Augustin-Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy [ ogystɛ LWI koʃi ] (doğum 21 Ağustos 1789 yılında Paris , † Mayıs 23, 1857 yılında Sceaux ) bir oldu Fransız matematikçi .

Analizin öncüsü olarak Gottfried Wilhelm Leibniz ve Sir Isaac Newton tarafından kurulan temelleri daha da geliştirdi, ayrıca temel ifadeleri resmi olarak kanıtladı ve işlev kavramının yeni bir anlayışının kırılmasına yardımcı oldu. Özellikle temel olarak temellerini atmış olduğu grup teorisi ve fonksiyon teorisinde kendisinden pek çok merkezi ifade gelmektedir. Yaklaşık 800 yayını genel olarak zamanın tüm matematiği yelpazesini kapsıyor. Fizikte, özellikle esneklik teorisinin temellerini netleştirdi ve kurdu . Analizin geliştirilmesinde 18. yüzyılda Leonhard Euler ile benzer bir konuma sahiptir ve 19. yüzyılda, yüzyılın ilk yarısında bir matematikçi olarak üstün konumunu Carl Friedrich Gauss ile paylaşmıştır , ancak onun aksine sonuçlarını yayınlamıştır. gecikmeden ve çok sayıda öğrencisi oldu.

Cauchy bir Katolikti ve Bourbonların Fransız yöneticilerinin destekçisiydi . İkincisi, onu defalarca cumhuriyetin ve Bonapartçıların destekçileriyle çatışmaya soktu .

Hayat

Cauchy'nin babası Louis-François, iyi okunan bir Katolik kralcıydı . Zamanında Bastille fırtınası 14 Temmuz 1789 tarihinde, o Paris Polis Korgeneral sağ kolu Louis Thiroux de Crosne oldu. Kısa bir süre sonra İngiltere'ye kaçtı ve Louis-François Cauchy görevini kaybetti. Birkaç hafta sonra Augustin-Louis, Fransız Devrimi'nin ortasında doğdu . Thiroux, Nisan 1794'te geri döndü, tutuklandı ve aynı gün ölüme mahkum edildi. Louis-François bunun üzerine ailesini, suçlanma korkusuyla, yoksulluk içinde yaşadıkları Arcueil'deki kır evlerine götürdü . Küçük Augustin-Louis babasından temel eğitim aldı. Açlık ve tehlikeli durum, devrimlere karşı ömür boyu sürecek bir isteksizlik bıraktı. Terör saltanatının sona ermesinden sonra, aile Paris'e döndü, Louis-François yeniden kariyer yaptı ve nihayet Napolyon'un darbesinden sonra Senato Genel Sekreteri oldu . Bu, o zamanki İçişleri Bakanı Pierre-Simon Laplace ve iki önemli matematikçi olan Senatör Joseph-Louis Lagrange ile yakın bir tanışmaya yol açtı . Oğullarının matematik yeteneğini erken fark ettiler. Örneğin, Lagrange şunları söyledi:

ve babasına tavsiyede bulundu:

Augustin-Louis Cauchy'nin iki küçük erkek kardeşi vardı: babası gibi avukat olan ve kamu hizmetine giren Alexandre Laurent (1792-1857) ve bir yazar olan Eugène François (1802-1877).

Lagrange'ın tavsiyesi üzerine, Cauchy önce onu ileri matematik eğitimine hazırlaması gereken klasik dilleri öğrendi. 1802'den itibaren iki yıl boyunca École Centrale du Panthéon'a katıldı ve burada özellikle Latince parladı. Daha sonra mühendislik alanında kariyer yapmaya karar verdi ve 1804'ten itibaren onu genç Ecole polytechnique'deki giriş sınavına hazırlaması gereken matematik dersleri aldı . 1805 yılında Fransız matematikçi ve fizikçi Jean-Baptiste Biot tarafından yapılan giriş sınavını en iyi ikinci olarak kazandı . École Polytechnique, Fransa'nın kamu hizmeti için mühendisler yetiştirmek için tasarlandı ve öğrencilerin erkenden belirli bir yön seçmeleri gerekiyordu. Cauchy yol ve köprü yapımını seçti. Dersler çok matematik ağırlıklıydı. Öğretmenlerinin Lacroix , de Prony , Hachette ve Ampère gibi tanınmış isimleri vardı . İki yıl sonra, Augustin-Louis sınıfın birincisi oldu ve daha fazla eğitim için École Nationale des Ponts et Chaussées'e katılmasına izin verildi . Burada da en iyiler arasındaydı ve Pierre Girard'ın yanında yaptığı staj sırasında Ourcq Kanalı'nda çalışmasına izin verildi . Paris'te öğrenciler apolitik olmaktan çok uzaktı. Çoğu devrimci ve liberal olsa da, Cauchy Cizvitlerin laik kolu olan Cemaat'e katıldı . 1828'de fiilen yasaklanıncaya kadar orada üye olarak kaldı. İki yıllık zorunlu eğitimin ardından Ocak 1810'da müteahhit adayı olarak üniversiteden ayrıldı .

Napolyon'un mühendisi

Şubat 1810'da Cauchy, Cherbourg'daki Port Napoléon'un inşasına yardım etmekle görevlendirildi ; bu, o zamanlar yaklaşık 3.000 işçiyle Avrupa'nın en büyük şantiyesiydi. Amaç İngiltere'nin işgaline hazırlanmaktı. Saatler uzundu ve boş zamanlarında matematik yaptı. Mühendislik mesleğine olan ilk neşesi ve ilgisi kısa sürede azaldı ve bu nedenle bilimsel bir kariyere atılmaya karar verdi. Ancak, o sırada Cauchy'nin hedefi hiçbir şekilde matematik değildi. Euler'in ölümünden sonra genel bilimsel görüş , matematik problemlerinin neredeyse tamamen çözüldüğü yönündeydi. Mühendislik ve matematik için yeni uygulama alanları bulmak özellikle önemliydi.

Cherbourg'da geçirdiği süre boyunca yapılan araştırma, Euler'in çokyüzlü teoreminin küçük bir genellemesini ve eşit yüzlere sahip çokyüzlülerin hangi koşullar altında özdeş olduğu sorusuna ilişkin bir teoremin kanıtını verdi . Öklid , cümleyi öğelerinde zaten formüle etmişti , ancak o zamana kadar hiçbir zaman kanıtlanmamıştı. Cauchy, bu çalışmasıyla Paris'teki akademik toplumda kendisine bir isim yaptı.

1812 yazında sağlığı keskin bir şekilde kötüleşti. Cauchy çocukluğundan beri pek sağlıklı değildi ve ara sıra depresyona giriyordu . Cherbourg'daki ağır iş yükü onu rahatsız etti ve Eylül'de hastalık iznine ayrıldı ve Paris'teki ailesinin yanına dönmesine izin verildi. Sağlığı düzeldiğinde, mühendis olarak çalışmaya geri dönmek için hiç hevesli değildi ve kendini araştırmaya adadı. Esinlenerek Lagrange teoremi , o ele ile grup teorisi ve üç belitleri bulundu açıkça tanımlamak bir belirleyici .

1813 baharında hastalık izni sona erdi. Cauchy'nin Cherbourg'a dönmek istemesine imkan yoktu. Eski öğretmeni Pierre-Simon Girard, ona Paris'teki Ourcq kanal projesinde çalışmaya devam etme fırsatı verdi. Bu yılki araştırması sonuçsuz kaldı: herhangi bir dereceye kadar bir cebirsel denklemin çözüm sayısını belirlemek için bir yöntem geliştirmesine rağmen, pratik değildi. Elinden geldiğince baskı uygulayan babasının iyi ilişkilerine rağmen, başarısız olsa da, Paris akademilerinde 50'den fazla boş pozisyona başvurdu. Bilimsel meslektaşları Ampère, Legendre , Louis Poinsot ve Emmanuel-François Molard (1772-1829) atandı, ancak Cauchy atanmadı. Cauchy o yaz ücretsiz olarak hastalık izni aldı. Napoléon'un 1814'teki yenilgisi ona fayda sağladı: Ourcq kanalı projesi kesintiye uğradı ve kendisine yeni bir iş verilmedi. Bu yıl aynı zamanda Cauchy'nin karmaşık fonksiyonlarla meşgul olmasının da başlangıcını işaret ediyor.

Aralık 1815'te sıvılardaki dalgalar üzerindeki özenli çalışması nedeniyle Paris Akademisi Matematik Büyük Ödülü'nü kazandı. Aynı yılın Kasım ayında sunduğu Fermat'ın çokgen sayı problemine yaptığı çözüm sansasyon olarak kabul edildi ve onu bir çırpıda ünlü yaptı. Bundan önce, yalnızca kareler (Lagrange) ve küpler (Legendre) vakaları çözülmüştü ve Gauss'un Cauchy'nin üzerinde çalıştığı bir çalışma olan Disquisitiones aritmetica'sında her iki durum için de yeni kanıtlar vardı. Cauchy, 1812'den beri kanıtlara bakmıştı. Bu onun akademiye seçilmesine ve Ecole Polytechnique'de profesör olmasına önemli ölçüde katkıda bulundu.

Ecole polytechnique'de profesör

Napolyon'un 1815'teki son yenilgisi, Cauchy'nin kariyerine ivme kazandırdı. Louis XVIII şimdi Fransa Kralı oldu ve onunla birlikte onarıcı güçler iktidara geldi. Sadık bir kralcı olan Cauchy'nin babası, yeni rejim altında görevini sürdürebildi. Şüpheli politik (yani devrimci) duygulara sahip bilim adamları şimdi zor zamanlar geçirdiler.Sıkı bir Katolik olarak Augustin-Louis'in bu sorunları yoktu ve bu nedenle Kasım 1815'te École polytechnique'de yardımcı doçent ve aynı zamanda tam bir profesörlük pozisyonu aldı . Aralık. Mart 1816'da Académie des Sciences kralın kendisi tarafından yeniden tasarlandı, iki liberal üye çıkarıldı ve boş pozisyonlar Gaspard Monge'un yerini alan Cauchy gibi eski muhafazakar bilim adamları tarafından işgal edildi .

Bu yaklaşım onu ​​hiç arkadaş yapmadı. Şimdi bir matematikçi olarak mükemmel bir üne sahip olsa ve atamaları teknik olarak itiraz edilemez olsa da, yine de siyasi koruma damgasından muzdariptiler. Buna ek olarak, Cauchy başkalarının görüşlerine çok az dikkat etti ve dışarıdan özellikle Katolik olmayanlara karşı çok sertti. Destekçisi Lagrange 1813'te ölmüştü ve Cauchy , Laplace ve Poisson'un yöntemlerini fazla sezgisel ve fazla belirsiz olarak adlandırarak Laplace'ı bir düşman haline getirmeyi başardı . Ancak, çok benzer alanlarda çalışan Poisson ile iyi bir çalışma ilişkisi sürdürdü ve ikisi genellikle birlikte çalıştı. Sadece Katolik Ampere ile yakın bir dostluğu vardı.

Académie'nin bir üyesi olarak, Cauchy'nin görevlerinden biri, gönderilen bilimsel makaleleri incelemekti. Zamanının çoğunu bu çalışmaya adadı, ancak yazarların zevkine değil. Niels Henrik Abel şöyle yazdı : "Cauchy deli ve bu konuda hiçbir şey yapamazsınız. Ancak şu anda matematik yapmayı bilen tek kişi o.” Galois ve Poncelet benzer kötü deneyimler yaşadılar . Ayrıca Cauchy'nin, ağır bir şekilde suçlandığı genç bilim adamlarının kağıtlarını kısmen kaybettiği görülüyordu. Michail Ostrogradski ise, kirasını tekrar ödeyemezse, genç Rus'u borç kulesinden birkaç kez satın alan Cauchy için sadece sıcak sözler buldu .

Cauchy sınıfta büyük bir coşku geliştirdi. O kabul analizini mekaniği ve diğer önemli mühendislik disiplinlerinde için bir ön olmaktır. Bu süre zarfında, Cours d'analysis de l'École Polytechnique ders kitabı, derslerinin bir parçası olarak 1821'de yazılmıştır . Tanımların doğruluğuna büyük önem verdi ve türevin sonsuz küçükler hesabına değil, bir sınır değerine dayanan yeni tanımı gibi çok sayıda yeni malzeme tanıttı . Bu, Cauchy'nin derslerinin çok soyut ve çok az mühendislik odaklı olduğunu düşünen öğrencilerin direnişiyle karşılaştı; ayrıca bir kez yuhalandıktan sonra politik bir kızgınlık da vardı. Cauchy, dönemin 65. dersini 12 Nisan 1821'de vermişti. Normalde her sömestrde her biri 30 dakikalık özet ve 60 dakikalık dersten oluşan 50 ders vardı ve Cauchy neredeyse iki saattir ders veriyordu ki öğrenciler yüksek sesle konuşmaya başladı ve bazıları sınıftan çıktı, bu da her iki tarafın da yaptığı bir soruşturmaya yol açtı. kısmen suçluydu. Sonuç olarak, Navier gibi daha uygulamaya yönelik profesörlerin direnişi daha ciddiyken Cauchy adına sadece Ampère onu aktif olarak destekledi, böylece müfredatta daha uygulamaya yönelik matematiğe yönelik bir değişiklik uygulandı.

1824'ten 1830'a kadar Collège de France'da yarı zamanlı ders verdi ve ayrıca Sorbonne'da Poisson'u temsil etti.

Nisan 1818'de, saygın bir kitapçı ve yayıncının kızı olan Aloise de Bure (öldü 1863) ile evlendi ve daha sonra yayınevi Cauchy'nin daha sonra çok sayıda kitabı yayımlandı. İki kızı, daha sonra Félix d'Escalopier ile evli Marie Françoise Alicia (1819 doğumlu) ve Alfred de Saint-Pol ile evli Marie Mathilde (1823 doğumlu) vardı. Onlar Paris'te Rue Serpente'de bir şehir evi (De Bures Evi) ve bir yaz ikamet vardı Sceaux .

1830'dan sonra sürgün

In 1830 Temmuz Devrimi , gerici Kral X. Charles edildi devrilen ve "vatandaş kral" ile değiştirilir Louis Philippe . Ecole Polytechnique öğrencileri sokak dövüşlerinde önemsiz bir rol oynadılar. Bütün bunlar Cauchy için çok fazlaydı. Eylül ayında ailesini geride bırakarak şehri terk etti. Önce İsviçre'ye , Cizvitlerin kalesi olan Freiburg'a gitti . Ancak şimdi Fransa'ya dönüş, onun için söz konusu olmayan yeni rejime bağlılık yemini gerektiriyordu. Cauchy sürgünde ailesinden uzak kaldı. Görevini kaybetti ve 1831'de Torino'ya gitti ve burada teorik fizik kürsüsüne atandı . 1832'de Cauchy, Amerikan Sanat ve Bilim Akademisi'ne seçildi . 1833 yılında Charles X katılmak için şehri terk Hradschin içinde Prag'da ve torunu öğretmen oldu Henri d'Artois , Bordo Dükü.

Charles X Ağustos 1830'da tahttan çekildi ve torununu tahtın varisi ilan etti. Bu, 14 yaşından itibaren Fransa Kralı unvanını talep etti. Buna göre, yetiştirilmesi, bazı soyluların Louis-Philippe yerine Bourbonları tahta tercih ettiği Fransa'da da yakından takip edilen siyasi bir konuydu . Cauchy, bilimsel değerleri ve Cizvitlere yakınlığı nedeniyle prense matematik ve doğa bilimleri, özellikle kimya ve fizik öğretmek için seçildi. Bu görevi çok ciddiye aldı, tıpkı prensin taht iddiasını canlı bir şekilde desteklediği gibi. Bu yüzden derslere özenle hazırlandı ve o yıllarda neredeyse hiç araştırma yapmadı. Paris ve Torino'da olduğu gibi burada da bir öğretmen olarak yetenek eksikliği belirgindi. Prens matematiğe ilgi ya da yetenek göstermedi ve Cauchy'nin ona söylediklerinin çok azını anladı. 18 yaşına geldiğinde, eğitimi sona erdiğinde, matematiğe karşı kapsamlı bir isteksizlik geliştirdi.

1834'te Augustin-Louis, son dört yıl içinde Paris'e yalnızca ender ziyaretlerde gördüğü ailesine kavuştu. İki yıl sonra, sürgündeki kralın maiyeti , prensin 1838'de 18. doğum gününü kutladığı Gorizia'ya taşındı . Cauchy için bu, bir öğretmen olarak hayatının sonu anlamına geliyordu. Charles X, hizmetlerinden dolayı onu , Cauchy'nin daha sonra büyük önem verdiği baron unvanıyla ödüllendirdi . 1839'da ölen annesinin sağlık durumunun kötü olması nedeniyle Paris'e döndü.

Her hafta bir yayın

Cauchy, krala bağlılık yemini etmeyi reddettiği için artık profesör olmadığı için zor durumdaydı. Halen Académie des Sciences üyesi olmasına ve bilimsel hayata katılıp yayın yapabilmesine rağmen yeni bir pozisyona başvuramadı. Bir istisna, Cauchy'nin oraya başvurabilmesi için bağlılık yemininin gevşek bir şekilde ele alınmasını beklediği Bureau des Longitudes idi . 1839'un sonlarında başarılı oldu, ancak hükümet yeminde ısrar etti. Sonraki dört yıl boyunca bu, Büro'da göz ardı edildi; Yani Cauchy, maaşsız da olsa şimdi yeniden profesördü .

Bu onun en yaratıcı dönemlerinden birini başlattı. Cauchy, çok düşünmüş olmasına rağmen Prag'da neredeyse hiçbir şey yayınlamamıştı ve şimdi olgun fikirleri kağıda döküyordu. Académie , üyelerin hızlı bir şekilde yayınlayabilecekleri bir dergi olan Comptes Rendus'u kurmuştu . Cauchy bundan benzeri olmayan bir şekilde yararlandı: 1839 ile Şubat 1848 arasında 300'den fazla makale yayınladı. 1844'te araştırma yapmadığını hesaba katarsanız, neredeyse haftada bir makale kalıyor, inanılmaz bir yaratım hızı. Bu dergiyi, gelecekte risale başına düşen sayfa sayısı dört ile sınırlandırılacak ölçüde risalelerle doldurmuş olmalı.

Lacroix 1843'te öldü ve Collège de France'daki bir profesörlük boşaldı. Halihazırda Lacroix'i temsil etmiş olan ve burada yetersizliğini göstermiş olan üç başvuran vardı: Liouville , Cauchy ve Libri . Daha sonra bir kitap hırsızı olarak şüpheli bir ün kazandı. Bu süre zarfında, Cizvitler Fransız üniversitelerinde öğretim hakkındaki fikirlerini uygulamaya çalıştılar. Cauchy bu projeyi kesin olarak ve kendi kararlılığıyla destekledi. Libri ise Cizvitlerin açık bir rakibiydi ve bu nedenle Libri profesör olarak atandı. Bakanlık bunu Cauchy'yi Bureau des Longitudes'den çıkarmak için bir fırsat olarak değerlendirdi. Daha sonra gelecek yılı Cizvit siyasetini desteklemeye adadı.

Yurttaş kral Louis-Philippe'i deviren 1848 Şubat Devrimi'ne kadar, onun durumu tekrar düzelmedi.

Son birkaç yıl

Şubat Devrimi, Cauchy'nin umduğu gibi eski öğrencisi Henri von Bourbon'u iktidara getirmedi, bunun yerine Charles-Louis-Napoléon Bonaparte'ı (1852 İmparator Napoléon III'ten) getirdi. Bununla birlikte, başlangıçta, yeni bir sadakat yemini gerekli değildi ve Cauchy, Urbain Le Verrier'in fiziksel astronomide bir sandalyeye geçmesinden sonra 1849'da Sorbonne'da matematiksel astronomi profesörü olabildi (biyografi yazarına göre muhtemelen iyi hazırlanmış bir manevra). Cauchy Belhost'un fotoğrafı). Napolyon III. Cauchy 1852'de imparator olduğunda, kendisine biat etmek de istemedi, ancak onun için bir istisna yapıldı. Ancak ailesi için Şubat Devrimi ağır bir darbe oldu: Napolyon Bonapart darbesinden bu yana neredeyse 50 yıldır üst düzey yetkililer olan ve her rejim değişikliğinden sağ kurtulan babası ve iki erkek kardeşi bu kez görevlerini kaybettiler. . Louis François Cauchy kısa bir süre sonra Aralık 1848'de öldü.

1850'de Liouville gibi Cauchy de Collège de France'da matematik profesörlüğü için yeniden başvurdu - Libri kaçmıştı. Liouville seçildi ve ikisi arasında çirkin bir tartışma çıktı. Cauchy yenilgisini kabul etmeyi reddetti (ilk oylamada onun için on bir, Liouville için on ve iki çekimser oy vardı). İkisi daha sonra bilimsel bir tartışmaya girdiler: 1851'de Cauchy, Charles Hermite'e çift ​​dönemli fonksiyonlar hakkında bazı sonuçlar sundu ve integral teoremini kullanarak bunları kanıtladı . Liouville, sonuçları doğrudan Liouville teoreminden çıkarabileceğine inanıyordu . Cauchy ise Liouville teoreminin integral teoremi ile çok kolay ispatlanabileceğini gösterdi.

Cauchy, Fransa'daki genç matematikçiler üzerinde önemli bir etkiye sahipti: Daha az araştırma yaptığı son yıllarında bile, gönderilen birçok makaleyi değerlendirdi ve kapsamlı bir şekilde eleştirdi. Cauchy de son yıllarda meslektaşlarını Katolik inancına geri döndürmeye çalışmıştı. Bunu matematikçi Duhamel ile yapmayı başarmıştı . Aralık 1856'da, Ostrogradski'nin Cauchy'nin aleyhine çözebildiği öncelikli bir anlaşmazlığı vardı. Hatasını kabul etmeyi reddeden Cauchy, son aylarını gölgeleyen düşmanlıkların çoğunun hedefi oldu.

1857'de ailesiyle birlikte Paris yakınlarındaki Sceaux'da öldü. Ölümünün ardından Eyfel Kulesi'ndeki 72 isimlik listeye adının eklenmesiyle onurlandırıldı .

Cauchy'nin mülkü en büyük kızı Alicia'nın ailesine (ve ardından Leudeville ailesiyle evlenen kızlarının ailesine) geçti. Bilimsel makaleleri 1936 veya 1937'de Bilimler Akademisi'ne gönderdiler çünkü onunla hiçbir şey yapamadılar. Ne yazık ki Gaston Darboux zamanında aileye büyük ilgi gösteren akademi, mülkü hemen aileye geri gönderdi ve ardından yakıldı. Sadece birkaç defter hayatta kaldı. 1989'da ailesiyle yaptığı özel yazışmaların bir kısmı yeniden keşfedildi.

Cauchy, Gauss'un önerisiyle 1840'ta Göttingen Bilimler Akademisi'ne kabul edildi ve aynı zamanda 1836'da Berlin Akademisi'ne seçildi (1826'daki ilk deneme, çok sayıda evet ve hayır oyu olduğu için başarısız olduktan sonra).

bitki

Cauchy'nin çalışması dikkat çekicidir: yaklaşık 800 makale ve çeşitli kitaplar içermektedir. Neredeyse 100 yıllık bir süre içinde Œuvres complètes'te (Gauthier-Villars, Paris 1882–1974) 27 cilt halinde yayınlandı .

Cauchy, araştırması için matematik ve fizik olmak üzere iki kaynaktan ilham aldı. Euler ya da Lagrange gibi ondan önceki büyük matematikçiler, bugünün doğal bir meselesi olduğu gibi, temiz matematiksel tanımlar olmadan çalışmışlar ve fonksiyonlar, türevlenebilirlik ya da süreklilik konusunda pek çok sezgisel anlayış kullanmışlardır. Cauchy, derslerine hazırlanırken bu boşlukları fark etti ve bu nedenle analizi katı bir metodolojik temele yerleştiren ilk kişi oldu - büyük bilimsel başarılarından biri, bu yüzden ilk modern matematikçilerden biri olarak kabul ediliyor.

Daha önce sonsuz küçük birimlerle daha sezgisel bir şekilde tartışmış olsaydı, Cauchy, Cours d'analysis de l'École Polytechnique (1821) derslerinde süreklilik ve türevlenebilirlik tanımı için sınır değerler getirdi . Bu, sorunun kesin bir tanımını ve kullanılan teorilerin kanıtlanabilirliğini sağladı.

İle Cours d'Analyse titizlik ve yaşını başlar aritmetik analizi . Çalışmaya son rötuşları vermek için yalnızca (yerel olarak) tek tip yakınsama kavramı eksik. Bu terimi görmezden gelen Cauchy, yakınsak sürekli fonksiyonlar serisinin her zaman sürekli limit fonksiyonlarına sahip olduğu teoremini yanlış formüle etti (Cauchy'nin toplam teoremi). Cours d' Analyse'de yaklaşımı hakkında yazdı : Quant au méthodes, j'ai chercher à leur donner tout la rigueur qu'on exige en géométrie, de manière à ne jamais reourir aux raisons tirées de la géléal Yöntemler söz konusu olduğunda, cebirin genel geçerliliğinden kaynaklanan değerlendirmelere her zaman başvurmadan, onlara geometride gerekli olan titizliği vermeye çalıştım.) Sık sık alıntılanan tümce bir yandan matematikçilerinkini temsil eder. Geometride Euclid'den 18. yüzyılın (Euler, Lagrange) cebirsel analizinin esnek yöntemlerine kıyasla yöntemlerin olağan titizliği, bu alandaki çeşitli keşifleri mümkün kılmıştır.

Cauchy'nin bilimsel katkılarının büyük bir kısmı, Cours d'analysis de l'École Polytechnique (1821), Exercises de Mathématique (5 cilt, 1826-30) ve Exercises d'analysis et de physique matematik (4 cilt) adlı üç eserinde listelenmiştir. Cauchy, Ecole Polytechnique'deki derslerinin bir parçası olarak yazmıştı. Alıştırmalar daha çok, Bilimler Akademisi'nin, hızlı bir şekilde art arda üretilen çalışmalarını yayınlanmak üzere kabul etmekte nispeten yavaş olduğu gerçeğinden memnun olmayan Cauchy'nin bir tür özel araştırma dergisiydi.

Gönderen d'Cours analizi 1821 sadece daha fazla baskı altında yakında onun peşinden Ecole Polytechnique beri bir bant ortaya çıktı Prony ve Navier Cauchy sunum yeni ders kitapları ile karşılık verdi neyi temelleri, daha az odaklanarak değişti müfredat de uygulamaya dönük temelleri büyük ölçüde azaltıldı. Bu nedenle, temel çalışması Ecole Polytechnique'de hiçbir zaman ders kitabı olarak kullanılmadı.

Aşağıda, araştırmasının büyük bir bölümünü halihazırda yansıtan 1821'deki bazı derslerin yapısının bir örneği verilmiştir. Onun risalelerindeki en önemli katkılar, temel olarak diziler ve diziler ile karmaşık fonksiyonlarla ilgilidir.

COURS D'ANALYSE DE L'ECOLE ROYALE POLYTECHNIQUE	Kraliyet politeknikte analiz dersi
prömiyer bölümü	İlk kısım
Analiz cebiri	Cebirsel Analiz
1. Des fonctions réelles.	1. Gerçek fonksiyonlar
2. Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes, et de la continuité des fonctions. Valeurs singulières des fonctions dans quelques cas Particuliers.	2. Sonsuz küçük veya sonsuz büyük boyutlar. Belirli durumlarda tekil fonksiyon değerleri.
3. Des fonctions symétriques ve des fonctions alternées. Kullanım de ces fonctions la resolution des denklemler du premier degré à un nombre quelconque d'inconnues. Des fonctions homojenleri.	3. Simetrik ve değişken fonksiyonlar. Birden çok bilinmeyenli birinci dereceden denklemleri çözmek için bu fonksiyonları kullanın. Homojen fonksiyonlar.
4. Belirleme des fonctions entières, d'après un belirli nombre de valeursparticulières supposées devam ediyor. Uygulamalar	4. Bilinen bireysel fonksiyon değerleri temelinde tüm fonksiyonların eksiksiz tespiti. Uygulamalar
5. Belirleme des fonctions d'une seule değişkeni propres à vérifier belirli koşullara devam eder.	5. Tek değişkenli sürekli fonksiyonların belirli koşullar altında belirlenmesi.
6. Des séries (réelles) yakınsaklar ve ayrılıklar. Règles sur la yakınsama des serisi. Sommation de quelques serisi yakınsaklar.	6. Gerçek ıraksak ve yakınsak seriler. Serilerin yakınsaklık kuralları. Seçilen yakınsak serilerin toplamı.
7. Des ifadeler imaginaires et de leurs modülleri.	7. Karmaşık ifadeler ve miktarları.
8. Des değişkenler ve des fonctions tahayyülleri.	8. Karmaşık değişkenler ve fonksiyonlar.
9. Des seri imaginaires convergentes et divergentes. Sommation de quelques serisi yakınsakları hayal eder. Notasyonlar, çalışanlar, quelques fonctions imaginaires auxquelles on the trouve conduit par la sommation de ces mêmes serisi üzerine dökün.	9. Karmaşık yakınsak ve ıraksak seriler. Seçilmiş yakınsak karmaşık serilerin toplamı. Seri toplamında meydana gelen belirli karmaşık fonksiyonları temsil etmek için kullanılan notasyon.
10. Denklemler için denklemler algébriques don le premier membre est une fonction rationnelle et entière d'une seule değişkeni. Trigonometri ile ilgili denklemlerin çözümlenmesi.	10. İlk terimi bir değişkenin tam rasyonel fonksiyonu olan cebirsel denklemlerin gerçek veya karmaşık kökleri. Bu tür denklemlerin cebirsel veya trigonometrik çözümü.
11. Ayrıştırma des fractions rasyonelleri.	11. Rasyonel kesirlerin ayrıştırılması.
12. Tekrarlanan diziler.	12. Özyinelemeli diziler.

Sıralar ve rütbeler

Diziler ve seriler teorisinde Cauchy, bunların yakınsaklığı için birçok önemli kriter geliştirmiştir.

Diziler ve seriler teorisinin temeli Cauchy dizisidir . Cours d'analizinde Cauchy , yakınsaklıklarını göstermek için dizilere benzer şekilde uygulanabilen diziler için Cauchy kriterini kullandı . Ancak, Cauchy dizilerinin R'de yakınsadığına dair gerçek bir kanıt vermedi . Bernard Bolzano , 1817'de bir Cauchy dizisinin sınır değerinin açıkça belirlenmesi gerektiğini zaten kanıtlamıştı, ancak hem Bolzano hem de Cauchy , açıkça verildiği gibi bu sınır değerinin varlığını R'de varsayıyor. Yalnızca Eduard Heine ve Georg Cantor tarafından kurulan gerçek sayılar teorisinde (cf. R'nin Q'dan oluşturulması ) bu eksiklik, R'yi bir dizi (denklik sınıfları) temel diziler olarak tanımlayarak giderildi . Cauchy'nin onuruna, bunlara o zamandan beri Cauchy bölümleri denilmiştir . 1970'lerin başında, Ivor Grattan-Guinness'in Cauchy'nin Bolzano'yu intihal ettiği iddiasıyla ilgili tartışmalar vardı .

Cauchy geometrik serilerin yakınsaklığını gösterdi ve ondan bölüm kriteri ile kök kriterini türetti . İkincisi, serideki n'inci toplamla başlayarak , bu toplamın n'inci kökü 1'den küçük bir sayıdan küçükse , bir dizi reel sayının yakınsadığı anlamına gelir . Çoğu zaman kök kriteri, n'inci kökün sınır değeri yardımıyla pratik olarak kontrol edilebilir.

Cauchy-Hadamard'ın formülü , bir kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının belirlenebileceği benzer bir fikri takip eder . Bir güç serisinin iki komşu katsayısının bölümünün üst sınırı olarak hesaplanır.

Cauchy'nin sınır değeri kümesi sonunda yakınsak bir dizinin elemanları aritmetik ortalaması ve bu sekansın sınırı eğiliminde olduğunu belirtir.

Cauchy sıkıştırma oranı kesinlikle monoton olarak düşen sayısı için bir kriter olarak bir dizi (bu nedenle sıkıştırılmış) seçilen üyeleri nasıl kullanıldığı bir kriteri belirtir olabilir.

Seri ürün setinde , iki yakınsak seriden oluşan Cauchy ürün serisinin de özel koşullar altında yakınsadığını ilk kez gösterdi . Bu ispat genellikle kuvvet serilerinin yakınsaklık analizi için kullanılır.

Seri çarpım teoremine ek olarak, Cauchy ayrıca kuvvet serileri hakkında daha fazla bilgi sağladı. Her şeyden önce, Taylor teoremini ilk kez biçimsel bir titizlikle kanıtladı ve bu bağlamda bir Taylor serisinin Cauchy artık terimini geliştirdi .

Leonhard Euler tarafından zaten araştırılan ve limiti Euler sayısı olan dizinin yakınsamasını kesin olarak gösteren ilk kişiydi . ${\ displaystyle \ textstyle (1 + {\ frac {1} {n}}) ^ {n}}$ ${\ görüntü stili e}$

Yakınsak dizilerin özel bir uygulaması, kutuplu fonksiyonların integrallerinin belirlenebildiği Cauchy'nin temel değerinde bulunabilir. Burada fonksiyonun integralinin kutup çevresinde yakınsak olup olmadığı araştırılır.

Diferansiyel ve integral hesabı

Bir sınır değer olarak türevinin Cauchy tanımı da bulunabilir içinde d'analiz Cours . Çağdaşları Lagrange ve Laplace, türevi Taylor serisini kullanarak tanımlamışlardı, çünkü sürekli bir fonksiyonun benzersiz bir şekilde sonsuz bir Taylor serisiyle temsil edilebileceğini varsaydılar, o zaman türev basitçe serinin ikinci katsayısıydı. Cauchy bu varsayımı ilk kez çürüttü.

Gelen integral hesabı , auchy de (aynı zamanda ilk Cours d'analiz entegrasyon aralığı daha da küçük alt aralıklar halinde bölünmüş olan bir sınır değeri işlemin tanımını ve her alt-aralık uzunluğu kullanmak için) aralığın başlangıcındaki fonksiyon değeri ile çarpılır. Cauchy ayrıca çoklu entegrasyon için Cauchy formülünü geliştirdi .

20. yüzyılın sonunda ve 21. yüzyılın başında, Cauchy üzerine araştırmalarda bir rönesans ve onun analize yaptığı sayısız katkının, zamanının kavramsallaştırmaları bağlamında (ve daha sonraki gelişim açısından daha az) yeniden değerlendirilmesi yaşandı. , örneğin Weierstrass Okulu'nda) Bunun bir yönü, daha sonraki standart dışı analiz anlamında Cauchy'nin olası bir yorumu hakkındaki tartışmalı tartışmadır . Cauchy, Cours d'Analyse adlı eserinde açıkça sonsuz küçük boyut kavramını kullanır. Abraham Robinson ve Imre Lakatos , Cauchy'nin çalışmasındaki (daha sonraki bir bakış açısından) iyi bilinen bazı hataların, Cauchy'nin sonsuz küçükleri kullanmasının ciddiye alınması gerektiği gerçeğine (bir standart dışı analiz biçimi) dayanıp dayanmadığı sorusunu zaten araştırmıştı . . Bu aynı zamanda standart olmayan analizin bir başka öncüsü olan Detlef Laugwitz ve örneğin Detlef Spalt (daha sonra Cauchy'yi çağdaşlarından radikal olarak farklı olan işlevsel bir kavramla biraz farklı yorumlayan) tarafından temsil edildi. Diğer şeylerin yanı sıra, sözde Cauchy'nin toplam teoremi hakkındaydı; bu, analizin olağan yorumunda, Cauchy'nin 1821 tarihli Cours d'analizinde, yakınsak bir sürekli fonksiyonlar dizisinin sürekli olacağı şeklindeki yanlış iddiası hakkındaydı. Abel, 1826'da zaten bir karşı örnek verdi. Nokta nokta tek tip yakınsama ile değiştirilirse, cümle kurtarılabilir ( Philipp Ludwig Seidel , George Gabriel Stokes 1847) ve tartışma , Cauchy'nin burada da doğru olup olmadığına odaklandı, eğer biri onu standart olmayan anlamda yorumladığını varsayarsa. analiz (ayrıca Tekdüzen Yakınsama'daki Tarih bölümüne bakın ). Cauchy araştırmacılarının çoğu, bunu modern bir bakış açısıyla geriye dönük yorum örneği olarak reddetmekle birlikte, aynı zamanda Cauchy'nin analiz anlayışının çok daha incelikli bir resmini geliştirmiştir. Cauchy'nin katkılarıyla yoğun bir şekilde ilgilenen yeni matematik tarihçilerine örnek olarak Ivor Grattan-Guinness, Hans Freudenthal , Judith Grabiner , Umberto Bottazzini , Frank Smithies (özellikle fonksiyon teorisi) ve Amy Dahan-Dalmédico (özellikle fizikteki uygulamalar ve grup kavramı) verilebilir. . 1990'larda kendisini Laugwitz'in bakış açısından ayıran Spalt, Cauchy'yi kendi kavramsal sisteminden anlamaya çalışmış ve günümüzde yaygın olandan farklı bir işlevsel kavram kullandığına dikkat çekmiştir. cebirsel analiz farklıydı (paradigma kayması) ve bunu hocası Lacroix'den devraldı. O (böylece Spalt) fonksiyon değerlerini genişletilmiş nicelikler olarak anladı, bu da diğer genişletilmiş niceliklere (değişkenlere) bağlıydı ve Cauchy'nin toplam teoreminin kanıtını , daha sonra Constantin Carathéodory tarafından tanıtılan sürekli yakınsama kavramı anlamında yorumladı. , buradan tekdüze yakınsama izler. Cauchy'nin kendisi 1853'te toplamlar teoremine geri döndü ve bu çalışma Grattan-Guinness ve Bottazzini tarafından tek biçimli yakınsamanın başlangıcı olarak görüldü, ancak bu aynı zamanda tartışmalıdır.

Grabiner, özellikle, Cauchy'nin çok çeşitli yöntemler kullandığı ve formüllerde çok fazla açıklama yapmadığı, aksine kelimelerle tanımladığı için, analizin katı bir şekilde gerekçelendirilmesinde epsilontiklerin Cauchy'ye kadar uzandığına dikkat çekti . 18. yüzyılda eşitsizliklerin yardımıyla buna yaklaşımlar zaten vardı (d'Alembert, Euler, Lagrange ve diğerleri) Ve Cauchy'nin iki öncüsü (Gauß ve Bolzano) buna yaklaştı, ancak bunu sistematize eden aslında Cauchy idi ve kesinlikle mantıklı.

Cauchy, diferansiyel hesaptaki ortalama değer teoreminin ilk kanıtını verdi ( hesap üzerine derslerinde 1823).

fonksiyon teorisi

Cauchy'nin fonksiyon teorisi alanındaki başarıları , yani karmaşık fonksiyonların incelenmesi çığır açıcıydı. Euler ve Laplace, gerçek integralleri sezgisel bir şekilde hesaplamak için karmaşık sayılar düzlemini zaten kullanmışlardı, ancak bu prosedürü bir kanıtla doğrulayamadılar. Cauchy'nin bu yönteme olan ilgisini çeken Laplace'dı. Cauchy, 1814'te karmaşık işlevlerle sistematik olarak ilgilenmeye başladı. O yıl Fransız Bilimler Akademisi'ne bir makale ( Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires ) gönderdi, ancak 1825'e kadar yayınlanmadı. Cours d' Analyse'de karmaşık değişkenlerin bir fonksiyonunu resmi olarak tanımlayan ilk kişiydi ve aslında 1840'lara kadar fonksiyon teorisiyle sistematik olarak ilgilenen tek kişiydi ( Carl Friedrich Gauß da bununla ilgilendi ve sonuçların çoğuna aşinaydı. Cauchy ve ötesi, yayınlandı, ancak 1831'e kadar hiçbir şey yayınlanmadı). Bu alana katkısı da buna paralel olarak büyüktür.

1814'te yazdığı Sur les intégrales définies adlı ünlü makalesinde , gerçek integralleri hesaplamak için karmaşık sayı düzlemindeki dikdörtgenleri kullanarak gerçek fonksiyonları entegre etmeye başladı. Burası, karmaşık türevlenebilirlik ve kısmi diferansiyel denklemleri birleştiren Cauchy-Riemann diferansiyel denklemlerinin ilk kez ortaya çıktığı yerdir : Karmaşık değerli bir fonksiyon, ancak ve ancak tamamen türevlenebilirse ve yukarıda belirtilen Cauchy-Riemann sistemini karşılıyorsa karmaşık türevlenebilirdir. denklemler. Aşağıdakiler, dikdörtgen için Cauchy'nin integral teoreminin bir kanıtıdır . Son olarak, makale, fonksiyonun dikdörtgende basit kutuplara sahip olduğu ve bir dikdörtgen üzerinde entegrasyon durumu için artık teoremi içerdiği durumuyla ilgilenmektedir . Kompleksteki bir entegrasyon yolu aracılığıyla bir integralin değerlendirilmesinin ilk yayınlanmış örneği , ancak Cauchy'nin o sırada yayınlanmamış çalışmasına aşina olan Siméon Denis Poisson'dan (1820) geldi .

Önümüzdeki on yıl boyunca bu yaklaşımları sürdürmeye devam etti ve bunları herhangi bir entegrasyon yoluna ( Ürdün eğrisi teoreminin geçerli olduğunu varsayarak ) ve ayrıca çoklu kutuplara genelleştirdi .

Tüm holomorfik fonksiyonlar, Cauchy integral formülü yardımıyla istenilen sıklıkta türevlenebilir. Bu türevlerle holomorfik fonksiyonlar kuvvet serileri olarak gösterilebilir.

İle Cauchy majorant yöntemi (ilk gök mekaniği bir çalışma 1831 kendisi tarafından yayımlanan Calcul des Kısıtlı), sağ tarafta bir holomorfik fonksiyonu olan bir diferansiyel denklem çözümlerinin varlığı araştırılabilir. Bunun temeli, çözümün kuvvet serisi açılımıdır (ayrıca diferansiyel denklemler bölümüne bakınız).

Cauchy, karmaşık sayıları tamamen sembolik ifadeler olarak gördü. 1825'e kadar geometrik yorumu kullanmadı. Daha sonra (Compte rendu 1847'de) Gauss'un sayı teorik çalışmasından etkilenen polinomlar halkasında aritmetik modulo olarak yorumlayarak karmaşık sayıların kullanımını gerçek boyutlara indirmeye çalıştı. . Bu, Leopold Kronecker'in sonraki çalışmalarının bir öngörüsüydü .${\ displaystyle X ^ {2} +1}$

Diferansiyel denklemler

Cauchy problemi olduğunu onun adını, bunlar başlangıç değer problemleri çözümleri tüm alanı için aranan edildiği. 1815'ten itibaren sıvılardaki dalgalar hakkındaki büyük incelemesinde ve akademi fiyat kağıtlarında kendi adını taşıyan ilk değer problemi için fikirlere sahip olabilir. Esasen yeni bulgu, bir çözümün varlığının kanıtlanabileceğiydi (bilmiyor olsa bile). çözüm) ve benzersizliği özel başlangıç ​​ve sınır değer koşullarıyla sağlanmak zorundaydı.

Diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığını ve benzersizliğini kanıtlamak için iki yöntem kullandı. Başlangıç değeri sorun için de kullanılabilir Euler çokgen yöntemi (bazen Cauch olarak adlandırılır). Bunu 1820'lerde geliştirdi ve Exercices d'Analyse adlı eserinin ilk cildinde sundu. Cauchy , 1875'te Rudolf Lipschitz tarafından gevşetilen (Lipschitz koşulu) ve Cauchy ve Lipschitz'den sonraki cümle tarafından gevşetilen işlevin ve türevinin sürekliliğini üstlendi. ama aynı zamanda Émile Picard ve Lindelöf'ten ( Picard-Lindelöf teoremi) sonra da adlandırılmıştır . İkinci yöntem uygulamaları daha geniş bir yelpazede vardı ve ayrıca kompleks içinde onun tarafından kullanıldı, onun calcul des limites , 1842 1839 den Comptes Rendus çeşitli gazetelerde kendisi tarafından geliştirilen (daha sonra da yöntemi olarak anılacaktır majorant fonksiyonu ). Yukarıda verilen başlangıç ​​değer probleminde (analitik bir fonksiyonla ), bu, bir noktadaki başlangıç ​​değeri etrafında bir Taylor açılımına karşılık gelir , Taylor serisinin katsayılarındaki daha yüksek türevler, diferansiyel denklemin ardışık türetilmesiyle elde edilir, noktada değerlendirilir . Yöntem Charles Briot ve Jean-Claude Bouquet tarafından basitleştirildi ve temsili daha sonra standart form haline geldi. Cauchy muhtemelen şimdi Picard'ın adını taşıyan üçüncü bir yöntemi de biliyordu ( ilk kez Joseph Liouville tarafından kullanılan ardışık yaklaşım yönteminin yineleme yöntemi ). Cauchy, Calccul des Limites yöntemini, başlangıçta diferansiyel denklem sistemlerine indirgediği kısmi diferansiyel denklemlere aktardı . Kısmi diferansiyel denklemlerin Cauchy problemi üzerine bir varlık teoremi , onun ve Sofja Kowalewskaja'nın adını almıştır (teoremi 1875'te bağımsız olarak ve biraz geliştirilmiş bir biçimde buldu) ( Cauchy-Kowalewskaja teoremi ). Cauchy, 1842'de Akademinin Comptes Rendu'sunda bununla ilgili bir dizi makale yayınladı. ${\ görüntü stili {\ nokta {y}} = f (t, y (t)), \, y (t_ {0}) = y_ {0}}$${\ görüntü stili f}$${\ görüntü stili P_ {0}}$${\ görüntü stili P_ {0}}$

Birinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler söz konusu olduğunda, 1819'da ( Johann Friedrich Pfaff'tan bağımsız olarak ) karakteristikler yönteminin kurucularından biriydi . Ancak iki değişken söz konusu olduğunda bu, Gaspard Monge ve Ampère tarafından zaten biliniyordu .

Cauchy esas olarak, hidrodinamik, elastikiyet teorisi veya optik gibi uygulamalarda bulduğu sabit katsayılı lineer kısmi diferansiyel denklemleri, zaten operatör denklemleri olarak anlaşılan ve öncelikle Fourier dönüşümü yöntemiyle (ilk olarak adi diferansiyel denklemlere uyguladığı) araştırdı. 1826, onun artık hesabıyla da ilgilendi. Cauchy, Fourier dönüşüm yöntemini kapsamlı bir şekilde kullandı ve Fourier ve Poisson dahil olmak üzere çağdaşlarının herhangi birinden daha büyük bir beceriyle kullandı. Ayrıca, kendi ifadesine göre Fourier'den bağımsız bulduğu, ancak onun adını verdiği ters formülün ilk doğru formülasyonunu da yazdı.

fonksiyonel denklemler

Onun 5. Bölümü yılında analiz algébrique , Cauchy dört incelenen fonksiyonel denklemler

${\ displaystyle {\ start {hizalanmış} \ Phi (x + y) & = \ Phi (x) + \ Phi (y) \\\ Phi (x + y) & = \ Phi (x) \ cdot \ Phi ( y) \\\ Phi (x \ cdot y) & = \ Phi (x) + \ Phi (y) \\\ Phi (x \ cdot y) & = \ Phi (x) \ cdot \ Phi (y) \ bitiş {hizalanmış}}}$

ve sürekli çözeltiler formuna sahip olduğu kanıtlanmıştır , (pozitif ile ) , sırasıyla . Cauchy fonksiyonel denklemi veya Cauchy fonksiyonel denklemi adı o zamandan beri bu fonksiyonel denklemlerin ilki için kullanılmıştır . ${\ displaystyle \ Phi (x) = balta \;}$${\ displaystyle \ Phi (x) = bir ^ {x} \;}$${\ görüntü stili bir \;}$${\ displaystyle \ Phi (x) = a \ log x \;}$${\ displaystyle \ Phi (x) = x ^ {a} \;}$

Fiziğe katkılar

Elastikiyet teorisi üzerine yaptığı araştırma, günümüz uygulamaları için de temeldi. Cauchy , elastik bir cismin bir noktasındaki gerilimin tam olarak tanımlanabileceği 9 anahtar rakamla bir küpün gerilim tensörünü geliştirdi . Buna karşılık, Cauchy sayısı , ses bir vücutta titreştiğinde atalet kuvvetlerinin elastik kuvvetlere oranını gösterir . Cauchy'nin benzerlik modeline göre, aynı Cauchy sayısına sahip iki cisim aynı esneklik davranışına sahiptir. Bu bulgunun önemi, gerçek yapıların stabilitesini araştırmak için modellerin kullanılmasının mümkün olmasıdır. Cauchy'nin teorik elastiklik teorisi bilgisi, Navier'in Ecole Polytechnique ve diğerlerinde yapısal araştırmalar yürütmesini mümkün kıldı. Biyografisini yazan Hans Freudenthal , bunu bilime yaptığı en büyük katkı olarak değerlendirdi. Sürekli ortam mekaniğinde, Cauchy-Euler'in hareket yasaları, onun ve Euler'in ve Cauchy elastisitesinin adlarıyla anılır .

Cauchy'nin ışıkla ilgili araştırmasının da esneklik teorisiyle belli bir bağlantısı vardır. O zamanlar amaç, ışık dalgalarının doğasını dağılım yardımıyla , yani ışığın bir prizmadan geçerken dalga boyuna bağlı yayılma hızıyla araştırmaktı . Cauchy, 1815'te dalga denklemlerini zaten araştırmıştı ve ışık dalgalarının araştırılması için kullanabildiği esneklik çalışmalarında esas olarak lineer kısmi diferansiyel denklemlerle ilgileniyordu. Dalgaların yayılmaları için bir taşıyıcıya ihtiyaç duyduklarından , uzayın eter adı verilen sıvıya benzer bir ortamla doldurulması gerektiği varsayılmıştır . Bu araştırmadan Cauchy ampirik olarak prizmanın kırılma indisi ile ışığın dalga boyu arasında basit bir ilişki türetmiştir .

Cauchy ayrıca gök mekaniği ile de ilgilendi ve burada ayrıntılı pertürbasyon hesaplamaları yaptı. 1845'te Urbain Le Verrier tarafından Pallas asteroidinin karmaşık yörünge hesaplamasını daha basit bir yöntemle kontrol etti.

Diğer servisler

Cauchy dağılımı ya da T dağılımı bir serbestlik derecesi ile hiçbir anlar sahip olması ile karakterize edilir. Beklenti değerlerinin integrali burada birleşmez.

Cauchy-Schwartz eşitsizliği mutlak değeri belirtir skaler ürün iki vektör, ilgili vektör normları ürün daha asla daha büyüktür. Bu bilgi, örneğin istatistikte korelasyon katsayısının temeli olarak kullanılır .

Rastgele değişkenler dizisinin neredeyse kesinlikle bir rastgele değişkene yakınsadığı olasılık 1 ile yakınsama ilkesi, stokastiğe değerli bir katkıdır .

Geometride 1812 civarında dışbükey çokyüzlülerin katı olduğunu kanıtladı (Cauchy'nin çokyüzlüler için katılık yasası). Aynı zamanda Euler'in çokyüzlü ikamesinin ilk kesin kanıtlarından birini de verdi. Cauch grubu paralel projeksiyonlar alanlar üzerinde aracı olarak bir konveks gövdenin alanı ve erken sonucudur integral geometri .

Olarak lineer cebir o terimi yaygınlaştırılması ve (örneğin, onun yardımı ile matris ters belirlenmesi ve determinant ürün gibi temel özellikleri sağlayan, belirleyicileri ile bir tez, (1812) yayınlanmış teoremi : Binet aynı zamanda Binet Cauchy teoremi ). 1829'da, Carl Gustav Jacobi ile aynı zamanda , Euler ve Lagrange'ın daha önceki çalışmalarını genelleştiren ve birleştiren ortogonal dönüşümler yoluyla bir kare şeklin ana eksen dönüşümünün genel teorisini yayınladı . Cauchy, simetrik bir n × n matrisinin özdeğerlerinin gerçek olduğunu da kanıtladı. Cauchy'nin çalışması, ikinci dereceden n-boyutlu yüzeylerle ilgiliydi ve aynı zamanda n-boyutlu geometri üzerine ilk çalışmalardan biriydi. 1815'te permütasyon teorisini de kurdu (başlangıçta ikame olarak adlandırdı ve ancak daha sonra bugün olduğu gibi permütasyon olarak adlandırdı) ve döngü temsili de dahil olmak üzere bugün yaygın olan terimleri tanıttı. 1840'larda yaptığı egzersizlerde buna geri döndü. Özel ikameleri, konjuge ikameleri ve değiştirilebilirlik özelliklerini zaten düşündü, ancak henüz yalnızca Arthur Cayley ile ortaya çıkan (sırasıyla Cauchy'ye dayanan) grup kavramına geçmedi . Bu araştırmalarda Lagrange'ı takip etti. Cauchy'nin grup teorisine bir katkı, Cauchy'nin 1845 teoremidir .

1815'te Fermat'ın çokgen sayı teoreminin bir kanıtını yayınladı ve bu onun itibarını güçlendirmeye yardımcı oldu. O da Fermat varsayımını denedi ve Ernst Eduard Kummer gibi , Gabriel Lame'nin 1847'de belirsiz asal çarpanlara ayırmanın her zaman ele alınan cebirsel sayı alanlarında verilmediğini kanıtlama girişimini izleyen tartışmada buldu . Ancak, öncelikle, Mart 1847 yılında asal çarpanlarına benzersizliğini varsayarak, varsayım kanıtlamak için topal rekabet içine (karmaşık faktörlere Pierre Wantzel arada Bu varsayımın bir kanıt bulduk iddia etmişti). 17 Mayıs'ta, her zaman şüpheci olan Joseph Liouville , Ernst Eduard Kummer'dan akademiye, üç yıl önce asal çarpanlara ayırmanın belirsizliğini zaten kanıtladığını açıklayan bir mektup okudu . Lamé bunu çabucak fark etti ve yayınlamayı durdurdu, Cauchy katılardaki polinomlar hakkında Ağustos ayına kadar yayınlamaya devam etti, ancak giderek Fermat varsayımı ve Kummer'in fikirlerinden bağımsız olarak.${\ görüntü stili x ^ {n} + y ^ {n}}$${\ görüntü stili n}$

Almanya'da resepsiyon

Almanya'da Cauchy, aldığı yazışmalarda kendisi hakkında pek yorum yapmamasına veya başka türlü yorum yapmamasına ve Göttinger Gelehrten Anzeiger'deki Cauchy'nin yazılarının incelemelerini başkalarına bırakmasına rağmen, hem Gauss aracılığıyla yüksek tanınırlık buldu, hem de Göttingen Akademisi'ne kabul edilmesini sağladı. örneğin Carl Gustav Jacobi (onu Gauss'la birlikte önde gelen geometrilere saydı). Karin Reich'a göre , onun ders kitapları başlangıçta karışık, bazen oldukça olumsuz bir tepkiyle karşılaştı ( örneğin Martin Ohm, 1829 tarihli Cours d'Analyse incelemesinde, kişinin kendisini yalnızca yakınsak seriler ve Euler'in ardışıklığındaki dizilerin ve serilerin biçimsel Manipülasyonu olarak olağan cebirsel analiz feda edilirdi ) ve 1840'lara kadar Oskar Schlömilch (Handbuch der Algebraischen Analizi 1845) ve Johann August Grunert'in ders kitaplarıyla bu değişmedi . Schlömilch ilk genel kitabında Almanya'da bilinen Cauchy yenilikleri yapılmış olsa da, o da cevapsız mimari yapının güzelliği ve buluşun hayatını . 1860'da Moritz Abraham Stern , analiz ders kitabında Cauchy'nin analizde yeni bir çağ açtığını kabul etti, ancak aynı zamanda yapaylığı, Euler'e kıyasla opaklığı ve bilinen hataları (Cauchy'nin toplam teoremi) eleştirdi.

Bernhard Riemann, fonksiyonlar teorisini geliştirirken Cauchy'nin Fransız okulunun katkılarına aşinaydı. Bir öğrenci olarak Cours d'Analyse'i okudu, 1851'de Cauchy Akademisi'nin Comptes Rendus'unda Cauchy-Riemann diferansiyel denklemi ile kısa bir not kullandı (not, Cauchy'nin daha önceki birçok çalışmasına dayanıyordu) ve biliyordu ve daha sonra kullandı. Briot ve Bouquet'nin ders kitaplarını ve Cauchy'nin öğretisini genişleten Puiseux'un çalışmalarını anlatıyor. Yayınlarında her zaman açıkça kaynak olarak kullanmasa da, genel bilgi olarak kabul etse de. Derslerinde ayrıca tarihsel olarak Cauchy ve Weierstrass ile bağlantılı olan kuvvet serisi yaklaşımını kendi geometrik-potansiyel teorik yaklaşımıyla (temel olarak uyumlu haritalar, Cauchy-Riemann diferansiyel denklemi) entegre etti ve seçiminde esnekti. örneğin Erwin Neuenschwander ders notlarını incelerken gösterdiği gibi . Tersine, Riemann'a atfedilen geometrik fonksiyon teorisi bulgularının çoğu, Laugwitz'in belirttiği gibi, Cauchy karmaşık sayıların geometrik yorumlarından kasten kaçınarak kendisi için zorlaştırmış olsa bile, Cauchy'de zaten bulunabilir. Riemann'ın eski bir öğrenci arkadaşıyla yaptığı bir sohbete atıfta bulunan James Joseph Sylvester'in anılarından bir anekdot vardır: Riemann, Berlin zamanında (1847-1849), Comptes Rendus'ta Cauchy'nin yakın zamanda yayınlanan eserlerini yoğun bir şekilde okuduktan sonra şunları söyledi: bir olduğunu yeni matematik önünüzde.

Cauchy, Weierstrass'a da değer verdi. İlk olarak 1894'te toplu eserlerinde yayınlanan ve 1841/42'de öğrenciyken yazdığı risalelerde, fonksiyonlar teorisinin temel kısımlarını öngördü. Daha sonra, o sırada Cauchy'nin eserlerini okumadığını ve esas olarak Abel'dan etkilendiğini, ancak Cauchy'nin etkisinin o kadar büyük olduğunu ve bunun dolaylı olarak olabileceğini iddia etti. Bundan sonra, 1856'da Berlin'e çağrılana kadar büyük ölçüde tecrit altında yaşadı. Derslerinde öncelikle kendi sistemine ve kendi araştırmasına bağlı kaldı ve başkalarının araştırmalarını buna uyarladı, böylece öğrencisi Leo Koenigsberger bir zamanlar birçok şeyden şikayet etti. Cauchy'nin hiçbir şey öğrenmemişken yaptığı keşifler. 19. yüzyılın ikinci yarısında en büyük uluslararası etkiye sahip olan Weierstrasse Okulu'ydu.

Başarılar

Ay krater Cauchy , asteroid (16249) Cauchy ve Rupes Cauchy onun ismini taşıyor.

Edebiyat

• Bruno Belhoste : Augustin-Louis Cauchy. Biyografi. Springer, New York 1985, 1991, ISBN 3-540-97220-X
• Umberto Bottazzini : Geometrik Titizlik ve 'modern' analiz. ” Cauchy'nin Cours d'analysis'ine giriş, Cauchy'nin Cours d'Analyse'sinin tıpkıbasım baskısına önsöz, Bologna 1990
• Amy Dahan-Dalmédico : Matematikleştirmeler: Augustin-Louis Cauchy ve l'École Française. Ed. du choix, Argenteuil 1992 & Albert Blanchard, Paris 1992
  • Tarafından gözden Craig Fraser içinde, Isis. Bilim Tarihi Dergisi , 86, 1995, s. 501f. doi : 10.1086 / 357285
• Giovanni Ferraro: 1820'lerin başlarına kadar dizi teorilerinin yükselişi ve gelişimi, Springer 2008
• Hans Freudenthal : Cauchy, Augustin-Louis . İçinde: Charles Coulston Gillispie (Ed.): Bilimsel Biyografi Sözlüğü . kaset 3 : Pierre Cabanis-Heinrich von Dechen . Charles Scribner's Sons, New York 1971, s. 131-148 . 
• Craig Fraser : Cauchy. İçinde: Bilimsel Biyografi Sözlüğü , Cilt 2, Scribners 2008, s. 75-79
• Judith Grabiner : Cauchy'nin Titiz Analizinin Kökenleri , MIT Press 1981, Dover 2005
• Judith Grabiner: Sana epsilon'u kim verdi? Cauchy ve titiz hesabın kökenleri , Amer. Matematik Aylık, Cilt 90, 1983, sayfa 185-194. İnternet üzerinden
• Ivor Grattan-Guinness : Euler'den Riemann'a matematiksel analizin temellerinin gelişimi, MIT Press, Cambridge, 1970
• Ivor Grattan-Guinness, Ivor Cooke (ed.), Matematik tarihinde dönüm noktası yazıları, Elsevier 2005 (Grattan-Guinness: Cours d'analysis ve Resumé of the calculus (1821, 1823), F. Smithies: Two karmaşık fonksiyon teorisi üzerine anıları (1825, 1827)).
• Hans Niels Jahnke (Ed.): Analiz tarihi, American Mathematical Society 2003 (burada Jesper Lützen : 19. yüzyılda analizin temeli, Umberto Bottazzini: Karmaşık fonksiyon teorisi 1780-1900)
• Frank Smithies : Cauchy ve karmaşık fonksiyon teorisinin oluşturulması , Cambridge UP 1997
• Thomas Sonar : 3000 Yıllık Analiz , Springer 2011 (biyografi s. 503ff)
• Detlef D. Spalt : Değişimde ve çatışmada analiz. Temel kavramlarının oluşum tarihi , Verlag Karl Alber 2015
• Klaus Viertel: Tekdüzen Yakınsama Tarihi , Springer 2014

Yazı tipleri (seçim)

• Oeuvres complètes , 1. seri, Paris: Gauthier-Villars, 12 cilt, 1882 - 1900, seri 2, 15 cilt (1974'e kadar yayınlandı), seri 1, sayısallaştırılmış, ETH , Gallica-Math
  • 1981'de, École Polytechnique'de 1820'lerin başlarından itibaren diferansiyel denklemler üzerine Cauchy tarafından daha önce yayınlanmamış dersler de Gesammelte Werken: Equations différentielles ordinaires'de yayınlandı. Ders kayıtları. Fragment , Paris: Études Vivantes, New York: Johnson Reprint, 1981 (Christian Gilain önsöz)
• Mémoire sur les intégrales définies, fiyatlar giriş des limites imaginaires , Paris: De Bure 1825, Arşivler
  • 500 nüsha olarak çıktı ve 69 sayfadan oluşuyordu. Bulletin des sciences mathématiques 1874, Cilt 7, sayfa 265-304, Cilt 8, sayfa 43-55, 148-159 ve Oeuvres, Seri 2, Cilt 15, 1974, sayfa 41-89'da yeniden basıldı.
  • Almanca baskı: Hayali sınırlar arasındaki belirli integraller üzerine inceleme , Ostwald'ın klasiği, Ed. Paul Stäckel , Leipzig 1900, arşiv
• En iyi tanımların hatıraları , Bilimlerin Anıları ile ilgili hatıralar , Sör. 2, Cilt 1, 1827, s. 601–799 (Oeuvres, Series 1, Volume 1, 1882, pp. 319–506'da yeniden basılmıştır, esasen 1814'ten kalmadır)
• Cours d'analysis de l'École royale polytechnique , Cilt 1, Paris: Imprimerie Royale 1821, Arşivler
  • Almanca çeviri: Cebirsel Analiz Ders Kitabı , Königsberg 1828 (çevirmen CLB Huzler), sayısallaştırılmış versiyon , Berlin baskısı: Springer 1885 (Ed. Carl Itzigsohn) SUB Göttingen
  • Yorumlu İngilizce çeviri: Robert Bradley, Edward Sandifer: Cauchy's Cours d'Analyse: Açıklamalı bir çeviri , Springer 2009
• Özgeçmiş des lecons données a l'école royal polytechnique sur le calcul infinitésimal , Paris: De Bure 1823
• Leçons sur les apps du calccul infinitésimal à la géométrie , Paris: Imprimerie Royale 1826, Arşivler
  • Heinrich Christian Schnuse tarafından Almanca çeviri: Geometride Diferansiyel Zenginleştirme Uygulaması Üzerine Dersler , 1840
• Matematik alıştırmaları , 5 cilt, Paris, De Bure fréres 1826 - 1830, Arşivler, Cilt 1
• Leçons sur le calcul différentiel , 1829 Paris
  • Heinrich Christian Schnuse'un Almanca çevirisi 1836'da Braunschweig'de çıktı: Fourier'in belirli denklemleri çözme yöntemleriyle birleştirilmiş diferansiyel hesap üzerine ders .
• Leçons de calccul différentiel et de calccul intégral , Paris 1844, Arşivler
  • Schnuse tarafından Almanca çeviri: İntegral hesap üzerine ders , Braunschweig 1846
• Egzersizler d'analiz et de fizik matematik , 4 cilt, Paris: Bachelier, 1840 - 1847, Arşivler, cilt 1

İnternet linkleri

• Alman Ulusal Kütüphanesi kataloğunda Augustin-Louis Cauchy tarafından ve hakkında literatür
• Augustin-Louis Cauchy tarafından ve yaklaşık İşleri  yılında Alman Dijital Kütüphanesi
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Augustin-Louis Cauchy. İçinde: MacTutor Matematik Tarihi arşivi .
• Augustin-Louis Cauchy , Bibm'e giriş @ th –La bibliothèque des matématiques
• Cauchy, Augustin (1789-1857) , MathCS.org web sitesindeBert G. Wachsmuth tarafından
• Bibliothèque nationale de France kataloğuna giriş

Bireysel kanıt

1. ↑ ^{a b} Claude Alphonse Valson: La vie et les travaux du baron Cauchy: bilimler bölümü , Gauthier-Villars, Paris 1868, s.18 Google Digitaisat
2. ^ Gerhard Kowalewski : Büyük matematikçiler. Antik çağlardan modern zamanlara matematik tarihi boyunca bir yürüyüş. 2. Baskı. JF Lehmanns Verlag, Münih / Berlin 1939
3. ↑ Belhost, Cauchy, s. 46
4. ↑ Yılda iki sömestr vardı ve sömestr Kasım'da başlayıp Mart'ta bitti, bu yüzden fazla abartıldı. Ecole Polytechnique'de öğretim için, bkz. Belhost, La formation d'une technocratie, Belin, 2003, s. 372
5. ↑ Belhost, Cauchy, 1991, s. 224
6. ↑ Belhost, Cauchy, 1991, s. 363
7. ↑ Reinhold Remmert'ten sonra: Funktionentheorie I. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-12782-8
8. ^ Cauchy, Cours d'Analyse, 1821, Giriş, s. Ii
9. ↑ Robert Bradley, Edward Sandifer, Cours d'Analyze'in yeni baskısına önsöz, Springer 2009, sayfa XII
10. ↑ Robert Bradley, Edward Sandifer: Cauchy's Cours d'Analyze: An açıklamalı çeviri, Springer 2009, sayfa VIII
11. ↑ Grattan-Guinness: Bolzano, Cauchy ve on dokuzuncu yüzyılın başlarındaki "yeni analiz" , Kesin Bilimler Tarihi Arşivi, Cilt 6, 1970, s. 372-400.
12. ↑ Hans Freudenthal: Cauchy, Bolzano'yu intihal mi etti? Kesin Bilimler Tarihi Arşivi, Cilt 7, 1971, s. 375-392.
13. ↑ Örneğin, Craig Fraser'ın yeni Dictionary of Scientific Biography 2008'deki daha yakın tarihli Cauchy araştırmasına ek olarak, Hans Freudenthal'in daha eski makalesine ek olarak, o zamanlar Cauchy'nin 1970'lerde yaptığı çok sayıda katkıyı listelemiş ve açık sözlüydü. işine hayran.
14. ^ 1821 baskısında sonsuzluğun tanımı , s. 4
15. ↑ Lakatos, Cauchy and the Continuum, Mathematical Intelligencer, 1978, No. 9. Makalenin aslı 1966'dır ve Abraham Robinson ile yapılan tartışmalara dayanmaktadır.
16. ↑ Laugwitz, Cauchy'nin ders kitaplarında sonsuz küçük miktarlar, Historia Mathematica, Cilt 14, 1987, s. 258-274
17. ^ Laugwitz, Sonsuz Toplamların Kesin Değerleri: 1820 civarında Sonsuz Küçük Analizin Temellerinin Yönleri, Kesin Bilimler Tarihi Arşivi, Cilt 39, 1989, s. 195–245
18. ↑ Spalt, Cauchy'nin Sürekliliği, Arch. Hist. Exact Sciences, Cilt 56, 2002, sayfa 285-338.
19. ↑ Klaus Viertel, History of Uniform Convergence, 2015, s. 32f, Viertel'in Cauchy'nin 1853 tarihli çalışmasına ilişkin kendi analiziyle
20. ^ Grabiner, Epsilon'u sana kim verdi? Cauchy ve titiz hesabın kökenleri, American Mathematical Monthly, Mart 1983, s. 185
21. ↑ Jean-Luc Verley, Analytical Functions, içinde: Geschichte der Mathematik 1700-1900, Vieweg 1985, s.
22. ^ Nahin, Hayali Bir Öykü, Princeton UP 1998, s. 190
23. ^ Nahin, Hayali Bir Öykü, 1998, s. 196
24. ↑ Verley, Analytical Functions, Dieudonne, Gesch'te. der Math., Vieweg 1985, s. 145
25. ↑ Verley in Dieudonné, Gesch. der Math., 1985, s. 146
26. ↑ Freudenthal, Dict. bilim biyografi
27. ^ Morris Kline , Antik çağlardan modern zamanlara matematiksel düşünce, Oxford UP 1972, s. 717ff
28. ^ Cauchy-Lipschitz teoremi , Matematik Ansiklopedisi, Springer
29. ^ Kline, Matematiksel düşünce ..., s. 718f
30. ^ Freudenthal, Bilimsel Biyografi Sözlüğü
31. ^ Morris Kline, Matematiksel düşünce ..., 1972, s. 703
32. ^ Freudenthal, Makale Cauchy, Bilimsel Biyografi Sözlüğü. Bununla birlikte, Weierstrass çağında, Freudenthal'e göre diferansiyel denklemleri çözme yöntemi, diğer yöntemlerin lehine bir arka koltuk aldı.
33. ↑ Ters formülü içeren Fourier dönüşümünün tedavisi, 1815'ten itibaren su dalgaları üzerine fiyat yayınında bulunabilir, seri 1, cilt 1'de basılmıştır.
34. ^ Freudenthal, Cauchy, Bilimsel Biyografi Sözlüğü. Freudenthal'den sonra astronomideki en ünlü başarısı.
35. ↑ Bkz. Aigner, Ziegler: Cauchy'nin kanıtının sunulduğu Kanıtlar Kitabı
36. ^ Cauchy IIe mémoire sur les polygones et les polyedres , J. Fac. Polytechnique, Cilt 9, 1813, sayfa 87-98.
37. ↑ H.-W. Alten, H. Wußing ve diğerleri, 4000 yıllık cebir, Springer 2003, s. 401
38. ↑ Alten ve diğerleri, 4000 Years of Cebir, Springer, 2003, s. 400
39. ↑ Belhoste, Cauchy, s. 212
40. ↑ Jacobi'nin sık sık, matematiksel bir ispatta ne kadar titizlik olacağını yalnızca Dirichlet'in bildiğini söylediği söylenir; Gauss bir ispatı katı olarak adlandırsaydı, o (Jacobi) muhtemelen Cauchy Dirichlet ile hem lehte hem de aleyhte olurdu.
41. ↑ Reich, Cauchy ve Gauss. Gauss ortamında Cauchy'nin alımı. Kesin Bilimler Tarihi Arşivi, Cilt 57, 2003, s. 433-463. Jacobi'nin takdirine s. 453.
42. ↑ Hans Niels Jahnke , Algebraische Analysis, içinde: D. Spalt, Rechnen mit dem Unendlichen, Springer 1990, s. 103-122. Almanya'da okul derslerinde cebirsel analizin sağlam bir şekilde kurulması ve ayrıca Carl Friedrich Hindenburg'un özel kombinatoryal analiz biçimi vardı . Almanya'daki cebirsel analiz geleneği, Felix Klein'ın reformlarıyla okul derslerinde de sona erdi .
43. ↑ Jahnke, Algebraische Analysis, in: Spalt, Rechnen mit dem Unendlichen, 1990, s.118
44. ↑ Laugwitz, Riemann, 1996, s. 91. 1847'de Göttingen'den ödünç aldı.
45. ↑ Laugwitz, Riemann, 1996, s. 86. Hatta Cauchy-Hadamard formülünü bile biliyordu, ancak görünüşe göre, bir öğrenciyken ödünç aldığı Cauchy'nin Cours d'Analyse'sindeki bilgisinin kaynağını unutmuş ve daha zahmetli bir şekilde türetmişti. tavır. Laugwitz, Riemann, s. 96.
46. ↑ Neuenschwander, Riemann ve güç serileri aracılığıyla analitik devamlılığın “Weierstrasse” ilkesi, Yıllık Rapor DMV, Cilt 82, 1980, s. 1–11. Riemann, Weierstrass'ın 1856/57 tarihli çalışmalarına da aşinaydı.
47. ^ Karmaşık fonksiyon teorisi tarihinde Neuenschwander Çalışmaları II: Fransız okulu, Riemann ve Weierstrass arasındaki etkileşimler. , Amerikan Matematik Derneği Bülteni, 1981, s. 87-105 ( çevrimiçi )
48. ↑ Neuenschwander: Fransız okulu, Riemann ve Weierstrasse arasındaki etkileşimler hakkında. İki kaynak çalışma ile bir genel bakış, Kesin Bilimler Tarihi Arşivi, Cilt 24, 1981, s. 221-255.
49. ↑ Laugwitz, Riemann, Birkhäuser 1996, s. 83
50. ↑ Laugwitz, Riemann, 1996, s. 115. Laugwitz, s. 114ff, Cauchy'nin Riemann üzerindeki etkisi ile ilgilenir.
51. ^ Neuenschwander, On the Interactions of the French School, Riemann ve Weierstrass, Archive for History of Exact Sciences, Cilt 24, 1981, s. 229
52. ^ Neuenschwander, Riemann, Weierstrass ve Fransız, 1981, s. 232
53. ↑ 1821 tarihli baskı 568 sayfadır ve Oeuvres, Seri 2, Cilt 3'te 1897'de yayınlanan ve daha çok ikinci bir baskı olan baskıdan birkaç noktada farklıdır.
54. ↑ Königsberg'deki Höhere Stadtschule von Löbenicht Rektör Yardımcısı
55. ↑ Schnuse 1808'de Braunschweig'de doğdu, orada Collegium Carolinum'a katıldı ve 1834'e kadar Göttingen'de matematik okudu. 1835'te Marburg'da Christian Gerling'den doktorasını aldı. Matematik eserlerinin tam zamanlı tercümanıydı ve onları gözden geçirdi ve diğerlerinin yanı sıra Heidelberg ve Münih'te yaşadı. 1878 civarında öldü.

kişisel veri
SOYADI	Cauchy, Augustin Louis
KISA AÇIKLAMA	matematikçi
DOĞUM GÜNÜ	21 Ağustos 1789
DOĞUM YERİ	Paris
ÖLÜM TARİHİ	23 Mayıs 1857
ÖLÜM YERİ	Sceaux