Vogel'in kil ağı
Vogelsche Tonnetz grafik ve ses kaynağının matematiksel temsilidir saf ayar edilmiştir, teklif edilen müzik teorisyeni tarafından Martin Vogel eserinde "Ton İlişkiler Doktrini" 1976. Grafik temsil, Euler'in ton ağına dayanmaktadır , bu sayede mükemmel beşte ve saf üçte olmak üzere iki boyuta saf yedili ( doğal yedili ) için üçüncü bir boyut eklenir. Her şeyden önce, akorları ve akor ilişkilerini görüntülemek ve analiz etmek için kullanılır. Dört boyutlu matematiksel gösterim, kullanılan ton setine bağlı olarak akorların aşırı ton uyumunun değerlendirilmesini ve dolayısıyla belirli bir akor için optimum ton seti hakkındaki ifadeleri sağlar.
Grafik gösterimi
Ton ağının grafik temsili, beşte, üçte ve yedide üç boyutla sınırlıdır. Bu gösterimde, oktavla ilgili tonlar aynı düğümlerde gösterilir. Şekil, Batı müziğinde istatistiksel olarak en yaygın dört notalı akorun, yedinci akorun , iki boyutlu Euler'in ton ağında beşte ve üçte oluşan bir B ile ve doğal bir Vogelian ton ağında temsilini göstermektedir. yedinci .
Yedinci akor
Euler'in kil ağında tasvir
Vogel'in kil ağında tasvir
Doğal septime ile üç boyutlu ton ağındaki temsil, bu dört tonlu gösterimin istatistiksel baskınlığını iki boyutlu gösterime göre çok daha makul gösterir: Açık bir referans notu (C) vardır ve diğer tüm tonlardan basit bir sonuç olarak görülebilir (yani: birkaç aralıktan birleştirilmez) Aralık sonuçları: beşinci yukarı, üçüncü yukarı, yedinci yukarı.
Matematiksel gösterim
Vogel'in ton ağındaki ton ilişkilerinin matematiksel temsili, oktavlar da hesaba katıldığı için dört boyutludur . Her ton, ton ağında tanımlı bir başlangıç noktasından bu tona ulaşmak için kaç oktav, "beşte", "üçte biri" ve "yedide biri" gerektiğini belirten dörtlü bir sayı ile temsil edilir (burada "beşte", "Üçte" "ve" Yedinci ", 3/2, 5/4 ve 7/4 aralıkları için değil, 3, 5 ve 7 asal sayılarını ifade eder. Örneğin, yukarıda c ', e', g 've b' notalarıyla gösterilen C majör yedinci akoru (majör oktavın C'sinden bakıldığında) 4, 5, 6 ve 7 sayılarıyla ve dolayısıyla dörtlüler (2nd, 0,0,0), (0,0,1,0), (1,1,0,0) ve (0,0,0,1) gösterilebilir. Dörtlü gösterim bu nedenle ilk dört asal sayı için akor açıklamasında yer alan sayıların asal çarpanlara ayrılmasını temsil eder .
Vogel benimser Arthur von Oettingen en çift tonlu sistemini hangi, majör ve minör akorları karşılıklı ayna görüntüler olarak yorumlanır. Bu görüşü, ünsüzlük (veya daha doğrusu uyumsuzluk) değerlerinin nicel bir hesaplamasını içerecek şekilde genişletir .
Bunu yapmak için, akorda bulunan tüm tonların kesintisiz tamsayı ilişkilerinde olduğu, akorda zorunlu olarak mevcut olmayan sanal referans tonları sunar. Ton şebekesinde temsil edilen her akor için, düşük bir referans tonu (tüm tonlar bu referans tonunun frekansının katları olarak gösterilebilir) ve yüksek bir referans tonu (her bir akor tonu için referans tonu bir integral olarak temsil edilebilir) frekansının katı). Dörtlü notasyonda, bir akor, bu nedenle, akor tonlarını tanımlayan dörtlülerdeki üst referans tonuyla ilişkili olarak yalnızca pozitif değerleri ve alt referans tonuyla ilişkili olarak yalnızca negatif değerleri içerir. Akor tonları ile referans tonları arasındaki ilişkinin açıklamasında yer alan tüm asal sayılar ağırlıklı olarak toplanır. Vogel 2, 3, 5 ve 7 asal sayıları için 1, 3, 5 ve 7 ağırlıklarını önerir. Asal sayı 2'nin de kendi sayısal değeriyle ağırlıklandırıldığı daha bariz varyant, Vogel tarafından reddedilir çünkü bu, ona göre dinleme deneyimiyle eşleşmeyen sonuçlara yol açar. Daha sonra asal ağırlıkların toplamı, akordaki tonların sayısına bölünür. Bu hesaplama hem üst hem de alt referans tonu için yapılır. Bu iki sayısal değerden daha küçük olanı, bunun bir üst ses mi yoksa bir alt ses mi olduğuna karar verir.
Kesikli oktavdaki C majör üçlü c'-e'-g ', örneğin, büyük oktavdan düşük referans notu C ile; Triadın üç tonu bununla tamsayı oranlarında ilişkilidir (4, 5 ve 6). Asal çarpanlara ayırma 2 · 2.5.2 · 3 verir. Vogel'in önerdiği ağırlıklarla, (1 + 1 + 5 + 1 + 3) / 3 = 11/3 = 3.67 sonuçların bir ünsüzlük değeri. Aynı akor, dört vuruşlu h '' '' ile de ilişkilendirilebilir: bu üst referans notu, c 'nin on beş katı, e' frekansının on iki katı ve g 'frekansının on katıdır. Asal çarpanlara ayırma 3 * 5.2 * 2 * 3.2 * 5 verir. Bu, (3 + 5 + 1 + 1 + 3 + 1 + 5) / 3 = 19/3 = 6,33 ünsüzlük değeriyle sonuçlanır. Daha düşük referans tonu için ünsüzlük değeri daha uygundur; bu nedenle C majör üçlüsü C'nin üzerinde bir aşırı tondur. C minör üçlüsü c'-es'-g 'için ünsüzlük değeri aynıdır, ancak üst referans notu g "' ye dayanır. Dolayısıyla, Vogel'in müzik teorisinde, bu akor C ("C minör") ile değil, G (G altındaki alt ses) ile ilgilidir.
Vogel, yükselenler ve inenler için özel bir notasyon önerir. Üst sesler O ile, düşük sesler U ile işaretlenmiştir. Referans tonu küçük harf olarak verilmiştir. Yükselenler soldan sağa, aşağıdan sağdan sola doğru belirtilmiştir. Bu, Do majör akoru için cO ve Do minör akoru için Ug gösterimi ile sonuçlanır. Ek tonlar için başka semboller (örn. Üst veya alt yedinci için 7), buna uygun olarak üst sesler için sağa ve düşük sesler için sola eklenir. İlk şekilden alınan C 7 akoru bu nedenle cO7 olarak not edilecektir.
Vogel ayrıca akor geçişlerinin ünsüzlüğü için bir hesaplama önermektedir (bir N-sesinden bir M-sesine geçerken, tüm N · M geçişleri asal sayı ayrışması ve ağırlıklı toplamla ayrı ayrı değerlendirilir, ardından ortalama değer oluşturulur) ve tüm müzik parçaları Bir final anlamında merkezi bir referans tonunun dahil edilmesi .
Ünsüz ve aşırı ton uyumu
Martin Vogel'in ünsüzlük formülü, aslında uyumsuzluk formülü olarak adlandırılmalıdır, çünkü bir akor veya aralığın uyumsuzluğu ne kadar yüksekse, hesaplanan değer o kadar yüksek olur. Vogel, günümüz dinleyicilerinin ünsüz yargılarını tahmin ettiğini iddia etmedi. Bu, ünsüz yargıların aşinalık yargılarıyla güçlü bir şekilde ilişkili olduğu, bugün büyük ve küçüklerin duygusal tonlar atfedildiği (küçük = üzgün) ve formülünün yalnızca armonik tonların uyumunu hesaba kattığı , kombinasyon tonlarının uyumunu hesaba katmadığı gerçeğiyle çelişir . Daha ihtiyatlı bir şekilde ifade etmek gerekirse, Vogel'in ünsüzlük formülünün bir tür aşırı ton uyumu ifade ettiği söylenebilir, yani bu, bir akorun armonik seslerinin bir araya gelme derecesinin bir ölçüsüdür. Burada da formülün geçerliliği, insan işitme sınırlarıyla sınırlıdır. Karmaşık tonların perde farkları için insan algısının sınırı yaklaşık% 0,25 (4 sent) olduğundan, saf bir oktav bir bölünme (frekans farkı yaklaşık 2 sent ) ile uyumsuz bir oktavdan ayırt edilemez. Bununla birlikte, Vogel'in ünsüzlük formülü, saf oktav (1,0,0,0) için (1 · 1 + 0 · 3 + 0 · 5 + 0 · 7) / 2 = 0,5 ve yaklaşık 1 için bir ünsüzlük değeri verir. Schisma çok büyük bir oktav (-14,8,1,0) (14 1 + 8 3 + 1 5 + 0 7) / 2 = 43/2 = 21,5 değerine sahiptir.
Ton seçimi için sonuçlar
Ünsüz değer hesabı yardımıyla bir akor için ton stoğundan hangi tonların alınması gerektiğine karar verilebilir. Yani z. B. iki boyutlu Euler'in ton ağındaki yedinci akor için ünsüzlük değeri (yukarıdaki şekle bakınız) 8.5. Öte yandan, biri B için doğal bir yedinci alırsa, ünsüzlük değeri 4,5'e yükselir. Bu nedenle, doğal bir yedinci olan yedinci akor, yalnızca beşte ve üçte bir ile ayarlanmış bir yedinci akora tercih edilir.
Kompozisyon açısından sonuçlar
Biri Vogel'in ünsüzlük formülünün değerlendirmelerini takip ederse, o zaman büyük ve küçük akorların nasıl ayarlanması gerektiğinin sonuçları vardır. Büyük akorlarda, akorun ünsüz çıkması için üçte bir ve özellikle yedinci yüksek olarak ayarlanmalıdır. Küçük akorlarda durum tam tersi. Bununla birlikte, bu, son yüzyılların beste pratiğine hiçbir şekilde uymuyor (Tristan akoru dışında, aşağıya bakınız), dolayısıyla bu şekilde yerleştirilmiş küçük akorlar olağandışı geliyor. Aslında, armonik seslerin çok daha iyi uyumu ile karakterize edilirler. Örneğin, karşıt şekilde gösterilen iki C minör akorunun solu, klasik bir şekilde büyük üçte biriyle ayarlanır: bu, 4.33 ünsüzlük değerine yol açar. Küçük üçüncü ile sağ akor alışılmadık geliyor, ancak çok daha iyi bir ünsüz değeri olan 3.0 ve çok daha iyi bir harmonik uyuma sahip.
2, 3, 5 ve 7 asal sayılarıyla sınırlama
Vogel, kil ağının teorik olarak sonsuz dört boyutlu kil stoğunu eksiksiz olarak görüyor; o, daha yüksek asal sayılar için başka boyutları eliyor . Vogel'e göre , saf akortta amaçlanan ünsüzlük , aşırı ton serilerindeki benzerliklere dayanıyor ; iç kulakta yalnızca ilk sekiz ila on parça ayrıldığından , bir sonraki daha yüksek asal sayı (11) artık duyulabilir bir eşleşmeye yol açamaz. A z. B. Bir flageolet aracılığıyla izole edilen on birinci kısmi ton, gerçekten de iyi duyulabilir ve onuncu veya onikinciden açıkça ayırt edilebilir, ancak farklı güçteki tüm kısmi tonlarla karmaşık bir tonda, bu bölümler birleşir ve artık bir eşleşme olamaz. belirlenecek. Kısmi parçalar arasındaki mesafeler burada daha büyük olduğundan, bunun ağırlıklı olarak tek parçalı enstrümanlar için mümkün olup olmadığını kontrol etmek ilginç olacaktır. Biraz pratikle, asal sayı 17'ye ve hatta 19'a kadar olan ünsüzler teorik olarak duyulabilir hale gelebilir.
Vogel'in ses ağındaki yarı azalmış yedinci akor
Tristan akor bir müzik-tarihsel olarak önemli akor olan Richard Wagner'in "Tristan Isolde und" müzikal dram. İşlevsel olarak uyumlu olduğu açıkça yorumlanamaz. Ton olarak kararsız ve aşırı derecede kromatik olarak görülüyor.
Vogel'in Tonnetz'inde bu akor, yedinci akorun ikili bir eşdeğeri olarak, yani büyük bir yedinci akorun küçük karşılığı olarak sunulur. Bu yorum yalnızca bu "alt yedinci olan G keskin minör akorunun" üst yedinci olan bir E majör akoruna çözünürlüğü ile desteklenmiyor (ayrıca soldaki animasyona bakınız), aynı zamanda Wagner'in daha düşük terez ( H) ve alt yedinci aslında E ♯ ) derin ayarlanabilir. Kuş notasyonunda 7UD, bu akorun ♯ yazması için olacaktır, çünkü G # minör akorunun referans notu, Dis (D ♯ ), armonik seslerin açıldığı diğer tüm notalar. İkili sisteme göre tutarlı notasyonun (G diyez minör akor, G ♯ m, D düz alt ses Ud ♯ olarak not edilmesi gerekir ) üstün gelmeyeceğini varsayarsak , bu bir uzlaşma olur, Tristan akoru eğik çizgi akoru G ♯ m / F olarak not edilir , yani basta F ile G keskin küçük akor olarak.
Vogel'in Tonnetz'indeki Tristan akorunun, büyük bir yedinci akorun iyi yerleştirilmiş küçük bir muadili olarak "açıklaması", işlevsel uyum anlamındaki bir "açıklama" ile karşılaştırılamaz. Her iki açıklama da neden belirli akorların ve akor ilerlemelerinin müzik tarihinde kendilerini kanıtladıklarını nedensel olarak haklı gösteremez. İşlevsel olarak uyumlu yaklaşım, öncelikle akorların bir tonalite ile ilişkisini amaçlamakta ve böylece geç Romantik müzikte tutarlı bir tonalite kaybı ile zorluklar yaşarken, Vogelsche Tonnetz'in açıklayıcı yaklaşımı esas olarak bir notanın uygunluğuyla ilgilidir. Birbirine veya bir diğerine akor, önceki veya sonraki akorun notalarına. Burada en azından, Tristan akorunun tonaliteye bir saldırı olmadığı, ancak ona büyük bir yedinci akor kadar saygı duyduğu anlaşılıyor.
Caz armoniğinde bu akor, F'nin üstündeki yarı azaltılmış yedinci akora karşılık gelir (akor sembolü olarak Fm 7 b5 ). Bu açıklama G diyez minör akoru ile olan bağlantıyı göstermez. Akorları en düşük notadan başlayarak tanımlamanın standart hale gelen gelenekten kaynaklanmaktadır. Vogel'in teorisine göre bu, yükselenler için uygundur, ancak aşağılar için uygun değildir: bunlar yukarıdan aşağıya doğru tanımlanmalıdır. En düşük nota prensibinin, basit akorların tersine dönmelerinde bile uygulanmadığı unutulmamalıdır; aksi takdirde, ilk ters çevirmedeki bir C majör akoru, değiştirilmiş beşinci (Em +5 ) olan bir E minör akor olarak tanımlanmalıdır . Tristan akoru bile Vogel'in sisteminde en yüksek notadan (G ♯ ) basitçe tanımlanmamıştır ; D ♯'nin namlu ağındaki kök konumu daha önemlidir .
resepsiyon
Vogel'in Tonnetz'i, şu anda baskın olan işlevsel uyumdan 100 yıldan daha eski bir teoriye (Euler'in Tonnetz'i) dayanmaktadır. Bu iki teori hiçbir şekilde birbiriyle çelişmese de, birbirini tamamlasa da (yerel bağlamlara ve ruh hallerine odaklanan ses ağı, tüm parça ile ilgili bir akorun küresel işlevini sınıflandırma girişimiyle işlevsel uyum), Teorinin ötekiliği ve Vogel'in akor notasyonunun kendine haslığı, onların genel alımı. Vogel'in ünsüzlük hesaplaması, ancak son zamanlarda deneysel çalışmaların konusu haline geldi. Basitleştirilmiş bir gösterim olarak Kaernbach, her zaman soldan sağa yazmayı, referans tonları için büyük harf kullanmayı (küçük harfle küçük harfleri tanımlama geleneğiyle karışıklığı önlemek için) ve üst ve alt uzunlukları (▲ ve ▼) işaretlemek için üçgenler kullanmayı önerir. . Tristan ön sevişmesinin başlangıcı z olacaktır. B. D ▼ ♯ 7 → E ▲ 7 olarak not edilmelidir.
Edebiyat
- Martin Vogel: Tristan akoru ve modern uyumun krizi. Düsseldorf 1962.
- Martin Vogel: Ton ilişkileri teorisi. Bonn 1976.
Bireysel kanıt
- ^ A b Agnieszka Karas, Christian Kaernbach: Martin Vogel'i test etmek için koymak: Bir müzik teorisini değerlendirme girişimi. U. Ansorge ve ark. (Ed.): 55. deneysel psikologlar konferansına katkılar . ( Sayfa artık mevcut değil , web arşivlerinde ara ) Bilgi: Bağlantı otomatik olarak bozuk olarak işaretlendi. Lütfen bağlantıyı talimatlara göre kontrol edin ve ardından bu uyarıyı kaldırın. (PDF; 11,3 MB) Pabst Science Publishers, Lengerich, 2013, s.43.
- ^ A b Christian Kaernbach, Christian Bering: Çözülmemiş harmonik perdesinde yer alan zamansal mekanizmayı keşfetmek. In: Journal of the Acoustical Society of America. Cilt 110, 2001, s. 1039-1048 ( PDF ).
- ^ Ernst Kurth: Wagner'in "Tristan" filmindeki romantik uyum ve kriz, Bern 1920.
- ^ Christian Kaernbach: Martin Vogel'i Onurlandırmak - Müzikte sadece tonlamanın şampiyonu. U. Ansorge ve ark. (Ed.): 55. deneysel psikologlar konferansına katkılar . ( Sayfa artık mevcut değil , web arşivlerinde ara ) Bilgi: Bağlantı otomatik olarak bozuk olarak işaretlendi. Lütfen bağlantıyı talimatlara göre kontrol edin ve ardından bu uyarıyı kaldırın. (PDF; 11,3 MB) Pabst Science Publishers, Lengerich, 2013, s.43.
