Riemann Hipotezi

Riemann Hipotezi veya Hipotez en önemli biridir çözülmemiş problemler de matematik . İlk olarak 1859'da Bernhard Riemann tarafından verilen bir nicelik altındaki asal sayıların sayısı üzerine çalışmasında formüle edilmiştir . 1900 yılında David Hilbert tarafından yüzyılın 23 önemli problemi listesine alındıktan sonra , 2000 yılında Clay Mathematics Institute tarafından matematiğin yedi binyıl problemleri listesine dahil edilmiştir . Cambridge'deki enstitü (Massachusetts) , probleme matematiksel bir kanıt şeklinde kesin bir çözüm için bir milyon ABD doları para ödülü verdi .

Basitçe söylemek gerekirse, Riemann Hipotezi, 2, 3, 5, 7, 11 ... asal sayılar dizisinin “mümkün olduğunca rastgele” davrandığını söyler . Bu sayı, bir aşırı olaylar dizisi, aslında, örneğin, ifade edilmelidir da sayısının ana faktörler gibi, ya da bir yer alır tek gibi asal faktörlerin sayısı , uzun vadede bir davranışa sahip olduğunu Bu da sık sık tekrarlanan kafa ve sayı ile atabilir . Riemann Hipotezini çözen ve böylece asal sayılar arasındaki bu rastgelelik için daha derin bir açıklama sağlayan bir teori, bu nedenle, matematikçilerin bakış açısından, genel olarak sayıların temelde yeni bir anlayışıyla sonuçlanabilir . ${\ displaystyle 6 = 2 \ cdot 3}$${\ displaystyle 66 = 2 \ kere 3 \ kere 11}$

Bu teknik dile tercüme edilirse analitik sayılar teorisi , Riemann Hipotezi tüm bu açıklamaya eşdeğerdir karmaşık sıfırları Riemann zeta fonksiyonu sözde kritik şeritte sahip gerçek parçasını ¹ / ₂ . Zeta fonksiyonunun gerçek sıfırlara ("önemsiz" sıfırlar denir) ve ayrıca gerçek kısım ¹ ⁄ ₂ ile sonsuz sayıda gerçek olmayan sıfıra sahip olduğu zaten biliniyor ve kanıtlanıyor . Riemann Hipotezi, bunun ötesinde başka sıfır olmadığını söylüyor, yani. Bu, zeta fonksiyonunun tüm önemsiz sıfırlarının , sanal eksene paralel sayılar düzleminde düz bir çizgi üzerinde uzandığı anlamına gelir . ${\ görüntü stili -2, -4, -6, \ noktalarc}$

Riemann Hipotezi modern matematik için çok önemlidir. Özellikle sayı teorisinde, şimdiye kadar çözülmemiş bir dizi problem için çok önemli kanıtlar, bundan çıkarılabilir. Bu , asal sayı teoremi veya açık Goldbach varsayımı bağlamında asal sayı dağılımı gibi temel araştırmalardan ve hızlı asallık testleri gibi uygulamalı matematikten gelen problemlerle ilgilidir . Aynı zamanda kanıtlanması da son derece zor kabul edilir. Bunun bir nedeni, uzmanların bakış açısına göre, insanlığın henüz onlara saldırmak için gerekli matematiksel araçlara sahip olmamasıdır. Önde gelen matematikçiler tarafından yapılan önceki ispat girişimlerinin tümü başarısız oldu.

Kapsamlı bilgisayar kullanımı , zeta fonksiyonunun ilk 10 trilyon sıfırı için Riemann Hipotezini doğrulamayı mümkün kıldı. Bununla birlikte, gerçek kısım ¹ ⁄ ₂ ile kanıtlanabilir şekilde sonsuz sayıda gerçek olmayan sıfır olduğundan, bu şekilde ancak açık bir karşı örnek vererek çürütülebilir, ancak kanıtlanamaz. Bir karşı örnek, kritik şeritte gerçek kısmı ¹ ⁄ _2'ye eşit olmayan gerçek olmayan bir sıfır olacaktır .

Giriş

asal sayılar

Sayı teorisinin merkezinde, 1, 2, 3, 4 ... doğal sayıların özellikleriyle ilgilenen matematik dalı, 2, 3, 5, 7, 11 ... asal sayılardır. Bunlar, 1 ve kendisi olmak üzere tam olarak iki çarpana sahip olma özelliğiyle ayırt edilirler . 1 asal sayı değildir. Öklid zaten sonsuz sayıda asal sayı olduğunu gösterebildi, bu yüzden 2, 3, 5, 7, 11 ... listesi asla bitmeyecek. Sonucuna Öklid teoremi denir .

Asal sayılar, tabiri caizse, tam sayıların atomlarıdır , çünkü her pozitif tam sayı, açık bir şekilde çarpımsal olarak böyle ayrıştırılabilir. Örneğin, 21 = 3 · 7 ve 110 = 2 · 5 · 11. Bu temel özelliğe rağmen, birkaç bin yıllık matematik tarihinden sonra, asal sayıların sıralarında tabi olduğu basit bir model bilinmemektedir. Doğaları, matematikteki en önemli açık sorulardan biridir.

asal sayı teoremi

Asal sayıların 2, 3, 5, 7, 11 ... dizisinin ayrıntılı olarak anlaşılmasına ulaşılamaz kabul edilse bile, görüşünüzü genişletirseniz kalıpları arayabilirsiniz. Örneğin, istatistiksel yöntemlerin yardımıyla, çok sayıda insanın davranışının (örneğin tüketim ve oy verme davranışıyla ilgili olarak) bireysel bir kişi son derece karmaşık olsa bile, genellikle şaşırtıcı bir hassasiyetle tanımlanabileceği fikri. Kabaca söylemek gerekirse, bu, artan miktarda ilgili verinin giderek daha güvenilir bilgi sağlamasıyla ilgilidir . Asal sayılar söz konusu olduğunda, böyle bir genişleme, diğer şeylerin yanı sıra, sabit bir sayının altında kaç tane asal sayı olduğu sorusuna yol açar .

Örneğin, sadece 4 asal sayı, yani 2, 3, 5 ve 7, 10 sayısından küçüktür. 50 durumunda, zaten 15 daha küçük asal sayı vardır, yani

${\ displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.}$

Sayı teorisinin bir sorusu, belirli bir sınır altında en azından kaç tane asal sayı olduğunu tahmin etmenin evrensel ve basit bir ilkesinin olup olmadığıdır. Bu, ilk olarak 1792/93 yıllarında, o zamanlar 15 yaşındaki Carl Friedrich Gauß tarafından logaritma okuduktan sonra fark edildi. Gauss kabul olduğu çok sayıda 2'den tüm asal sayıların sayı x tekabül yaklaşık arasındaki alan için x -Axis ve işlev 2'den aralıkta x . Nerede doğal logaritma . Yani yaklaşıklık geçerlidir ${\ displaystyle t \ mapto {\ tfrac {1} {\ günlük (t)}}}$${\ görüntü stili \ günlük (t)}$

x'e kadar olan asal sayıların sayısı ${\ displaystyle \ yaklaşık \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {1} {\ log (t)}} \ matematik {d} t.}$

İntegral sağda hiçbir temel kehrwertige logaritma çünkü kapalı temel hesaplanamaz ilkel vardır. Bu nedenle, integral logaritma olarak da bilinen "bağımsız" bir işlevi tanımlar . Gauss, varsayımı için herhangi bir matematiksel kanıt sağlamadı ve bir tanesinin - Jacques Hadamard ve Charles-Jean de La Vallée Poussin'den bağımsız olarak - 1895'te üretilmesi 100 yıldan fazla sürdü . Kanıt , sonsuz sayıda sayı ile imkansız olan, akla gelebilecek tüm değerlerin denendiği anlamına gelmez , ancak matematiksel aksiyomlara dayanan mantıksal bir argümanın gerçekleri tam bir genellik içinde kanıtladığı anlamına gelir. Gösterilen teorem bugün hala asal sayı teoremi olarak adlandırılmaktadır .

Asal sayı teoreminde verilen yaklaşım oldukça iyi değerler verir. Örneğin, 73.893 sayısının altında tam olarak 7293 asal sayı vardır ve

${\ displaystyle \ int _ {2} ^ {73 \, 893} {\ frac {1} {\ log (t)}} \ matematik {d} t \ yaklaşık 7331 {,} 35.}$

Asal sayı teoremi, asal sayı mesafelerinin ortalama davranışını yakalar. İfadesinin bir yorumu, 2 ile çok büyük bir n arasındaki rastgele bir sayının , yaklaşık olasılığa sahip bir asal sayı olduğu şeklindedir . Ancak asal sayı dizisi hakkında ayrıntılı bilgi vermez. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ günlük (n)}}}$

Riemann'ın fikirleri

1859'dan orijinal eser

1859'da Bernhard Riemann , daha sonra modern analitik sayılar teorisinin temellerini atacak olan Berlin Bilimler Akademisi'ne kabul edildiği için teşekkür olarak 9 sayfalık bir belge yazdı . Çalışmaları, Gauss'un asal sayılar teoremi hakkındaki varsayımını kanıtlamayı ve onu derinleştirmeyi amaçlıyordu. Bununla birlikte, deneme son derece kabataslak olduğundan ve içinde yapılan çok sayıda ifade kesin olarak kanıtlanmadığından, matematikçilerin orada yapılan iddiaları kabul etmesi biraz zaman aldı. Bu güne kadar, Riemann'ın çalışmasındaki tüm ifadeleri, orada bir yan tümcede formüle edilen Riemann Hipotezi dışında, kanıtlanmış olarak kabul edilir.

Riemann zeta fonksiyonu

Bu formülü kanıtlamak için olası bir araç, Riemann zeta işlevidir . Kesin asal çarpanlara ayırma yasasını analiz dilinde ifade etmesinden yararlanır . Böylece asal sayıların özellikleri bu fonksiyonda gizli olarak saklanır. Asal sayılar hakkında sonuç çıkarmaya izin veren belirleyici özellikler , zeta fonksiyonunun sıfırları yani 0 değerini aldığı tüm noktalardır. Bunlar, yukarıdaki formül için onları tam bir ifadeye dönüştüren bir düzeltme terimi üretir . Ortaya çıkan kesin formül , asal sayıların dağılımını en ince ayrıntısına kadar bilir. Ancak bu, asal sayılarla ilgili soruların çözüldüğü anlamına gelmez: artan değerlerle birlikte hesaplama çabası keskin bir şekilde artar ve bu nedenle bu formülü kullanan pratik hesaplamalar etkili değildir. Buna karşılık, modern asallık testleri sayısal araştırmalar için daha uygundur. Bununla birlikte, kesin formül teorik olarak ilgi çekicidir: basit tahmin ile gerçek asal sayı dağılımı arasındaki hata payını içerir. Bu hatanın (tüm olasılıklar yelpazesi dahilinde) mümkün olan en küçük olduğu varsayılır. Sayının altındaki asal sayıların sayısını vermesi gereken tam formülde, sıfırlar olmak üzere terimler de toplanır . Eğer gerçek kısmı arasında artık daha büyük, bu da boyutunu artırır asal sayı teoremi tahmini ve fiili dağılımı arasındaki mesafe de daha büyük olacağı anlamına gelecektir. Gerçek kısmın sonsuz sayıda eşit değer olduğu gösterilebilir , bu nedenle hata kesinlikle minimum büyüklük sırasına sahip olacaktır . Bununla birlikte, Riemann Hipotezi, kritik şeritte önceden bilinenlerden farklı davranan başka sıfır olmadığını belirtir. ${\ görüntü stili x}$${\ görüntü stili x ^ {\ rho}}$${\ görüntü stili \ rho}$${\ görüntü stili \ rho}$${\ görüntü stili x ^ {\ rho},}$${\ görüntü stili \ rho}$${\ görüntü stili {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon}}$

Hatanın kodunun çözülmesi sayılarla ilgili değildir . Bunun yerine, saf matematik , hatanın (varsa) mümkün olduğu kadar küçük olmasının önceden gizli olan nedenini bulmaya çalışır . Matematikçiler, bu düzenliliğin biçimsel gerekçesinin, sayıların doğasına ilişkin temel bir kavrayış sağlayacağını umuyorlar.

Riemann zeta fonksiyonu

Yatay ve dikey olarak karmaşık düzlemde Riemann zeta fonksiyonu . Bir satır beyaz nokta sıfırları işaretler Önizleme görüntüsünün tam görüntüsü için burayı tıklayın.${\ displaystyle \ operatöradı {Re} (s)}$${\ displaystyle \ operatöradı {Im} (ler)}$${\ displaystyle \ operatöradı {Re} (s) = 1/2.}$

Riemann zeta işlevi, gerçek kısmı sonsuz toplama bölünen karmaşık bir sayı için çalışan karmaşık değerli bir işlevdir . ${\ görüntü stili s}$${\ displaystyle \ operatöradı {Re} (s)> 1}$

${\ displaystyle \ zeta(lar) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s }}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ {s}}} + \ dotsb}$

tanımlanmış.

Riemann zeta fonksiyonunun en önemli özelliklerinden biri asal sayılarla bağlantısıdır . Karmaşık analiz ve sayılar teorisi arasında bir ilişki kurar ( analitik sayı teorisine bakınız ) ve Riemann Hipotezinin başlangıç ​​noktasını oluşturur. Leonhard Euler'e (1748) kadar giden aşağıdaki ifade, bir formüldeki bağlantıyı şu şekilde temsil eder:

${\ displaystyle \ zeta(lar) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p \ {\ metin {prim}} } {\ frac {1} {1 - {\ frac {1} {p ^ {s}}}} = {\ frac {1} {\ sol (1 - {\ frac {1} {2 ^ {s) }}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} {3 ^ {s}}} \ sağ) \ sol (1 - {\ frac {1} {5 ^ {s}}} \ sağ) \ nokta}},}$

burada tüm asal sayılar üzerinde sonsuz bir ürünü temsil eder . İfade, asal sayı ayrıştırmasının benzersizliği ve geometrik seriler için toplama formülü hakkındaki teoremden doğrudan çıkar . ${\ görüntü stili \ Pi _ {p}}$ ${\ görüntü stili p}$

Fonksiyon, Euler'in toplamının veya çarpım formülünün orijinal yakınsama aralığının ötesinde tüm karmaşık seviyeye kadar analitik olarak  açık bir şekilde devam ettirilebilir - hariç . Bir meromorfik fonksiyon elde edilir${\ görüntü stili s = 1}$

${\ displaystyle \ zeta(lar) = {\ frac {1} {\ Gama (lar)}} \ sol ({\ frac {1} {s-1}} - {\ frac {1} {2s}} + \ toplam \ limitler _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {n}} {n!}} {\ frac {1} {s + n-1}} + \ int \ limitler _ { 1} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {\ matematik {e} ^ {x} -1}} \, \ matematik {d} x \ sağ),}$

nerede gama fonksiyonu ve Bernoulli sayıları . Bu noktada basit bir direğe sahiptir . Bu temsildeki diğer tekilliklerin tümü kaldırılabilir çünkü tüm fonksiyon bu konumların her birinde basit bir sıfıra sahiptir . ${\ görüntü stili \ Gama}$${\ displaystyle B_ {n}}$${\ görüntü stili s = 1}$ ${\ displaystyle 1 / \ Gama}$${\ displaystyle 0, -1, -2, -3, \ dotsc}$

formülasyon

Kritik çizgi üzerindeki zeta fonksiyonunun büyüklüğü Re (s) = 1/2

Kritik düz çizgi üzerinde zeta fonksiyonunun fonksiyon değerleri Re (s) = 1/2

Aşağıda, Riemann zeta fonksiyonu analitik bir devam halinde ele alınmaktadır . Bu formda, zeta fonksiyonu, gama fonksiyonunun kutup kümesinden kaynaklanan ve parantez içindeki ifadenin kutup kümesi tarafından iptal edilerek indirgenen "önemsiz sıfırlar"a sahiptir. Negatif çift sayılar kümesidir${\ görüntü stili s = -2, -4, -6, \ noktalı}$

Riemann'ın 1859'daki ünlü çalışmasının merkezi bir bulgusu, olası tüm önemsiz sıfırların sözde kritik şeritte olduğu bulgusuydu.

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid 0 \ leq \ operatör adı {Re} (s) \ leq 1 \}}$

yer almalıdır.

Bernhard Riemann'ın ünlü - ve bugüne kadar ne çürütülmüş ne de kanıtlanmış - varsayımı, önemsiz olmayan tüm sıfırların orta düz çizgide olduğunu belirtir.

${\ displaystyle \ {s \ in \ mathbb {C} \ mid \ matrm {Re} (s) = {\ tfrac {1} {2}} \}}$

Yalan.

Riemann, zeta fonksiyonunun gama fonksiyonu ile çarpımını araştırırken varsayımını ortaya attı.

${\ displaystyle \ xi (s) = \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} \; \ Gama \ sol ({\ frac {s} {2}} \ sağ) \ zeta (lar) }$,

ile değiştirilirken değişmez olan , yani fonksiyonel denklemi karşılar : ${\ görüntü stili s}$${\ görüntü stili (1-s)}$

${\ görüntü stili \ xi (s) = \ xi (1-s).}$

Riemann'ın kendisi kullandı ve böylece herkes için aldı : ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} + \ matematik {i} t}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ xi ({\ tfrac {1} {2}} + \ matematik {i} t) = \ xi ({\ tfrac {1} {2}} - \ matematik {i} t)}$

Karmaşık sayı düzleminde gerçek kısmı 1/2 olan düz çizgi bu nedenle bu yansımada da değişmezdir. Riemann sıfırlar hakkında şöyle yazar:

“Gerçek kökler” ile Riemann , kritik şeritteki biri için denklemin ${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} + \ matematik {i} t}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi ({\ tfrac {1} {2}} + \ matematik {i} t) = 0}$

sadece gerçek , yani çözülecek. ${\ görüntü stili t}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

Zeta fonksiyonunun sıfırlarının konumundan, Riemann hipotezinden bağımsız olarak, asal sayı dağılımı hakkında önemli açıklamalar yapılabilir; örneğin, asal sayı teoremi, zeta fonksiyonunun düz üzerinde sıfır bulunmadığı ifadesine eşdeğerdir. line , ve kritik şeritteki sıfırdan arındırılmış bölgelerin herhangi bir genişlemesi, asal sayı teoremindeki hata teriminde Riemann varsayımına kadar bir gelişmeye yol açar.${\ görüntü stili s = 1}$

Olasılık-teorik görünüm

Riemann Hipotezi olasılıksal olarak yorumlanabilir. Bu matematikçi Arnaud Denjoy'a kadar gider .

Karşılaştırma, adil bir yazı tura atışı dikkate alınarak yapılır. Muhtemel sonuçları "tura" ve "tura" olan adil bir madeni para art arda birkaç kez havaya atılır. İdeal durumda, her atışın sonucu kesinlikle rastgeledir ve ayrıca atışların sonuçları birbirine bağlı değildir. Bu nedenle, önce tura atıldıysa, bunun tura mı yoksa tura mı geldiği ile alakasız olmalıdır.

Aynı olasılıklarla mutlak rastgelelik ve ayrıca bireysel atışların bağımsızlığı varsayıldığında , bir yazı tura sık sık tekrarlandığında belirli bir model gözlemlenebilir. Bu, en iyi şekilde, "tura" ve "tura" olayları veya gibi nicel değerlerle değiştirildiğinde ve her atış serisinden sonra tüm ara sonuçların toplamı oluşturulduğunda gösterilir. Bu daha sonra tam olarak atılan kafalar ve sayılar arasındaki farka karşılık gelir . Örneğin, altı tura ve on bir tura attıysanız, durum böyle olurdu . Çok sık atış sayısı, yaklaşık 100 milyon ile, her iki sonucun da tam olarak aynı olasılığa sahip olması nedeniyle , yaklaşık 50 milyon kez veya atıldığını varsaymak mantıklıdır . Bunun olası sonucu, değerin yaklaşık olarak sıklıkta toplandığı varsayıldığından, tüm atışların toplamının "yaklaşık olarak sıfır değerine eşitlenmesi" olacaktır . Öte yandan, bu büyüklük sıralarında bile (50.000, 50.000.000) 0 farkla veya (49 999 999, 50 000 001) -2 farkla bir sonucun ortaya çıkması son derece olası değildir. . Tesadüfün , "aykırı değerler" lehine veya belirli bir "aykırı" değerlere neden olması daha olasıdır . Bu “aykırı” boyutu konusu olan merkezi limit teoremi : Eğer rastgele değişken belirtmektedir değerini inci kumu, fark olarak atar ile verilir ${\ görüntü stili +1}$${\ görüntü stili -1}$${\ displaystyle 6-11 = -5}$${\ görüntü stili +1}$${\ görüntü stili -1}$${\ görüntü stili +1}$${\ görüntü stili -1}$${\ görüntü stili +1}$${\ görüntü stili -1}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ görüntü stili n}$${\ görüntü stili D_ {N}}$${\ görüntü stili N}$

${\ displaystyle D_ {N}: = \ toplam _ {n = 1} ^ {N} X_ {n} = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3} + \ cdots + X_ {N-1} + X_ {N}.}$

Merkezi limit teoremi diğer şeylerin yanı sıra, yani diyor mutlak değeri ile çok yüksek olasılık bir in aralık sayılarla kaldıkları. Nerede karekök içinde . Olasılık giderek değişkenlere bağlı ve doğal olarak 1 için ve 1'e karşı çabalayan (= %100) bir değere yaklaşır . Bu nedenle üst farkın "aykırı değeri" büyüklük mertebesindedir ; buna göre, büyüklük sırasına göre bir sapma seçilirken dikkate alınmalıdır. ${\ görüntü stili | D_ {N} |}$ ${\ displaystyle [\ varepsilon {\ sqrt {N}}, M {\ sqrt {N}}]}$${\ displaystyle 0 <\ varepsilon \ ll M <\ infty}$${\ görüntü stili {\ sqrt {N}}}$${\ görüntü stili N}$${\ görüntü stili N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ görüntü stili M}$${\ displaystyle 0 <p (\ varepsilon, M) <1}$${\ displaystyle \ varepsilon \ 0'a kadar}$${\ displaystyle M \ ila \ infty}$${\ görüntü stili D_ {N}}$${\ görüntü stili {\ sqrt {N}}}$${\ görüntü stili N = 100000000}$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {100000000}} = \ pm 10000}$

Merkezi limit teoremi, yazıların turalar kadar sık ​​atılması ( ) veya diğer uçta turaların inanılmaz sıklıkta tura atılması veya tam tersi ( veya ) gibi çok olası olmayan bir olay arasındaki uzlaşmanın büyüklüğünü tanımlar . İlk durumda, bağımsızlık ihlal edilebilir, örneğin bir kafanın her zaman kuyruklar tarafından takip edilmesi gerekiyorsa ve bunun tersi de geçerlidir. O zaman yalnızca ilk rastgele atış belirleyici olacaktır ve atışların sırası ilk atışta tura ile sonuçlanacaktır , bu da uzun vadede büyüklük sırasına göre 0 olacaktır. İkinci uç durumda, aynı olasılığın koşulu ihlal edilebilir, örneğin gerçekte haksız bir madeni para var, örneğin bir olasılıkla turalar . Bu durumda , büyüklük sırasına göre, ancak uzun vadede önemli ölçüde daha yüksek olacaktır . Bu bakış açısından, bir olaylar dizisinin "rastgeleliği", sık tekrarlama yoluyla "ölçülebilir" ve gerekirse, örneğin üst uç durumlarda bir hipotez testi kullanılarak istatistiksel olarak yanlışlanabilir. ${\ displaystyle D_ {N} \ yaklaşık 0}$${\ displaystyle D_ {N} \ yaklaşık N}$${\ displaystyle D_ {N} \ yaklaşık -N}$${\ görüntü stili {\ sqrt {N}}}$${\ görüntü stili 1, -1.1, -1.1, -1.1, ...}$${\ görüntü stili {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle D_ {N} \ yaklaşık {\ tfrac {3} {4}} N - {\ tfrac {1} {4}} N = {\ tfrac {1} {2}} N}$${\ görüntü stili {\ sqrt {N}}}$

Riemann Hipotezi, asal sayıların özellikleri bakımından (dağıtım, asal çarpanlara ayırma gibi) "mümkün olduğunca rasgele" ve "mümkün olduğunca bağımsız" davrandığını belirtir. Örneğin, rasgele seçilen bir sayının çift ​​veya tek sayıda asal çarpana bölünüp bölünemeyeceği sorusu, boyutu büyütmek için “eşit olasılık” ile cevaplanmalıdır. Belirtir Liouville işlevi , değeri 1 kabul sahip olduğu bu durumda ana faktörler eşit sayıda, aksi takdirde -1, (merkezi sınır teoremi anlamında) Riemann Hipotez eşdeğerdir ${\ görüntü stili m}$${\ görüntü stili m}$${\ displaystyle \ lambda (n)}$${\ görüntü stili n}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} {\ frac {\ lambda (1) + \ lambda (2) + \ cdots + \ lambda (N)} {N ^ {{\ frac {1} {2 }} + \ varepsilon}}} = 0}$

herhangi biri için . Güç notasyonuna dikkat edilmelidir. Sayı , Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan tüm sıfırlarının bu reel kısma sahip olduğu varsayımına karşılık gelir . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N ^ {\ frac {1} {2}} = {\ sqrt {N}}}$${\ görüntü stili {\ tfrac {1} {2}}}$${\ görüntü stili {\ tfrac {1} {2}}}$

Öte yandan, Riemann Hipotezi yanlış olsaydı, asal sayı dağılımında, örneğin, asal çarpanları çift olan doğal olmayan yüksek sayıda sayı olması anlamında bir dengesizlik olurdu. 10, 14, 25, 132, 7, 8, 12, 18 ve 125 gibi tek sayıda asal çarpanı olan sayılar olarak.

anlam

Önemsiz sıfırlar ve asal sayılar

Riemann tarafından yapılan önemli bir keşif, asal sayılar ve zeta fonksiyonunun sıfırları arasındaki bağlantıydı . Çalışmasında asal sayı fonksiyonu için analitik bir ifade bulmakla ilgilendi . Başlangıç ​​noktası olarak şu formülü kullandı: ${\ görüntü stili \ pi (x)}$

${\ displaystyle \ zeta(lar) = \ prod _ {p \ \ matematik {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}},}$

temel olarak asal sayılar ve zeta işlevi arasındaki ilişkiyi destekler. Bu, logaritma alınarak ve uygun kuvvet serileri kullanılarak aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir :

${\ displaystyle \ log \ zeta (lar) = \ toplam _ {p \ \ matematik {prim}} \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} }}$

integral hakkında

${\ displaystyle p ^ {- ns} = s \ int \ limitler _ {p ^ {n}} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ matematik {d} x}$

Riemann, ifadeyi kapalı bir forma getirmeyi başardı . Bunun için, o led sayı-teorik fonksiyonu ile ${\ displaystyle \ log \ zeta(lar)}$ ${\ görüntü stili \ Pi}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ toplam _ {p ^ {n} <x} {\ frac {1} {n}} = \ toplam _ {p \ \ matematik {prim}} \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Teta (xp ^ {n})} {n}}}$

Bir, burada Birim basamak fonksiyonu simgelemektedir. Bu , 'den küçük her asal güç için kesri ekler . Basit bir örnek olurdu ${\ görüntü stili \ Teta}$${\ görüntü stili p ^ {n}}$${\ görüntü stili x}$${\ görüntü stili 1 / n}$

${\ displaystyle \ Pi (20) = \ alt destek {\ sol (1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} \ sağ)} _ {2 ^ {1}, 2 ^ {2}, 2 ^ {3}, 2 ^ {4} <20} + \ alt destek {\ sol (1 + {\ frac {1} {2}} \ sağ)} _ {3 ^ {1}, 3 ^ {2} <20} + \ alt destek {(1)} _ {5 ^ {1} <20} + \ alt destek {(1)} _ {7 ^ {1} <20} + \ alt destek {(1)} _ {11 ^ {1} <20} + \ alt destek {(1)} _ {13 ^ {1} <20} + \ alt destek {(1)} _ {17 ^ {1} <20} + \ alt destek {(1)} _ {19 ^ {1} <20} = {\ frac {115} {12}}}$

Ayrıca, bir adım işlevidir . Yani için saf bir integral ifadesi : ${\ görüntü stili \ Pi}$${\ displaystyle \ log \ zeta(lar)}$

${\ displaystyle \ log \ zeta (lar) = \ toplam _ {p \ \ matematik {prim}} \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} } = s \ toplam _ {p \ \ matematik {prim}} \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} \ int \ limitler _ {p ^ {n}} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ matematik {d} x = s \ int \ limitler _ {0} ^ {\ infty} x ^ {- s-1} \ Pi (x) \ matematik { d} x.}$

Riemann, Fourier analizinin ustasıydı ve bir sonraki dönüşümle analitik sayılar teorisinde bir dönüm noktasına ulaştı. Ters bir Mellin dönüşümü kullanarak , aşağıdakiler için analitik bir ifade çıkardı : ${\ görüntü stili \ Pi (x)}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ limitler _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ log \ zeta (lar) )} {s}} x ^ {s} \ matematik {d} s}$

biriyle . Riemann, çalışmasının sonraki adımlarında, kendi adıyla anılan Riemann fonksiyonunun ürün temsiline atıfta bulundu ve bu, şu şekilde tanımlanır: ${\ görüntü stili c> 1}$${\ görüntü stili \ xi}$

${\ displaystyle \ xi (s) = {\ frac {1} {2}} s (s-1) \ pi ^ {- s / 2} \ Gama \ sol ({\ frac {s} {2}} \ sağ) \ zeta (lar)}$

Bu çarpım gösterimi , zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan tüm sıfırları üzerinde çalışır ve sonsuza çarpanlara ayrılmış bir polinom formuna sahiptir ( sinüs veya kosinüsün çarpanlarına ayrılmasına benzer ): ${\ görüntü stili \ rho}$

${\ displaystyle \ xi (s) = \ xi (0) \ prod _ {\ rho} \ sol (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ sağ) = {\ frac {1} {2} } \ prod _ {\ rho} \ sol (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ sağ)}$

Bundan, aşağıdakiler için kelimenin tam anlamıyla önemsiz olmayan ikinci bir ifade elde edilir : ${\ displaystyle \ log \ zeta(lar)}$

${\ displaystyle \ log \ zeta (lar) = \ toplam _ {\ rho} \ log \ sol (1 - {\ frac {s} {\ rho}} \ sağ) - \ log 2- \ log \ Gama \ sol (1 + {\ frac {s} {2}} \ sağ) + {\ frac {s} {2}} \ log \ pi - \ log (s-1)}$

Riemann'ın çalışmasının son kısmı sadece bu ikinci ifadenin denklemde yerine konması ile ilgilidir. ${\ displaystyle \ log \ zeta(lar)}$

${\ displaystyle \ Pi (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int \ limitler _ {ci \ infty} ^ {c + i \ infty} {\ frac {\ log \ zeta (lar) )} {s}} x ^ {s} \ matematik {d} s.}$

Zorlu değerlendirmeye rağmen Riemann sonuca ulaştı

${\ displaystyle \ Pi (x) = \ matematik {Li} (x) - \ toplam _ {\ rho} \ matematik {Li} (x ^ {\ rho}) - \ log 2+ \ int \ limitler _ {x } ^ {\ infty} {\ frac {\ matematik {d} t} {t (t ^ {2} -1) \ günlük t}},}$

burada bir entegre logaritma . ve arasındaki bağlantıyla , Möbius tersine çevrilmesinden ( Möbius işleviyle ) çıkarsanan , yani ${\ displaystyle \ operatöradı {Li} x = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {\ matematik {d} t} {\ log t}}}$ ${\ görüntü stili \ mu (n)}$${\ görüntü stili \ pi (x)}$${\ görüntü stili \ Pi (x)}$

${\ displaystyle {\ pi (x) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ Pi (x ^ {1 / n}) = \ Pi (x) - {\ frac {1} {2}} \ Pi (x ^ {1/2}) - {\ frac {1} {3}} \ Pi (x ^ {1/3}) - { \ frac {1} {5}} \ Pi (x ^ {1/5}) + {\ frac {1} {6}} \ Pi (x ^ {1/6}) - \ noktab},}$

zeta fonksiyonunun asal sayıları ve sıfırları arasında derin bir bağlantı oluşturuldu.

Not: Riemann formülü ile sayısal bir hesaplamada , toplamdaki ifade , (karmaşık) integral üstel fonksiyonun ifade ettiği yerde , ile değiştirilmelidir , çünkü karmaşık logaritmanın ana dalı üzerinden değerlendirme yapıldığında her zaman geçerli değildir ve bu nedenle sonuç tahrif olurdu. ${\ görüntü stili \ pi (x)}$${\ displaystyle \ matematik {Li} (x ^ {\ rho})}$${\ displaystyle \ matematik {Ei} (\ rho \ log x)}$${\ displaystyle \ matematik {yumurta} (x)}$${\ görüntü stili x ^ {\ rho}}$${\ displaystyle \ log x ^ {\ rho} = \ rho \ log x}$

çıkarımlar

Örneğin, Riemann Hipotezinden, asal sayı teoremindeki terimin geri kalanının bir tahmini aşağıdaki gibidir ( Helge von Koch 1901):

${\ displaystyle \ pi (x) = \ matematik {Li} \, x + {\ matematik {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log x)}$

Koch'un sonucu Riemann Hipotezine eşdeğerdir. olarak da yazılabilir

${\ displaystyle | \ pi (x) - \ matematik {Li} \, x | <K {\ sqrt {x}} \ cdot \ log x}$

sabit için ve biraz daha zayıf bir formdur${\ görüntü stili K> 0}$

${\ displaystyle \ pi (x) = \ matematik {Li} \, x + o (x ^ {{\ frac {1} {2}} + \ varepsilon})}$

herhangi biri için . ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

Analitik sayı teorisinin diğer birçok sonucu, aynı zamanda kriptografide önemli olan hızlı asallık testleri için olanlar , şimdiye kadar sadece Riemann hipotezi varsayılarak kanıtlanabilir veya gerçekleştirilebilir. Michael Berry'nin yazdığı gibi, zeta fonksiyonunun karmaşık sıfırları , asal sayı teoremi tarafından tanımlanan asal sayıların kaba asimptotik logaritmik dağılımı etrafındaki dalgalanmaları kodlar. Kesin dağılımı biliyorsanız, bir alanda kaç tane asal sayı bulunma olasılığı hakkında da daha kesin ifadeler yapabilirsiniz.

Birçok matematikçinin bu kadar yoğun bir şekilde bir çözüm aramasının gerçek nedeni, bunun Riemann'ın ünlü denemesindeki henüz kanıtlanmamış son ifade olması gerçeği dışında, aksi halde çok kaotik bir işlevin (e. B. Voronin'in evrensellik teoremi : zeta) olmasıdır. fonksiyonu, 1/4 yarıçaplı bir daire içinde herhangi bir analitik sıfır olmayan fonksiyona keyfi olarak yaklaşabilir) muhtemelen temel bir teorinin buzdağının ucunu gizler, tıpkı Fermat varsayımının modül fonksiyonları tarafından gizlenen eliptik eğrilerin parametreleştirilmesini gizlemesi gibi , Langlands programı .

Öykü

Riemann Hipotezinden 1859 gibi erken bir tarihte Bernhard Riemann tarafından analitik sayılar teorisinin temellerini atan ünlü bir makalede bahsedilmiştir . Bunu yaparken, Carl Ludwig Siegel'in 1930'larda öğrendiği gibi, "kesin kanıtlar arzu edilir olsa da, birkaç kısa denemeden sonra, araştırmasının bir sonraki amacı için gereksiz olacağından, geçici olarak araştırmayı bıraktığını" yazdı. Riemann'ın mülkünü incelerken. Bunun ötesinde, yayınlanmamış yazılarında hiçbir şey bulunamadı. Matematikçi ve matematikçi Harold Edwards, Riemann'ın önemli sayısal kanıtlar olmadan varsayımına nasıl varabileceğine dair bazı spekülasyonlar formüle etti.

1903'te Jørgen Pedersen Gram , kritik aralıktaki ilk 15 sıfır için sayısal yaklaşımlar yayınladı . Daha sonra bulunan ve sayısı 1980'lerin başında 100 milyonu aşan tüm diğer sıfırlar gibi, Riemann Hipotezini destekliyorlar (ama kanıtlamıyorlar). 2001 yılında, karmaşık zeta fonksiyonunun ilk on milyar sıfırının hepsinin Riemann Hipotezini karşıladığı anabilgisayarların yardımıyla gösterildi, yani. yani, hepsi gerçek kısım ile düz bir çizgi üzerindedir . ${\ görüntü stili 1/2}$

Sayısal aramada bir başka kilometre taşı da Ağustos 2001'de başlayan Zeta-Grid projesi oldu. Binlerce internet kullanıcısının yer aldığı dağıtık hesaplama yöntemi sayesinde üç yıl sonra 1 trilyon civarında sıfır bulundu. Proje o zamandan beri durduruldu.

İki Fransız matematikçi Gourdon ve Demichel , 2004 yılında Odlyzko ve Schönhage yöntemiyle yeni bir deney başlattılar ve Ekim 2004'te bir karşı örnek bulamadan ilk 10 trilyon sıfırı kontrol ettiler . Tüm hesaplamalar sayısal yöntemler olmasına rağmen, incelenen sıfırların kritik düz çizgi üzerinde olduğunu sadece yaklaşık olarak değil tam olarak gösterirler.

Birçok ünlü matematikçi Riemann Hipotezini denedi. Jacques Hadamard , 1896'da , asal sayı teoremini kanıtladığı Sur la dağıtım des zéros de la fonction ζ (s) et ses conéquences aritmétiques adlı çalışmasında , daha fazla ayrıntılandırmadan , o zaman yakın zamanda ölen Stieltjes'in Riemann Hipotezini yayınlamadan kanıtladığını iddia etti. kanıt. 1885'te Stieltjes, Académie des sciences'ın Compte Rendu'daki bir makalesinde , Riemann hipotezinin takip ettiği Mertens fonksiyonunun asimptotik davranışı hakkında bir teoremi kanıtladığını iddia etti (aşağıya bakınız). Ünlü İngiliz matematikçi Godfrey Harold Hardy örnek alarak bulduğu delilleri olduğunu iddia ettiği kötü hava, İngiliz Kanalını geçmeden önce bir telgraf göndermek için kullanılan Fermat , onun sahip olduğu bir kitabın kenarında nesillere aktarılır, çünkü tahmini, ne yazık ki kenara sığmayacak kadar uzun bir kanıt. Meslektaşı John Edensor Littlewood , 1906'da Cambridge'de öğrenciyken, bir fonksiyon-teorik problem olarak Riemann hipotezini , asal sayı dağılımıyla herhangi bir bağlantısı olmaksızın , profesörü Ernest William Barnes'dan bile aldı - Littlewood bu bağlantıyı kendisi keşfetmek zorunda kaldı ve kanıtladı. Asal sayı teoreminin Hipotezden türediği burs tezi aşağıdaki gibidir, ancak bu Avrupa kıtasında uzun süredir bilinmektedir. A matematician's miscellany adlı kitabında kabul ettiği gibi , bu, o zamanlar İngiltere'deki matematiğin durumuna iyi bir ışık tutmadı. Littlewood kısa süre sonra Riemann hipotezi ile bağlantılı olarak analitik sayılar teorisine önemli katkılarda bulundu. Sorun tarafından 1900 yılında ilan edilen David Hilbert yaptığı içinde 23 matematik problemlerinin listesinin bir şekilde sorunu Hilbert kendisi daha o kadar az zor sınıflandırılan örneğin, Fermat problemi sayede yüzyılda,: 1919 yılında bir konferansta o umut olduğunu ifade Fermat varsayımı durumunda, belki de en genç izleyicinin yaşamı boyunca, yaşamı boyunca hala kabul edilebilecek bir kanıt bulunacaktır; Sorunlar listesindeki en zoru aşkınlığın kanıtını buldu - 1930'larda Gelfond ve Theodor Schneider tarafından çözülen bir sorun . Hilbert'in listesindeki sorunların çoğu şimdi çözüldü, ancak Riemann Sanısı tüm girişimlere dayandı. 20. yüzyılda Riemann Hipotezi için kanıt bulunamadığından, Clay Mathematics Institute bu projeyi 2000 yılında yine en önemli matematik problemlerinden biri olarak ilan etmiş ve özel bir kanıtla kesin kanıt için bir milyon ABD doları fiyat teklif etmiştir. karşı örnekler için düzenleme.

Diğer zeta fonksiyonları için Riemann varsayımına benzer varsayımlar da vardır, bunların bazıları sayısal olarak da iyi desteklenmiştir. Cebirsel çeşitlerin zeta fonksiyonu (fonksiyon alanları durumu) durumunda, karmaşık sayılar üzerinde varsayım, 1930'larda eliptik eğriler için Helmut Hasse ve 1940'larda André Weil tarafından Abelian çeşitleri ve cebirsel eğriler için yapılmıştır. ayrıca sonlu alanlar üzerinde) kanıtladı. Weil ayrıca , sonlu alanlar üzerindeki cebirsel çeşitler (ayrıca eğrilerden daha yüksek boyutlar) için Riemann hipotezinin bir benzerini de içeren Weil varsayımlarını formüle etti . Kanıt, 1970'lerde Grothendieck Okulu'nda modern cebirsel geometri yöntemlerinin geliştirilmesinden sonra Pierre Deligne tarafından sağlandı.

Kanıt veya çürütme için daha yeni girişimler

1945'te Hans Rademacher , bu varsayımı çürüttüğünü iddia etti ve ABD'de büyük bir heyecan yarattı. American Mathematical Society'nin İşlemlerinde yayınlanmadan kısa bir süre önce , Carl Ludwig Siegel bir hata buldu. Alan Turing de varsayımın yanlış olduğu konusunda hemfikirdi. Zeta fonksiyonunun sıfırlarının hesaplanması üzerinde yoğun bir şekilde çalıştı ve Bletchley Park'taki deşifre çalışmasına dahil olmadan kısa bir süre önce, en az bir varsayımsal (ve dolayısıyla çürüten) sıfır bulmasına yardımcı olacak mekanik bir makine yapmaya çalıştı .

Louis de Branges de Bourcia bu sorunla onlarca yıl uğraştı. 1985'te ( Bieberbach varsayımının ispatından kısa bir süre sonra ) , Peter Sarnak'ın bir hata bulduğu tüm fonksiyonların Hilbert uzayları teorisine dayanan bir ispat sundu . 1989'da Henri Poincare Enstitüsü'ndeki bir dizi konferans vesilesiyle, kendisinin de kısa sürede kusurlu olduğunu kabul ettiği başka kanıtlar sundu . 2004'te eleştirel olarak incelenen yeni bir kanıt parçası yayınladı. Ancak yıllar önce Eberhard Freitag , kanıtlarda ileri sürülen bir iddia için bir karşı örnek vermişti, böylece kanıtlar şimdi yanlış olarak görülüyor.

Genelleştirilmiş Riemann Hipotezi

Aşağıdaki onaylama genellikle adlandırılır bir şekilde genel ya da genel Riemann Hipotez :

Analitik devam dirichlet seriler herhangi Dirichlet karakteri ( seri) ${\ görüntü stili \ chi}$${\ görüntü stili L}$

${\ displaystyle L (s, \ chi) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}},}$

kritik şeritte düz çizgide sadece sıfır var${\ displaystyle 0 \ leq \ operatöradı {Re} (s) \ leq 1}$${\ displaystyle \ operatöradı {Re} (s) = {\ tfrac {1} {2}}.}$

Genelleştirilmiş Riemann Hipotezinden, özel bir durum olarak Riemann Hipotezi gelir . Andrew Granville, (güçlü) Goldbach hipotezinin esasen genelleştirilmiş Riemann hipotezine eşdeğer olduğunu gösterebildi .${\ görüntü stili \ chi = 1}$

Selberg sınıfının L fonksiyonlarının genelleştirilmiş bir versiyonu için bkz. L-fonksiyonu .

İlgili varsayımlar ve eşdeğer formülasyonlar

Analitik sayı teorisinde Riemann varsayımıyla ilgili başka varsayımlar da vardır. Mertens Hipotez diyor

${\ displaystyle \ sol | M (n) \ sağ | = \ sol | \ toplam _ {k = 1} ^ {n} \ mu (k) \ sağ | <{\ sqrt {n}}}$

herkes için . İşte Möbiüs fonksiyonu ve sözde Mertens fonksiyonu. Mertens Hipotezi, Riemann Hipotezinden daha güçlüdür, ancak 1985'te çürütülmüştür.${\ görüntü stili n> 1}$${\ görüntü stili \ mu}$${\ görüntü stili M}$

Arnaud Denjoy'un Riemann Hipotezinin olasılıksal yorumu bununla ilgilidir . Olsun (1, -1) değerlerin rasgele dizisi (aynı olasılığına sahip olduğu), daha sonra her biri için (kullanarak toplamı için Landau semboller ) ${\ görüntü stili \ mu (k)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

${\ displaystyle \ sol | M (x) \ sağ | = \ sol | \ toplam _ {k \ leq x} \ mu (k) \ sağ | \ {\ matematiksel {O}} (x ^ {1/2) + \ varepsilon}),}$

yani 0 ortalama değerinden sapma miktarı asimptotik olarak en fazla . Möbius fonksiyonu yerine konulursa , Riemann hipotezi, bu asimptotik büyüme davranışının bunların toplamları için de geçerli olduğu (Mertens fonksiyonu) ifadesine eşdeğerdir (Littlewood 1912). Riemann hipotezi daha sonra Möbius fonksiyonunun dağılımının (yani, çift asal çarpanı olmayan sayıların çift veya tek sayıda asal çarpanı olup olmadığı) tamamen rastgele olduğu şeklinde yorumlanabilir. ${\ displaystyle x ^ {1/2 + \ varepsilon}}$${\ görüntü stili \ mu}$

Daha önce belirtildiği gibi, Helge von Koch'a göre Riemann Hipotezinden , asal sayı teoreminin hata teriminin büyümesi için sınırlar vardır . Ancak von Koch'un sonucu da Riemann hipotezine eşdeğerdir. son

${\ displaystyle \ sol | {\ pi (x) - \ operatöradı {Li} (x)} \ sağ | \ in {\ matematik {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log x)}$

Riemann hipotezini takip eder.

Asal sayı teoremine asimptotik bir hata terimine benzer bir biçimde, Riemann varsayımı Mangoldt fonksiyonu veya toplamı yardımıyla da ifade edilebilir :${\ displaystyle \ Lambda (i)}$${\ görüntü stili \ psi (x)}$

${\ displaystyle \ psi (x) = \ toplam _ {i = 1} ^ {x} \ Lambda (i) = x + {\ matematik {O}} ({\ sqrt {x}} \ cdot \ log ^ { 2 } x),}$

asal sayı teoreminin eşdeğer olduğu yerde

${\ görüntü stili \ psi (x) = x + {\ matematiksel {O}} (x)}$

NS. Bundan, Riemann varsayımına eşdeğer başka bir varsayım elde edilebilir: Aşağıdakiler tümü için geçerlidir: ${\ displaystyle N \ geq 100}$

${\ displaystyle | \ log \ operatöradı {kgV} (1,2, \ dotsc, N) -N | \ leq {\ sqrt {N}} \ cdot \ log ^ {2} N}$

en küçük ortak katı ile . ${\ displaystyle \ operatör adı {kgV}}$

Lindelöf hipotezi kritik hattı boyunca, zeta-fonksiyon organizasyonu Riemann hipotezi daha zayıf, ama yine de kanıtlanmamıştır.

1916'da Marcel Riesz , Riesz fonksiyonunun asimptotik davranışı hakkında bir varsayımın denkliğini gösterdi. Jérôme Franel , 1924'te Farey serisiyle ilgili bir ifadeye denk olduğunu kanıtladı . Bu, ondalık kesirlerden sonraki (0.1) aralığındaki rasyonel sayıların doğrusal biçimde düzenlenmesi ile Farey dizilerindeki düzenlemenin, iyi tanımlanmış bir matematiksel anlamda mümkün olduğunca farklı olduğunu açıkça belirtir .

2002'de Jeffrey Lagarias , Riemann varsayımına eşdeğer bir temel sayı teorisi varsayımı ortaya koydu:

${\ displaystyle \ sigma (n) <H_ {n} + \ matematik {e} ^ {H_ {n}} \ günlük {H_ {n}}}$

herkes için . Öyle bölücü toplamı içinde ve inci harmonik sayı . ${\ görüntü stili n> 1}$${\ görüntü stili \ sigma (n)}$${\ görüntü stili n}$${\ displaystyle H_ {n} = 1 + {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}} + \ dotsb + {\ tfrac {1} {n}}}$${\ görüntü stili n}$

1958'de Liouville fonksiyonu ile oluşturulan bir dizi hakkında reddedilen bir varsayım da Riemann varsayımıyla sonuçlanabilirdi.

Fizikten kanıt fikirleri

Varsayımları kanıtlamak için yeni fikirler fizikten geldi. David Hilbert ve George Polya , sıfırlar bir operatörün özdeğerleri olsaydı, Riemann hipotezinin izleyeceğini zaten fark etmişti , burada bir Hermitian (yani kendine eşlenik) operatördür, bu nedenle sadece Hamilton operatörlerine benzer şekilde gerçek özdeğerlere sahiptir . Kuantum mekaniği. 1970'lerde Hugh Montgomery , Freeman Dyson ile yaptığı bir konuşmada, ardışık sıfırlar arasındaki mesafelerin dağılımının , Andrew Odlyzko'nun sayısal olarak onayladığı Hermitian rastgele matrislerinin ( Gauss üniter topluluğu , GUE) özdeğerlerine benzer bir dağılım gösterdiğini öğrendi. hesaplamalar. 1990'larda, Michael Berry gibi fizikçiler , örneğin kuantum kaos teorisinde, böyle bir temel sistem aramaya başladılar . Bu düşünceleri daha fazla desteklemek için, Riemann zeta fonksiyonu teorisindeki bir "açık formüller" analojisinde Selberg - bir Riemann yüzeyindeki Laplace-Beltrami operatörünün özdeğerlerinin kapalı jeodezik uzunlukları ile ilişkili olduğu izleme formülü , ve Gutzwiller kuantum kaos teorik olarak formül iz. Bu, kaotik bir klasik sistemin kuantum mekanik versiyonunun özdeğerlerini (enerjilerini), klasik durumda periyodik yörüngelerin uzunluklarıyla birleştirir. Tüm bu iz formülleri, ilgili sıfırların toplamları, yörünge periyodu uzunlukları, özdeğerler vb. arasındaki özdeşliklerdir. ${\ görüntü stili ({\ tfrac {1} {2}} + iT)}$${\ görüntü stili T}$

1996'da Fields Madalya Ödülü sahibi Alain Connes tarafından adlandırılan bir operatör "neredeyse" uyuyor. Ancak Connes, kritik düz çizginin dışında başka sıfırların varlığını henüz dışlayamadı.

Fizikten Riemann Hipotezi ile bağlantılı olarak tartışılan bir başka fikir, istatistiksel mekanik modellerinde analitik olarak komplekse devam eden durumların toplamının “Yang-Lee sıfırları” dır . Mark Kac, Chen Ning Yang ve Tsung-Dao Lee'ye işaret ettikleri zeta fonksiyonu teorisinden George Polya'nın bir sonucunu kullanarak , bazı modellerde sıfırların bir daire üzerinde, diğer modellerde bir üzerinde olduklarını kanıtladılar . Düz çizgiler. Sıfırların konumu, kritik düz çizgi üzerindeki sıfırların asal sayıların ince dağılımını nasıl kontrol ettiğine benzer şekilde faz geçişlerindeki davranışı belirler.

Tüm bu fikirler, basitleştirilmiş biçimde aşağıdaki gibi tanımlanabilecek bir analojiye dayanmaktadır: Asal sayılar, çarpma yoluyla etkileşime giren ve böylece birleşik sayıları oluşturan "temel parçacıklardır". Aynı zamanda "parçacıklar" eklenerek düzenlenir. Zeta fonksiyonunda her iki yön de (toplamsal/doğal sayılar ve çarpımsal/asal sayılar) bir toplam veya ürün formülü şeklinde birbiriyle birleştirilir.

2009 yılında Freeman Dyson tarafından Riemann Hipotezinin tek boyutlu yarı kristallerle bağlantısı önerildi.

Ayrıca bakınız

• Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırlarının listesi
• Riemann-Siegel teta işlevi

Edebiyat

• Marcus du Sautoy : Asal sayıların müziği. Matematikteki en büyük bulmacanın izinde. dtv / CH Beck, Münih 2003 ve 2004, ISBN 3-423-34299-4 (karine tarihinin popüler temsili).
• Barry Mazur , William Stein : Asal Sayılar ve Riemann Hipotezi. Cambridge University Press, 2015, ISBN 978-1-107-49943-0 , (PDF; 7.6 MB). ( Memento 15 Eylül 2013 yılında Internet Archive ).
• John Derbyshire : Birincil takıntı - Bernhard Riemann ve Matematikteki çözülmemiş en büyük problem. Washington 2003, ISBN 0-309-08549-7 .
• Andrew Granville : Goldbach Varsayımının İncelikleri ve genelleştirilmiş Riemann hipotezi . İçinde: Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici . kaset 37 , hayır. 1 . Adam Mickiewicz Üniversitesi Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Fakültesi, Poznan 2007, s. 159-173 ( umontreal.ca [PDF; 184 kB ]). 
• Harold Edwards : Riemann'ın Zeta Fonksiyonu. New York 1974, Dover 1991, ISBN 0-486-41740-9 .
• Karl Sabbagh: Dr. Riemann'ın sıfırları. Atlantik kitapları, 2002.
• Edward Charles Titchmarsh : Riemann Zeta Fonksiyonunun Teorisi. Heath-Brown tarafından yapılan değişiklikler. Oxford 1987, ISBN 0-19-853369-1 .
• P. Borwein , S. Choi, B. Rooney, A. Weirathmueller: Riemann hipotezi. Hem meraklılar hem de virtüözler için bir kaynak. (Matematikte CMS Kitapları 27) Kanada. Matematik Soc., Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-0-387-72125-5 .
• Julian Havil : Gama - Euler'in sabiti, asal sayılar ve Riemann hipotezi. Springer Verlag, 2007.
• Jürg Kramer : Riemann Hipotezi. İçinde: Matematik Unsurları. Cilt 57, 2002, s. 90-95. hu-berlin.de. (PDF; 400 kB).
• Dan Rockmore: Riemann Hipotezini Takip Etmek . Panteon Kitapları, 2005.
• Kevin Broughan: Riemann Hipotezinin Eşdeğerleri. 2 cilt, Cambridge University Press, 2017.

İnternet linkleri

• ZetaGrid projesi. ( Memento 5 Ocak 2014 yılında Internet Archive ).
• Riemann zeta fonksiyonunun grafikleri. ( Memento web arşivi Ocak 6, 2013 archive.today ). Matematik çevrimiçi sözlüğü, Uni Stuttgart ve Uni Ulm.
• Riemann zeta fonksiyonunun grafiği (animasyon)
• Christopher Deninger: Asal Sayılar ve Riemann Hipotezi. ( Memento 1 Haziran 2010 tarihinden itibaren de Internet Archive ). (PDF; 350 kB).
• Alain Connes : Riemann Hipotezi Üzerine Bir Deneme , 2015, Arxiv
• Xavier Gourdon: Riemann Zeta fonksiyonunun ilk 10 ^ 13 sıfırı ve çok büyük yükseklikte sıfırların hesaplanması. (PDF; 413 kB).
• Matthew Watkins: Fizikle ilgili web siteleri. Çok sayıda iyi bağlantı.
• Riemann'ın çalışmasının bir kopyası ve Bombieri'nin açıklaması ile Riemann Hipotezi için Kil Matematik Enstitüsü .
• Eric W. Weisstein : Riemann Hipotezi . İçinde: MathWorld (İngilizce).
• Peter Sarnak : Riemann Hipotezi üzerine inceleme makalesi (PDF; 150 kB; İngilizce).
• J. Brian Conrey , David W Farmer: Sayfa artık mevcut değil , web arşivlerinde arama yapın: Riemann hipotezinin eşdeğerleri. (PDF; İngilizce).@1@ 2Şablon: Ölü Bağlantı / www.docin.com
• Gleb Beliakov, Yuri Matiyasevich : 40000 ondalık basamak doğruluğu ile kritik satırda Riemann'ın zeta fonksiyonunun sıfırları .
• 3Blue1Brown: Riemann zeta fonksiyonunun görselleştirilmesi ve analitik devam. adresinde : youtube.com. 9 Aralık 2016, videoyu yükleyin (22:10).
• Weitz / HAW Hamburg : Riemann Hipotezi (Noel Dersi 2016). adresinde : youtube.com. 12 Mayıs 2017, videoyu yükleyin (1:44:47) (de).

Bireysel referanslar ve yorumlar

1. ↑ Carl Friedrich Gauss Werke , İkinci Cilt, Royal Society of Sciences tarafından Göttingen'de yayınlandı, 1863, (mektup) , s. 444-447.
2. ↑ Burada kullanılan Bernoulli sayılarının tanımı için aşağıdakiler geçerlidir:

   ${\ displaystyle B_ {0} = 1, \; B_ {1} = - 1/2, \; B_ {2} = 1/6, \; B_ {3} = 0, \; B_ {4} = - 1/30, \; B_ {5} = 0, \ noktalı}$

3. ↑ ^{a b} Bernhard Riemann: Belirli bir boyuttaki asal sayıların sayısı hakkında . 19 Ekim 1859. İçinde: Berlin'deki Kraliyet Prusya Bilimler Akademisi'nin aylık raporları. 1860, s. 671-680.
4. ^ Örneğin, Terry Tao'nun blogu: Karmaşık analitik çarpımsal sayı teorisi.
5. ↑ ile

   ${\ displaystyle \ zeta(lar) = \ prod _ {p \ \ matematik {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

   takip eder

   ${\ displaystyle \ log \ zeta (lar) = \ log \ prod _ {p \ \ matematik {prim}} {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ toplam _ {p \ \ matematik {prim}} \ günlük {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$.

   Şimdi

   ${\ displaystyle \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ log {\ frac {1} {(1 + p ^ {- s / 2}) (1-p ^ { -s / 2})}} = \ log 1- \ log (1 + p ^ {- s / 2}) - \ log (1-p ^ {- s / 2})}$.

   Olduğu için, kalan iki logaritmanın kuvvet serisine ihtiyaç vardır, yani ${\ görüntü stili \ günlük 1 = 0}$

   ${\ displaystyle - \ log (1 + p ^ {- s / 2}) = - \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ tfrac {p ^ { -ns / 2}} {n}} = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}}}$

   ${\ displaystyle - \ log (1-p ^ {- s / 2}) = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}}}$.

   Birleştirilen iki güç serisinin toplamı, yalnızca çift sayılı güçlerle sonuçlanır , bu nedenle bu geçerlidir ${\ görüntü stili n}$

   ${\ displaystyle \ log {\ frac {1} {1-p ^ {- s}}} = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ tfrac {p ^ {-ns / 2}} {n}} + \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns / 2}} {n}} = 2 \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- 2ns / 2}} {2n}} = \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ tfrac {p ^ {- ns}} { n}}}$

   ve sonunda istediğiniz ifadeyi elde edersiniz:

   ${\ displaystyle \ log \ zeta (lar) = \ toplam _ {p \ \ matematik {prim}} \ toplam _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {p ^ {- ns}} {n} }.}$

6. ^ Helge von Koch: İlk dağıtım des nombres. Açta Mathematica, Cilt 24, 1901, sayfa 159-182.
7. ↑ Koch'un sonucundan türetilebilir , ancak tersi olamaz.
8. ^ Siegel: Riemann'ın analitik sayılar teorisi hakkındaki makaleleri hakkında. İçinde: Matematik Tarihi Çalışmaları Astron. ve fizik. B Bölümü: Çalışmalar, Cilt 2, 1932, s. 45-80.
   Siegel: Toplu İncelemeler. Cilt 1, Springer Verlag, 1966.
9. ^ Laugwitz: Bernhard Riemann. 1996, s. 178.
10. ^ HM Edwards: Riemann'ın Zeta Fonksiyonu. Dover, ISBN 978-0-486-41740-0 , s. 164-166.
11. ↑ Gram: Riemann'ın en eski hali . ${\ görüntü stili \ zeta(lar)}$İçinde: Acta Mathematica. Cilt 27, 1903, s. 289-304.
12. ^ Sıfırlarla ilgili hesaplamalar. Bölüm 15. İçinde: Titchmarsh: Riemann Zeta fonksiyonunun Teorisi.
13. ^ Jacques Hadamard: İşlevlerin sıfırlanmasının en iyi dağılımı. İçinde: Bulletin de la Société Mathématique de France. 24, 1896, sayfa 199-220. (PDF; 1.3 MB), orada s. 199 ve devamı.
14. ↑ Stieltjes'in malikanesinde bu delile dair hiçbir kanıt yoktu. Derbyshire: Birincil Takıntı. S. 160 f. Mertens varsayımı bu arada çürütülmüştür.
15. ↑ 143 yıllık problem hala matematikçiler tarafından tahmin ediliyor. İçinde: New York Times . Anekdot Constance Reid'in Hilbert biyografisinde de bulunabilir.
16. ↑ Öte yandan Hilbert'e, 1000 yıllık uykudan sonra uyanırsa ilk sorusunun Riemann hipotezinin çözülüp çözülmeyeceği olacağı şeklindeki belki de uydurma bir söz atfedilir. Borwein ve diğerleri: Riemann Hipotezi. S.58 (kaynak belirtmeden).
17. ↑ Du Sautoy: Asal Sayıların Müziği. s. 147.
18. ↑ Resmi web sitesinden Binyıl Ödülü Kuralları
19. ↑ Kanıtlarının tarihi, Karl Sabbagh tarafından Dr. Riemann'ın Sıfırları gösterilir.
20. ^ ^{A b} Granville: Goldbach Sanısını Ayrıntılandırmaları. Bibliyografyaya bakınız .
21. ↑ Weitz / HAW Hamburg: Matematik, aritmetikten daha fazlasıdır - örnek: YouTube'daki Mertens hipotezi , 22 Mart 2020'de erişildi.
22. ↑ AM Odlyzko, HJJ te Riele: Mertens varsayımının çürütülmesi. İçinde: J. reine angew. Matematik Cilt 357, 1985, s. 138-160.
    Andrew Odlyzko: Riemann Zeta Fonksiyonunun Sıfırları ve İlgili Konular Üzerine Makaleler.
23. ↑ Zevk : L'Hypothése de Riemann sur la dağıtım des zéros de , théorie des olasılıklara göre güven. ${\ görüntü stili \ zeta(lar)}$İçinde: Comptes Rendus Acad. sc. Cilt 192, 1931, s. 656-658. Edwards: Riemann'ın Zeta Fonksiyonu. 1974, s. 268. Edwards bu yorumla ilgili olarak şu yorumu yapar: “… dikkatle düşünüldüğünde oldukça saçma olsa da, Riemann hipotezine kısacık bir akla yatkınlık verir”.
24. ↑ Littlewood: Quelques sonuçlarını de l'Hypothese que la Fonction n'a pas de sıfırları dans le demi plan${\ görüntü stili \ zeta(lar)}$${\ displaystyle \ operatöradı {Re} (s)> {\ frac {1} {2}}.}$ : In Comptes Rendus. Cilt 154, 1912, s. 263-266. Edwards, mahal. cit. S. 261. Littlewood, Riemann hipotezinin aşağıdaki ifadeye eşdeğer olduğunu daha kesin bir şekilde kanıtladı: For Her yakınsama için sıfıra karşı .${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle M (x) x ^ {- {\ frac {1} {2}} - \ varepsilon}}$${\ görüntü stili x}$${\ displaystyle \ elli}$
25. ^ Edwards: Riemann'ın Zeta işlevi. Bölüm 5.
26. ↑ Eric W. Weisstein : Mangoldt işlevi . İçinde: MathWorld (İngilizce).
27. ^ Andrew Granville , Princeton Companion to Mathematics'de. Bölüm IV.2.
28. ↑ Lagarias: Riemann hipotezine eşdeğer bir temel problem. In: American Mathematical Monthly. Cilt 109, 2002, s. 534-543.
29. ^ Alain Connes: Değişmeli olmayan geometride iz formülü ve Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları. 10 Kasım 1998.
30. ↑ Freeman Dyson: Kuşlar ve Kurbağalar. İçinde: Bildirimler AMS. 2009. (PDF; 800 kB).