altıgen

Düzenli altıgen

Bir altıgen veya altıgen [ hɛksaˈgoːn ] ( Yunanca ἑξα , héxa , "altı" ve γωνία , gonía , "açı; köşe") altı köşe ve altı kenardan oluşan bir çokgendir . Altı kenarın tamamı aynı uzunluktaysa, bir eşkenar altıgenden söz edilir. Ayrıca , altı köşedeki tüm açılar aynıysa, altıgene düzgün veya düzgün denir .

matematiksel ilişkiler

Düzenli altıgenin altında yatan ilişkiler ilk olarak Öklid tarafından 4. kitap The Elements'in 15. matematik teoreminde tanımlanmıştır . Altıgenin karşılıklı köşeleri birbirine bağlanırsa, altı eşkenar üçgen vardır . Öte yandan, karşıt olmayan tüm köşeler birbirine bağlanırsa, bir heksagram elde edilir .

formüller

Düzgün altıgen için matematiksel formüller
Alan	${\ displaystyle A = {\ frac {3 \ cdot {\ sqrt {3}}} {2}} \ cdot a ^ {2} \ yaklaşık 2 {,} 598 \ cdot a ^ {2}}$
Alan	${\ displaystyle A = 2 \ cdot {\ kare {3}} \ cdot r_ {i} ^ {2} \ yaklaşık 3 {,} 464 \ cdot r_ {i} ^ {2}}$
köşegenlerin uzunluğu	${\ displaystyle d_ {2} = 2 \ kere r_ {i} = {\ sqrt {3}} \ kere a \ yaklaşık 1 {,} 732 \ kere a}$
köşegenlerin uzunluğu	${\ displaystyle d_ {3} = 2 \ cdot r_ {u} = 2 \ cdot a}$
Daire içi yarıçap veya yarım anahtar boyutu	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ cdot a \ yaklaşık 0 {,} 866 \ cdot a}$
çevre yarıçapı	${\ görüntü stili r_ {u} = a}$
İç açı	${\ displaystyle \ alpha = 120 ^ {\ circ}}$

Belirli bir çevre için inşaat

Normal bir altıgen olabilir kolayca temsil bir şekilde pusula ve cetvel ile yapı bir mesafede çember çizilerek yarıçapını daire altı kez dairenin kenarında (yapı 1 'e bakınız). Elde edilen noktalar olan köşeleri altıgen. Alternatif olarak, Öklid'e göre, dairenin kenarından iki kez çıkarmak yeterlidir. Eksik köşeler daha sonra kullanılarak inşa edilebilir düz çizgiler aracılığıyla merkezi çevresi (hareketli bir grafik olarak, Öklid göre yapı 2) ve önceden bilinen köşeleri.

İnşaat 1
Öklid'e göre Yapı 2, animasyonlu bir grafik olarak

Pusula ve cetvelle altıgen yapımı

Belirli bir kenar uzunluğu için yapı

Belirli bir kenar uzunluğuna sahip bir altıgen yapımı

Kenar uzunluğu olarak mevcut bir çizgi kullanılacaksa, düzgün bir altıgen de yapılabilir .

A ve B ile rotanın bitiş noktalarını belirleyin.
A noktası etrafında AB yarıçaplı bir yay çizin .
Yarıçap AB olan B noktasının etrafına, kesişim noktası M sonuçları, sonraki çevrenin merkezi olan bir yay çizin .
M noktasının etrafına AM yarıçaplı bir daire çizin , bu sonraki altıgenin çevresidir.
AB'nin B noktasından olan mesafesini pusula ile çemberin üzerinde dört kez işaretleyin.
Komşu köşe noktalarını birbirine bağlayın , bu ABCDEF altıgeniyle sonuçlanır.

Yaklaşık yapı

Bir altıgenin yaklaşık yapısı

Altıgen, yükseklik taban oranı 7:8 olan yaklaşık olarak eşkenar üçgenlerden oluşturulduğunda, genellikle pratik amaçlar için yeterli olan bir düzgün altıgene yaklaşıklık elde edilir . Bu yaklaşım, %1'in hemen altındaki bir hatanın tolere edilebildiği durumlarda kullanılır. Örneğin, haritalar veya oyun alanları, çizilmesi ve hesaplanması kolay sektörlere ayrılabilir.

P _i (x | y) noktaları aşağıda bir saatin rakamlarına göre numaralandırılmıştır, merkez (0 | 0):

Yalancı bir altıgenin koordinatları
P ₁ (4 | 7), P ₃ (8 | 0), P ₅ (4 | -7), P ₇ (-4 | -7), P ₉ (-8 | 0), P ₁₁ (-4 | 7)
Ters çevrilmiş bir altıgenin koordinatları
P ₂ (7 | 4), P ₄ (7 | −4), P ₆ (0 | -8), P ₈ (-7 | −4), P ₁₀ (-7 | 4), P ₁₂ (0 | 8.)

Yukarıdaki koordinatlardaki 4, 7 ve 8 sayıları sırasıyla 15, 26 ve 30 ile değiştirilerek daha iyi bir yaklaşım elde edilir . Diğer olası üçlüler (56, 97, 112) veya (209, 362, 418)'dir. Bu üçlü tümünde, üçgenler karşılık gelen kenar uzunlukları oluşan sapma , bir çok az sadece sağ açılı üçgen akut 30 ° ve 60 ° arasında açılar ile C. Bu tipteki diğer üçgenler, "katetlerden" yeni katetlerin oluşturulması ve (ile ) zaten bilinen böyle bir üçgen ile yinelemeli olarak bulunabilir . “Hipotenüs”, 30 ° özelliği nedeniyle her zaman kısa katetüsün iki katıdır. ${\ görüntü stili a}$ ${\ görüntü stili b}$ ${\ görüntü stili bir <b}$ ${\ displaystyle 2a + b, 3a + 2b}$

altıgen döşeme

Altıgenlerle döşeme

Eşkenar üçgen ve elmasa ( özel bir durum olarak kare ile ) ek olarak, düzgün altıgen, bir düzlemin boşluksuz döşenebileceği tek eşkenar çokgendir . Aksine döşeme ile üçgen ya da eşkenar dikdörtgen, tek tek çokgen altıgen fayans yalnızca ile bağlanır tam kenarlarından bağlı komşu, ancak hiçbiri vardır köşe ya da kenar parçaları. Arasındaki mesafe merkezleri iki doğrudan bitişik altıgen olduğu

{\ displaystyle 2 \ cdot r_ {i} = {\ sqrt {3}} \ cdot a}

Altıgen döşeme oluşturma olasılığı, altıgenlerin normal beşgenler , yedigenler ve daha yüksek çokgenlerden önemli ölçüde daha yaygın olmasının bir nedenidir .

3-6-3-6
3-3-3-3-6 (iki aynalı versiyon)
3-4-6-4
4-6-12

Rakamlar aşağıda sayılar kaç işaret köşeler düzgün çokgenler , her biri sahip buluştuğu bir de nokta . İç açılar 360 ° 'ye kadar ekleyin.

Düzenli altıgenler ile çokyüzlü

Bazı çokyüzlülerin yüzler olarak düzenli altıgenleri vardır , örneğin, kesik dörtyüzlü , kesik sekizyüzlü , büyük eşkenar dörtgen kübik yüzlü , budanmış ikosahedron ve büyük eşkenar dörtgen . Bahsedilen çokyüzlüler Arşimet katılarıdır .

kesilmiş tetrahedron
kesik oktahedron
Büyük elmas kübiktahedron
Kesik ikosahedron (futbol gövdesi)
Büyük eşkenar dörtgen

Altıgen ve altıgen yapıların oluşumu

, Altıgen kristal yapıda bir grafit

Düzenli altıgenler sanatta, kültürde, doğada ve teknolojide yaygındır. Aşağıdaki liste sadece birkaç örnek göstermektedir.

doğa

Kar araştırmacısı Wilson Bentley tarafından fotoğraflanan kar kristalleri

bal peteği

Petek : Duvarların altıgen şekli, duvar malzemesinin hacme optimal oranını sağlar ve yüksek stabilite sunar. Temelde avantajları ile dairesel şeklin bir araya getirilmesi gibidir, ancak kullanılmayan boşluklar bırakmaz.
Bağlı elektron orbital , kovalent bağlar , bir molekül, genellikle heksagonal moleküler şekilleri özellikle stabil ve altıgen halkalar ya da sık sık meydana gelen moleküler şekilleri olduğu aracı, bir eşkenar altıgen, mevcut birbirine 120 ° 'lik açı oluşturur.
Kristal yapılar : Birçok kristal altıgen şekiller oluşturur . Su molekülündeki hidrojen atomları da oksijene yaklaşık 120°'lik bir açı oluşturduğundan, iyi bilinen örnekler doğal ( su ) buzu ve altı köşeli kar taneleridir .
Grafitin kristal yapısında karbon, altıgenlerden oluşan düzlemsel yüzeyler oluşturur. Karbonun diğer temel formları - grafen , fullerenler ve karbon nanotüpler - ayrıca muhtemelen hafif kavisli altı üyeli halkalardan oluşur.
Organik moleküllerin önemli bir temel yapısı, köşe noktaları olarak karbon atomlarıyla düzenli bir altıgen oluşturan ( aromatik ) benzen halkasıdır . Sikloheksan gibi bir alifatik hidrokarbon halkasının aksine , uzamsal olarak bakıldığında benzen düz bir altıgen bile oluşturur.
Yavaşça katılaştığında bazalt genellikle metre uzunluğunda altıgen sütunlar oluşturur.
Sıvıların aşırı akışkanlığı durumunda : nicelenmiş mekanik girdapların düzenlenmesi
Satürn gezegeninin kuzey kutbu, neredeyse düzenli bir altıgen şeklindeki kararlı bir atmosferik yapının merkezidir . Yaklaşık 25.000 kilometrelik bir çapa sahiptir.
Bénard deneyindeki konveksiyon hücreleri, düzenli altıgenler olarak gelişebilir.
Bir hayvanın uzamsal ortamdaki konumunu kodlayan hipokampustaki yer hücreleri , altıgenlerin köşe noktaları olarak temsil edilebilir.
Kış Altıgen Dünya'dan bakıldığında düzensiz bir altıgen oluşturacak şekilde olur tanı konulur.

Sanat ve Kültür

Havadan görünüşü Fort Jefferson içinde Florida Keys

Comburg'da altıgen tabanlı şapel

Yahudilik ve Hıristiyanlığın mimarisinde, resimlerinde ve grafiklerinde altıgenin kullanımı , anlamı ilk üç sayının (1 + 2 + 3) ve sayılarının toplamından kaynaklanan 6 sayısının sembolizmine dayanmaktadır. sembolizm. Onlar ve dolayısıyla eşkenar altıgen, her iki dinde de Tanrı'nın her şeye kadir olduğunu sembolize eder. Ama aynı zamanda, altıgenin eşkenarlığında ve altı hayali veya geometrik olarak görülebilen eşkenar üçgenin bileşiminde yatan ilahi ve dünyevi olanın denge ve uyumunu da temsil ederler, yani. ayrıca 3 sayısının sembolizmini de içerirler. Bağlama bağlı olarak, 6 sayısı ve altıgen , altı günlük yaratılış çalışmasının ( Yaratılış ) sembolleri de olabilir .

Geç Orta Çağ Hıristiyan resminden bir örnek , Yukarı Ren ustasının (yaklaşık 1410; Frankfurt, Städelsches Kunstinstitut) " Paradiesgärtlein " tablosundaki altıgen tablodur : Resmin biçimi ve sembolik gücündeki parlak renklerle resme hakimdir. altıgen ve resmin kompozisyonundaki rolü ile de vurgulanan resmi anlamak için belirleyici bir faktördür .

Altıgenin kullanımına ilişkin başka örnekler, ancak yalnızca sınırlı sembolik anlamı vardır:

Mimari : Birçok kültürde altıgen, pencere, fayans ve mozaik tasarımında temel bir unsurdur . Örnek olarak duvar resimleri üzerinde Pisa'daki katedral bazı binaların veya duvar öğeleri Pompeii ; Glastonbury Manastırı da (hayali) bir altıgen içinde yer almaktadır . Mimar Frank Lloyd Wright'ın özel villası Kentuck Knob'da , altıgen sürekli inşaat ilkesidir, İskoçya'daki Lantern Tower , Thüringen'deki Tiefurt Castle Park'taki Muses tapınağı gibi altıgen bir kat planının üzerinde yükselir . Saksonya- Anhalt'taki Zörbig su kulesi . Düsseldorf'taki Rank-Xerox- Haus'un kat planını birkaç altıgen oluşturur .

MC Escher : Mozaik varyasyonlarının çoğu altıgenlere dayanmaktadır.
Fransa : Kabaca altıgen şeklinden dolayı, Fransa'nın anakara Avrupa'daki bölgesi l'hexagone olarak da bilinir . Bu nedenle Fransız 1 ve 2 euro paraların arka yüzünde altıgen içinde stilize edilmiş bir ağaç vardır ve Fransa Mareşali yedi yıldızını altıgen şeklinde düzenlenmiş omuz parçalarına takmaktadır .
Müzik elektroniği: İngiliz Simmons firmasının ilk ticari elektronik bateri kitleri altıgen şeklindeydi.

teknoloji

alyan vidası

Vidaların başları genellikle ya bir dış altıgen ya da bir iç altıgen ( Allen ) olarak altıgendir . Ayrıca altıgen somunlar yaygındır.
Petek çekirdekli bir sandviç panel , yani petek şeklinde destek çekirdekli kompozit bir yapı , düşük ağırlık veya malzeme tüketimi ile yüksek mukavemet gerektiren yapılarda kullanılmaktadır.
Fused Deposition Modeling işlemine dayanan birçok 3D yazıcının destek yapıları, yukarıda bahsedilen sandviç yapıya benzer şekilde yüksek stabiliteyi düşük ağırlık ve filament tüketimi ile birleştiren petek yapı olarak birçok modelde basılabilir.

Oyunlar

Birçok oyunda , özellikle çatışma simülasyon oyunlarında , oyun tahtası altıgen bir ızgaradan oluşur . Bu, diğer şeylerin yanı sıra, iki alan arasındaki mesafelerin kare bir ızgaraya (örneğin bir satranç tahtası) göre daha kolay belirlenebileceği anlamına gelir. The Settlers of Catan oyunu , hem oyun tahtasının hem de bireysel peyzaj karolarının altıgen olduğu burada özellikle öne çıkıyor .

Ayrıca bakınız

İnternet linkleri

Vikisözlük: Altıgen - anlam açıklamaları , kelime kökenleri, eş anlamlılar, çeviriler

Commons : Altıgenler - resim, video ve ses dosyalarının toplanması

Matematik dünyası (İngilizce)
Çokgen, Döşeme ve Kutsal Geometri - sanat ve mimaride altıgenlerin resimli örnekleri (İngilizce)

Notlar ve bireysel referanslar

^ Johann Friedrich Lorenz : Öklid'in unsurları, on beş kitap . Ed.: Kitapçı des Waysenhauses'un yayınevinde. Salon 1781, S. 65 ff . ( Euclid's Elements, Fourth Book, The 15th Movement. , Belirli bir daire içinde, ABCDEF, bir eşkenar ve eşkenar altıgeni tanımlamak için. [Erişim tarihi: 17 Haziran 2017]).
↑ Dr. Christian Wolf: Aranıyor ve bulundu: Yönlendirme hücreleri 2014, bkz. Garip Model ve Zihinsel Koordinat Sistemi . 17 Haziran 2017'de alındı.

[1] Johann Friedrich Lorenz : Öklid'in unsurları, on beş kitap . Ed.: Kitapçı des Waysenhauses'un yayınevinde. Salon 1781, S. 65 ff . ( Euclid's Elements, Fourth Book, The 15th Movement. , Belirli bir daire içinde, ABCDEF, bir eşkenar ve eşkenar altıgeni tanımlamak için. [Erişim tarihi: 17 Haziran 2017]).

[2] Dr. Christian Wolf: Aranıyor ve bulundu: Yönlendirme hücreleri 2014, bkz. Garip Model ve Zihinsel Koordinat Sistemi . 17 Haziran 2017'de alındı.

Languages