bu nedenle a priori kriterlerini karşılamaz.

Ayrımlar

Aksiyom teriminin üç temel anlamı vardır. O tanımlar

  1. Bir derhal prensibi aydınlatıcı - Klasik (malzeme) belit kavramı,
  2. ampirik olarak iyi onaylanmış kurallar için bir ilke olarak kabul edilebilecek bir doğa yasası - aksiyomların bilimsel (fiziksel) kavramı,
  3. biçimsel bir dilin hesabında geçerli olduğu varsayılan bir başlangıç cümlesi - aksiyomların modern (biçimsel) kavramı .

Klasik aksiyom terimi

Klasik aksiyomu geri izlenir elemanlarının geometrisinin Öklid ve Analytica posteriora arasında Aristoteles . Bu görüşe göre aksiyom , doğrudan aydınlatıcı bir ilkeyi veya böyle bir ilkeye yapılan bir göndermeyi ifade eder . Bu özcü anlamda bir aksiyom , ampirik kanıtı nedeniyle herhangi bir kanıta ihtiyaç duymaz. Aksiyomlar, bu önermelere nesnel gerçeklikler olarak karşı çıkan mevcut nesneler hakkında kesinlikle doğru önermeler olarak görülüyordu. Bu önem 19. yüzyıla kadar yaygındı.

19. yüzyılın sonunda “gerçeklikten kopan bir kordon” vardı. Farklı geometriler ( Öklid , hiperbolik , küresel geometri, vb.) için farklı aksiyom sistemlerinin sistematik olarak araştırılması, muhtemelen gerçek dünyayı tanımlayamayacak , aksiyom kavramının daha biçimsel olarak anlaşılması ve bir bütün olarak aksiyomların bir bütün olarak ele alınmasıyla sonuçlanmak zorundaydı. tanımlar anlamında geleneksel bir karakter. Yazılar öncü olarak David Hilbert'in ampirik bilimlerden türetilen ürünün biçimsel bütünlük ve tutarlılık ölçütlerinin kanıtını varsaydığını aksiyomatik olarak kanıtladı . Bu nedenle, bir aksiyom sistemini anlamanın alternatif bir yolu, yalnızca gerçek dünyaya atıfta bulunmaz, şemayı takip eder: Herhangi bir yapı aksiyomları yerine getiriyorsa, o zaman aksiyomlardan türetmeleri de ( teoremler olarak adlandırılır ) yerine getirir . Bu tür görüşler, imacılık, tümdengelimcilik veya eleyici yapısalcılıkta yer alabilir.

Modern biçimsel mantık anlamında aksiyomlaştırılmış hesaplarda, aksiyomları işaretlemek için klasik epistemolojik (kanıt, kesinlik), ontolojik (ontolojik olarak daha temel şeylere referans) veya geleneksel (belirli bir bağlamda kabul) kriterler atlanabilir. Aksiyomlar, teoremlerden yalnızca belirli bir hesaptaki mantıksal tümdengelimlerin temeli olmaları bakımından biçimsel olarak farklıdır. “Temel” ve “ bağımsız ” bir ilke olarak, aksiyom sistemi içindeki diğer başlangıç ​​cümlelerinden türetilemezler ve a priori herhangi bir biçimsel kanıt gerektirmezler .

Bilimsel aksiyom kavramı

Ampirik bilimlerde aksiyomlar, birçok kez ampirik olarak doğrulanmış temel yasalara da atıfta bulunur. Newton'un mekanik aksiyomları örnek olarak verilmiştir.

Bilimsel teoriler, özellikle fizik de aksiyomlara dayanır. Teoriler bu çıkarılmaktadır, teoremleri ve ait bağıntıların yapmak sonucu hakkında tahminlerde deneyler . Teorinin ifadeleri deneysel gözlemle çelişirse, aksiyomlar düzeltilir. Örneğin, Newton'un aksiyomları yalnızca “yavaş” ve “büyük” sistemler için iyi tahminler sağlar ve özel görelilik ve kuantum mekaniği aksiyomlarının yerini almış veya tamamlanmıştır. Bununla birlikte, sonuçlar daha basit olduğundan ve sonuçlar çoğu uygulama için yeterince kesin olduğundan, bu tür sistemler için Newton aksiyomları kullanılmaya devam edilir.

Resmi aksiyom kavramı

Hilbert tarafından resmi bir aksiyom terimi baskındı (1899): Bir aksiyom, herhangi bir belirsiz ifadedir. Bu tamamen resmi bir niteliktir. Bir aksiyomun kanıtı veya ontolojik statüsü önemli değildir ve ayrı bir yoruma bırakılır .

Bir aksiyom o zaman temel bir ifadedir

  • Resmi bir cümle sisteminin parçasıdır,
  • delilsiz kabul edilir ve
  • diğer aksiyomlarla birlikte, sistemin tüm önermeleri (teoremleri) mantıksal olarak türetilir.

Bazen aksiyomların bu anlayışta tamamen keyfi olduğu iddia edilir: bir aksiyom "kanıtlanmamış ve dolayısıyla anlaşılmamış bir cümledir", çünkü bir aksiyomun içgörüye dayalı olup olmadığı ve bu nedenle başlangıçta "anlaşılabilir" olup olmadığı önemli değildir. Bir aksiyomun - bir teoriyle ilgili - kanıtlanmadığı doğrudur. Ancak bu, bir aksiyomun kanıtlanamaz olması gerektiği anlamına gelmez. Bir aksiyom olmanın niteliği, biçimsel bir sisteme göredir. Bir bilimde aksiyom olan başka bir bilimde teorem olabilir.

Bir aksiyom, ancak doğruluğu resmi olarak kanıtlanmadığı, ancak varsayıldığı sürece yanlış anlaşılır . Modern aksiyom kavramı, aksiyom özelliğini kanıt sorunundan ayırmaya hizmet eder, ancak bu mutlaka kanıt olmadığı anlamına gelmez. Bununla birlikte, teoremlerin tümdengeliminde kişinin yalnızca biçimsel kurallar temelinde sonuçlar çıkarması ve aksiyomatik işaretlerin yorumlanmasından hiçbir şekilde yararlanılmaması, aksiyomatik yöntemin tanımlayıcı bir özelliğidir.

Aksiyom sisteminin uygulandığı (matematiksel, mantıksal, gerçek) nesnelerin olup olmadığı sorusu başlangıçta ilgi çekici değildir, ancak kabaca tutarlılıkla eşittir. Elbette, aksiyom sistemiyle başarılı bir şekilde çalışılabilecek örnek nesneler, bu tür nesnelerin varlığına ve aksiyom sisteminin tutarlılığına kanıt olarak geçerlidir.

aksiyom örnekleri

geleneksel mantık

klasik mantık

Orijinal formülasyon , Georg Cantor'un naif küme teorisinden gelir ve yalnızca bir terimin kapsamı ile amacı arasındaki bağlantıyı açıkça ifade ediyor gibi görünmektedir . İçeri ortaya çıktı zaman büyük bir şoktu aksiyomlaştırılması tarafından Gottlob Frege o olamazdı olmadan eklenebilir çelişki diğer varsayımlarına ama verdi Russell'ın antinomiye yükselişi .

matematik

Aksiyomlar matematiğin temelidir.

Genel olarak matematikte doğal sayılar , monoid , grup , halka , cisim , Hilbert uzayı , topolojik uzay vb. gibi terimler bir aksiyom sistemi ile karakterize edilir. Bir, örneğin, söz Peano aksiyomlardan (doğal sayılar için), grup aksiyomlardan , halka aksiyomlarını olarak da adlandırılan kapalı bir sistemde, vb (sonuçlar da dahil olmak üzere), bazen bireysel gereksinimleri kanunu (örneğin birleştirici hakları ).

Bahsedilen örneklerin özel bir aksiyom sistemi - Peano aksiyomlarının muhtemelen hariç tutulduğu doğal sayılar (aşağıya bakınız) - bir tanım olarak anlaşılmalıdır . Belirli bir matematiksel nesneyi, örneğin bir monoid olarak ele alabilmek için (ve daha sonra başka özellikler çıkarsamak), monoidin aksiyom sisteminde formüle edilen gereksinimlerin tümünün (diğer aksiyomlar veya teoremlerin yardımıyla) kanıtlanması gerekir. nesneye uygulayın. Önemli bir örnek, çağrışım kanıtının tamamen önemsiz olmadığı işlevlerin birbiri ardına yürütülmesidir . Bu ispat, aksiyomlardan biri için yetersizse , söz konusu nesne bir monoid olarak kabul edilemez. ( D. Knuth'a kadar uzanan Fibonacci çarpımının çağrışımsallığının kanıtı son derece zordur .)

Bu bağlamda, adı geçen "aksiyom sistemleri"nin çoğu, "kanıtsız kabul edilen" "çıkarılmış ifadeler" olarak " hiçbir şekilde" temel ifadeler değildir (ve neredeyse onlara karşıdır) .

  • Düzenleme aksiyomları ile bağlantılı alan aksiyomları ve tamlık aksiyomu gerçek sayıları tanımlar .
  • Paraleller aksiyomu : "Her için düz çizgi ve her noktada bu düz hat üzerinde değil, tam olarak bir düz orada bu noktadan geçen çizgi paralel düz için çizgi." Bu postüla ait Öklid geometrisi her zaman daha az akla yatkın kabul edildi diğerleri. Geçerliliğine itiraz edildiğinden, onu diğer tanımlardan ve varsayımlardan türetmeye çalışıldı. 19. yüzyılın başında geometrinin aksiyomlaştırılması sırasında, mantıksal olarak diğer varsayımların aksiyomlaştırılmasından bağımsız olduğu için böyle bir türetmenin mümkün olmadığı ortaya çıktı . Bu, Öklidyen olmayan geometrilerin tanınmasının yolunu açtı .
  • "Olasılık" terimi, 1933'ten beri Kolmogorow tarafından kurulan bir aksiyomlar sistemi tarafından tam olarak örtük olarak tanımlanmıştır. Bu, tüm farklı stokastik okullara - Fransız, Alman, İngiliz, frekansçılar, Bayesçiler, olasılıkçılar ve istatistikçiler - ilk kez tek tip bir teori sağladı.

Başka temel sistemler ( birinci dereceden teoriler) olmasına rağmen , Peano aksiyomları daha fazla referans olmaksızın doğal sayılarda saymak için çoğunlukla bir temel olarak kullanılır. Örneğin:

fizik

Önemli alt alanların aksiyomlaştırılması için öneriler

Ampirik bilimlerin teorileri de "aksiyomatik olarak" yeniden yapılandırılabilir . Gelen bilim felsefesi , ancak, aslında “bir teori axiomatize” ne demek olduğu konusunda farklı yaklaşımlar bulunmaktadır. Farklı fiziksel teoriler için aksiyomlaştırmalar önerilmiştir. Hans Reichenbach kendini diğerlerinin yanı sıra adadı. Üç monografta görelilik teorisinin bir aksiyomatiği önerisini , bu sayede Hilbert'ten özellikle güçlü bir şekilde etkilenmiştir. Hatta Alfred Robb ve Konstantin Karatodori Axiomatisierungsvorschläge koydu özel görelilik kuramını önce. Hem özel hem de genel görelilik kuramı için, şimdi bilim kuramında ve fizik felsefesinde tartışılan çok sayıda aksiyomlaştırma girişimi vardır. Patrick Suppes ve diğerleri var modern anlamda çok tartışılan aksiyomatik yeniden teklif için klasik parçacık mekaniği kendi içinde Newton formülasyonu ve Georg Hamel , Hilbert öğrencisi ve Hans Hermes var zaten sunulan klasik mekaniğin axiomatizations. Günther Ludwig'in şirketi , kuantum mekaniğinin aksiyomlaştırılması için en popüler önerilerden biri olmaya devam ediyor . İçin aksiyomatik kuantum alan teorisi v. bir. Arthur Wightman'ın 1950'lerdeki formülasyonu önemlidir. Kozmoloji alanında, aksiyomlaştırmaya yönelik yaklaşımlar diğerleri arasındaydı. Edward Arthur Milne özellikle etkiliydi. Diğerlerinin yanı sıra klasik termodinamik için aksiyomlaştırma önerileri mevcuttur. Giles, Boyling, Jauch, Lieb ve Yngvason tarafından. Olasılıklarla çalışan tüm fiziksel teoriler için, özellikle istatistiksel mekanik için , Kolmogorow tarafından olasılık hesaplamasının aksiyomlaştırılması önemli hale geldi .

Deney ve teori arasındaki ilişki

Bir fiziksel teorinin aksiyomları ne biçimsel olarak kanıtlanabilir ne de şu anda yaygın olan görüşe göre, doğrudan ve toplu olarak doğrulanabilir veya gözlemler yoluyla yanlışlanabilir . Teorilere ve bunların deneylerle ilişkisine ve özellikle epistemolojik yapısalcılıkta yaygın olan ortaya çıkan deyime göre, belirli bir teorinin gerçeklik üzerine testleri genellikle “bu sistem klasik bir parçacık mekaniğidir” şeklindeki ifadelerle ilgilidir. Karşılık gelen bir teori testi başarılı olursa, z. Örneğin, ölçülen değerlerin doğru tahminleri verilirse, bu kontrol , ilgili teorinin amaçlanan uygulamaları arasında karşılık gelen bir sistemin doğru bir şekilde sayıldığının ve tekrarlanan arızalar durumunda, amaçlanan uygulamaların sayısının doğrulandığının teyidi olarak hizmet edebilir. karşılık gelen sistem türleri tarafından azaltılabilir ve azaltılmalıdır.

Edebiyat

Konu ansiklopedileri ve sözlüklerdeki makaleler

Monograflar

  • Evandro Agazzi : Giriş sorunu dell'assiomatica. Milano 1961.
  • Robert Blanché : Aksiyomatik. Routledge, Londra 1962.
  • Öklid : Elementler. Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 4. dahili. Baskı. 2005.
  • David Hilbert ve diğerleri: Geometrinin Temelleri. Teubner 2002, ISBN 3-519-00237-X .
  • Árpád Szabó : Yunan Matematiğinin Başlangıçları. Oldenbourg 1969, ISBN 3-486-47201-1 .
  • Bochenski: Çağdaş düşünme yöntemleri. 10. baskı. 1993, s. 73 vd.
  • Carnap: Sembolik Mantığa Giriş. 3. Baskı. 1968, s. 172 vd.
  • Hilbert / Ackermann: Teorik mantığın temelleri. 6. baskı. 1972, sayfa 24.
  • Kutschera: Frege. 1989, sayfa 154 f.
  • Hermann Schüling: 16. ve 17. yüzyılın başlarında aksiyomatik yöntemin tarihi. Bilim anlayışındaki değişim . [Felsefe tarihi üzerine yapılan çalışmalar ve materyaller; 13]. Georg Olms, Hildesheim 1969.
  • Nagel, Newmann: Gödel'in kanıtı. İçinde: Meixner (ed.): Mantık felsefesi. 2003, s. 150 (169).
  • Tarski: Matematiksel Mantığa Giriş. 5. baskı. 1977, sayfa 126 vd.

İnternet linkleri

Vikisözlük: Aksiyom  - anlam açıklamaları , kelime kökenleri, eş anlamlılar, çeviriler

Bireysel kanıt

  1. ↑ Düden | aksiyom | Yazım, anlam, tanım, köken. 22 Kasım 2019'da alındı .
  2. ↑ Quantity, Hermann: Langenscheidts Büyük Sözlük Yunanca Almanca, Berlin, 1979 (23. baskı)
  3. ^ Peter Prechtl: Aksiyom . İçinde: Helmut Glück (Ed.): Metzler Lexikon Sprache . JB Metzler Verlag GmbH, Stuttgart 2016, ISBN 978-3-476-02641-5 , s. 81 .
  4. ↑ tez . İçinde: Regenbogen, Meyer: Felsefi Terimler Sözlüğü. 2005.
  5. ↑ türetme . İçinde: Regenbogen, Meyer: Felsefi Terimler Sözlüğü. 2005.
  6. ↑ Tarski'deki gibi: Matematiksel Mantığa Giriş. 5. baskı. (1977), s.127.
  7. ↑ Bkz. Carnap: Sembolik Mantığa Giriş. 3. Baskı. (1968), s. 172.
  8. ↑ Yani z. B. Paul Ruppen: Biçimsel mantığa giriş. Matematik bilmeyenler için bir öğrenme ve alıştırma kitabı. Peter Lang, Bern 1996, s. 125.
  9. ↑ a b Bochenski: Çağdaş düşünme yöntemleri. 10. baskı (1993), s. 79.
  10. ^ Bußmann: Dilbilim Sözlüğü. 3. baskı, 2002, hesap.
  11. ↑ Immanuel Kant: Saf Aklın Eleştirisi . İçinde: Benno Erdmann (Ed.): Prusya Bilimler Akademisi Baskısı . bant III . Georg Reimer, Berlin 1904, s. 480 f .
  12. ↑ Ulrich Felgner: Hilbert'in "Geometrinin Temelleri" ve temel tartışma tarihindeki konumları . In: Alman Matematikçiler Derneği'nin yıllık raporu . bant 115 , hayır. 3 , 2014, s. 185-206 , doi : 10.1365/s13291-013-0071-5 .
  13. ↑ bkz. B. Michael Potter: Küme Teorisi ve Felsefesi. Kritik bir giriş. Oxford University Press, Oxford / New York 2004, s.8.
  14. ↑ Bkz. Joseph Maria Bocheński : Çağdaş düşünme yöntemleri. 10. baskı 1993, sayfa 78 f.
  15. ↑ Rainbow / Meyer: Felsefi Terimler Sözlüğü (2005) / Aksiyom.
  16. ^ A b Seiffert: Theory of Science IV. 1997, başlangıç.
  17. ↑ Seiffert: Bilim Teorisi IV. 1997, Aksiyom.
  18. ↑ Carnap: Sembolik Mantığa Giriş. 3. baskı, 1968, s. 174.
  19. ↑ Spree, içinde: Rehfus: Kısa sözlük felsefesi. 2003, aksiyom.
  20. ↑ Bkz. giriş ve tartışmanın o zamanki durumunun temsilcisi, Wolfgang Stegmüller : Bilim Felsefesi ve Analitik Felsefenin Sorunları ve Sonuçları, Cilt II: Teori ve Deneyim, İkinci Bölüm: Teori Yapıları ve Teori Dinamiği. Springer, Berlin ve diğerleri, 2. baskı, 1985, sayfa 34 ve devamı.
  21. ↑ Bkz. özellikle H. Reichenbach: Göreli uzay-zaman teorisinin aksiyomatikleri. Vieweg, Braunschweig 1924.
  22. ↑ Çağdaş tartışma noktaları için bkz. K. Brading, T. Ryckman: Hilbert's 'Foundations of Physics': Gravitation and Electromagnetism in the axiomatic method. İçinde: Modern Fizik Tarihi ve Felsefesi Çalışmaları 39. 2008, 102–53.
  23. ↑ Bakınız AA Rob: Bir Uzay ve Zaman Teorisi. Cambridge University Press, Cambridge 1914.
  24. ↑ Cf. C. Carathéodory: Görelilik teorisinin aksiyomatiği üzerine. İçinde: Prusya Bilimler Akademisi'nin toplantı raporları. Fiziksel-matematiksel sınıf 5. 1924, 12–27.
  25. ↑ Bkz. JCC McKinsey, AC Sugar, P. Suppes: Axiomatic Foundations of Classical Particle Mechanics. In: Journal of Rational Mechanics and Analysis 2. 1953, s. 253-272. Bu yaklaşım biraz değiştirilmiş bir biçimde özetlenmiş ve Stegmüller, l. c., s.106 ff.
  26. ↑ Bkz. G. Hamel: Mekaniğin Aksiyomları. İçinde: H. Geiger, K. Scheel (Hrsg.): Handbuch der Physik, Cilt 5: Noktaların ve katı cisimlerin mekaniği. Springer, Berlin 1927, s. 1-42.
  27. ↑ H. Hermes: Genel mekaniğin aksiyomlaştırılması. Mantık üzerine araştırmalar, Yeni Seri 3, Hirzel, Leipzig 1938. Ders.: Mekaniğin aksiyomlaştırılması üzerine. İçinde: L. Henkin, P. Suppes, A. Tarski (Eds.): The Axiomatic Method. Amsterdam 1959, s. 282-290 ( archive.org ).
  28. ↑ Bkz. G. Ludwig: "Fiziksel teori" teriminin yorumlanması ve kuantum mekaniğinin Hilbert uzay yapısının aksiyomatik temeli, ölçümün ana ilkeleri aracılığıyla. Fizik 4 Ders Notları, Springer, Berlin 1970 ve Ders.: Kuantum Mekaniği için Aksiyomatik Bir Temel. Cilt 1/2, Springer, Berlin 1985/1987.
  29. ↑ 1964'te A. Wightman, Ray Streater'da yayınlandı : PCT, Spin, İstatistik ve hepsi BI Üniversitesi Cep Kitabı 1964 ( PCT, Spin, İstatistik ve hepsi. Benjamin, New York 1964.)
  30. ↑ George Gale: Kozmoloji: 1930'larda ve 1940'larda Metodolojik Tartışmalar'daki giriş niteliğindeki genel bakışa bakın  . İçinde: Edward N. Zalta (Ed.): Stanford Felsefe Ansiklopedisi .
  31. ↑ Bkz. R. Giles: Termodinamiğin matematiksel temelleri. Bergama, Oxford 1964.
  32. ↑ Bkz. JB Boyling: Klasik termodinamiğe aksiyomatik bir yaklaşım. İçinde: Londra Kraliyet Cemiyeti Bildirileri 329. 1972, 35-71.
  33. ↑ Bkz. J. Jauch: Yeni bir denge termodinamiği temeli üzerine. İçinde: Fiziğin Temelleri 2. (1972), 327-332.
  34. ↑ Bkz. EH Lieb, J. Yngvason: Termodinamiğin ikinci yasasının fiziği ve matematiği . İçinde: Fizik Raporları 310.1999, 1-96.314.669, arxiv : cond-mat / 9708200 .
  35. ↑ Bkz. NA Kolmogorov: Olasılığın Temel Kavramları. Springer, Berlin 1933. Olasılıkların güncel felsefi yorumlarına giriş ve Kolmogorov'un temelleri: Alan Hájek:  Olasılığın Yorumları. İçinde: Edward N. Zalta (Ed.): Stanford Felsefe Ansiklopedisi .; Thomas Hochkirchen: Olasılık teorisinin aksiyomlaştırılması ve bağlamları. Hilbert'in Altıncı Probleminden Kolmogoroff'un Temel Kavramlarına. Vandenhoeck ve Ruprecht, Göttingen 1999.