Infimum ve Supremum

Gösterilen işlevin görüntü sayısı sınırlıdır, dolayısıyla işlev de sınırlıdır

In matematik terimleri sup ve infimum sıra sıra küçük üst bağlanmış ve büyük alt meydana bağlı araştırılırken yarı sıralı setleri . Supremum açıkça diğer tüm üst sınırlardan daha küçük olan bir üst sınırdır . Buna uygun olarak, infimum, diğer tüm alt sınırlardan daha büyük olan bir alt sınırdır. Bir supremum veya infimum varsa, bu açıkça belirlenir. Kavram, hemen hemen tüm matematiksel alt alanlarda farklı modifikasyonlarda kullanılmaktadır .

Tanımlar

Kümelerin üstünlüğü (ve Infima)

Sezgi

Supremum, bir kümenin en küçük üst sınırıdır.

Bir kümenin üstünlüğü (Almanca "yüce" olarak), bir kümenin maksimumu ile ilgilidir ve - açıkça söylemek gerekirse - diğer tüm öğelerin "üstünde" veya "ötesinde" (yukarıda) bulunan bir öğedir. "Üst üste " ifadesi , üstünlüğün " diğerleri arasında " en büyük unsur olması gerekmediğini , aynı zamanda kalabalığın dışında ( "ötesinde" ) olabileceğini belirtmek için tasarlanmıştır . Ve bu görüşe uyan birkaç eleman olabileceğinden, açıklık nedenleriyle bu özelliğe sahip en küçük eleman seçilir; tabiri caizse, diğerlerinin üzerinde "en yakın" veya "hemen" olan öğe - böylece supremum "hemen yukarıda" bir şeyi belirtir. Bir kümenin tüm öğelerinin üzerinde olan, ancak doğrudan bir şekilde olması gerekmeyen öğelere üst sınırlar denir . Bu daha sonra bir kümenin en küçük üst sınırı olarak supremum tanımıyla sonuçlanır .

Bir kümenin infimum'u (Almanca "alt limit") benzer şekilde "hemen altında " veya en büyük alt limit olarak tanımlanır .

gerçekte

Bu görüş kolaylıkla setleri transfer edilebilir gerçek sayılar (aynı alt kümelerine reel sayılar): Let

${\ displaystyle X: = \ {x \ in \ mathbb {R}: x <2 \} \ subseteq \ mathbb {R}}$

2'den küçük gerçek sayılar kümesi. O zaman 2, (in )' nin toplamıdır . 2 öğesinin bir üst sınırı olduğundan , her öğesinden daha büyük veya ona eşit (aslında gerçekten daha büyük) olduğundan - yani "yukarıdadır". Fakat aynı zamanda bir üst sınır olan 4 sayısının aksine, 2'den küçük olan ve aynı zamanda üst sınırı olan bir sayı yoktur . Dolayısıyla 2, 'nin en küçük üst sınırıdır, dolayısıyla Supremum. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Küçük bir değişiklik yaparak Supremum ve Maximum arasındaki ilişki netleşir. Maksimum, bir kümenin "tüm öğeleri arasında " en büyük öğesidir :

Açıkça bir maksimumu yoktur, çünkü her gerçek sayı için ' den büyük bir gerçek sayı vardır , ör. B. seçim ile . Bir üstünlük olarak, 2 sayısı 'nin tüm öğelerinden daha büyüktür , ancak içinde değildir , çünkü gerçekte kendisinden daha küçük değildir . Şimdi kalabalığa bakalım ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a <2}$${\ görüntü stili b <2}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = {\ tfrac {a + 2} {2}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X ': = \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ leq 2 \} \ subsetq \ mathbb {R}}$,

böylece 2 maksimum bu olduğundan, daha az ya da daha eşit kendisine ve daha az olan ya da 2'ye eşit 2'den daha büyük bir sayı da vardır. Bununla birlikte, aynı zamanda, orada olduğu gibi aynı koşullar yerine getirildiğinden , 2 de olduğu gibi bir supremumdur . ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$

Aslında, her maksimum her zaman aynı zamanda bir üstünlüktür. Bu nedenle, maksimum terimini basit bir şekilde tanımlamamak, ancak bu, kendi üstünü temsil ettiği kümenin bir öğesiyse, onu, üstünlüğün özel bir durumu olarak adlandırmak da âdettir. - Aynısı minimum için de geçerlidir.

Genel olarak

Ancak, üst ve alt sınırlar ile suprema ve infima sadece gerçek sayılar üzerinde değil, genellikle yarı sıralı kümeler üzerinde de düşünülebilir . Resmi tanımlar aşağıdaki gibidir:

Eğer kısmi düzenine sahip bir yarı-sıralı grubu ve bir alt kümesi daha sonra uygulanır: ${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili \ leq}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle M}$

Üst sınır

Bir element denir üst bağlanmış arasında ise tutan herkes için .${\ displaystyle b \ M olarak}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x \ leq b}$${\ Displaystyle x \ T'de}$

Alt sınır

Benzer şekilde, alt sınırı , tümü için geçerliyse çağrılır .${\ görüntü stili b}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle b \ leq x}$${\ Displaystyle x \ T'de}$

miktar sınırlı yukarı veya aşağı

Bir üst (alt) sınırı varsa, buna yukarıdan (aşağıya) sınır denir .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

yukarı veya aşağı sınırsız miktarda

Varsa herhangi bir (alt) sınırlı üst, daha sonra üst (alt) sınırsız olarak adlandırılır .${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$

sınırlı miktarda

${\ displaystyle T}$adlandırılan sınırlı olmadığını bunun bir sınırlı yukarı doğru ve aksi halde, aşağı doğru sınırlanmayan veya olmayan kısıtlı . Kendisine, bir sınırsız (ya da olmayan kısıtlı olduğunda) ya da yukarıda veya aşağıda veya yukarıda ve aşağıda sınırlı değildir. Bir kümenin hem yukarı hem de aşağı kısıtlamasız olduğu ifade edilecekse, kümenin yukarı ve aşağı sınırsız olarak açıkça tanımlanması gerekir .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

supremum

Bir element denir sup ait olup olmadığını üst sınırı bir küçük .${\ displaystyle b \ M olarak}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili b}$${\ displaystyle T}$

Infimum

Bu denir infimum ait bu alt sınırı oluşturan bir büyük ise .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Eğer kümesi reel sayılar o zaman: ${\ displaystyle M}$

• Is üstten sınırlı ve boş değil, o zaman sahiptir (aşağıda geçirmez bir fikir) üst bağlanmış bir küçük ve en denir üst sınırı veya Supremum arasında  - işaretleri .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili \ destek (T)}$
• O takdirde aşağıda sınırlanmış ve boş değilse, o zaman sahip bir büyük alt bağlı (analog kanıtı) ve denir alt limit veya infimum arasında  - işaretleri .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili \ bilgi (T)}$
• Eğer bir üst sınır varsa ve içinde üst değeri dahil edilmişse, üst sınır ayrıca işaretlerde maksimum , olarak da adlandırılır .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili \ maks (T)}$
• Eğer aşağıya kısıtlanmış ve infimum içinde olduğu dahil, infimum olarak da anılır asgari ait sembolleri, .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili \ dak (T)}$
• Orada ise hiçbir üst sınır, tek yazıyor geçerli: (bkz sonsuz ). + ∞ sembolü gerçek bir sayı değildir ve ayrıca burada tanımlanan anlamda üst değeri de değildir : üst değer tam olarak üst nokta olmadığının biçimsel gösterimidir, ayrıca bkz . genişletilmiş gerçek sayılar . Bazen bu bağlamda "uygunsuz bir üstünlük" olarak da adlandırılır.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ sup T = + \ infty}$
  ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle + \ elli}$
• Mı yazma analoga süresiz aşağı: .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ inf T = - \ infty}$

İllüstrasyonların Suprema'sı (ve Infima)

Genel olarak rakamlar

Kümelerdeki üstünlük kavramı, eşlemelere (fonksiyonlara) da uygulanır . Çünkü bir resmin görüntüsü her zaman çoktur . Yani bir resim için

${\ displaystyle f \ kolon X \ sağ ok Y}$

Tutar

${\ displaystyle f (X): = \ {f (x): x \ X'te \} = \ {y \ Y'de: y = f (x) {\ metin {a}} x \ X'te \} }$

sözde eleman görüntüleri , d. H. şeklin altındaki tek tek elemanların resimleri . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$

${\ görüntü stili f (X)}$fonksiyon görüntüsü olarak da adlandırılır . ${\ displaystyle f}$

Eğer öyleyse yarı sıralı küme, daha sonra supremum auf  - bu eğer var - tarafından tanımlanır ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ sup f: = \ sup _ {x \ in X} f (x): = \ sup f (X) = \ sup \ {f (x): x \ X'te \}}$.

Böylece bir fonksiyonun üst değeri, görüntü kümesinin üst değeri olarak tanımlanır . infimum on benzer şekilde tanımlanır. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$

Supremum belirleyici özelliği edilebilir formüle monoton olarak Galois'in bağlantısı arasında ve : Tüm ve geçerlidir ${\ displaystyle \ sup \ dashv \ Delta}$${\ displaystyle \ sup \ iki nokta üst üste Y ^ {X} \ Y'ye}$${\ displaystyle \ Delta \ iki nokta üst üste Y \ - Y ^ {X}}$${\ görüntü stili y \ Y'de}$${\ displaystyle f \ Y ^ {X}}$

${\ displaystyle \ sup f \ leq _ {Y} y \ Longleftrightarrow f \ leq _ {Y ^ {X}} \ Delta (y)}$.

Burada nokta nokta sıra ile donatılmıştır ve . ${\ görüntü stili Y ^ {X}}$${\ görüntü stili \ Delta (y) (x): = y}$

Aynısı geçerlidir . ${\ displaystyle \ Delta \ tire \ enf}$

Resim olarak takip et

Şekil olarak bir dizi öğe alırsanız${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dotsc}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste \ mathbb {N} \ sağ ok Y}$

üzerinde - yani göre

${\ displaystyle a_ {1}: = f (1), \ a_ {2}: = f (2), \ a_ {3}: = f (3), \ \ dotsc}$

- eşlemelerin en yüksek (infimum) tanımı, bir dizinin en yüksek (infimum) tanımıyla hemen sonuçlanır - eğer varsa. ${\ görüntü stili (a_ {n})}$${\ displaystyle Y}$

özellikleri

Benzersizlik ve varoluş

Is bir üst sınırı ve bu yüzden de bir üst sınırı . Tersine , ve öğesinin üst sınırı yoksa, o zaman üst sınırı da yoktur . Aynısı alt sınırlar için de geçerlidir. ${\ görüntü stili b}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili c> b}$${\ görüntü stili c}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili c}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili b <c}$${\ görüntü stili b}$${\ displaystyle T}$

Supremum (varsa) benzersiz bir şekilde belirlenir. Aynısı sonsuz için de geçerlidir . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Yarı sıralı bir kümenin bir alt kümesinin birkaç minimum üst sınıra sahip olması mümkündür, yani. H. üst sınır, böylece her küçük öğe bir üst sınır olmaz. Bununla birlikte, minimum bir üst sınırdan fazlasına sahip olduğu anda, en küçük üst sınır yoktur , i. H. hiçbir üstünlük, of . Kısmi sıralı küme buna bir örnektir . Burada iki minimum üst sınır vardır ve . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ görüntü stili M = \ {a, \ b, \ c, \ d \}}$${\ displaystyle \ {a <c, \ b <c, \ a <d, \ b <d \}}$${\ görüntü stili T = \ {a, \ b \}}$${\ görüntü stili c}$${\ displaystyle d}$

Bir epsilon ortamıyla ilgili özellikler

Gerçek sayıların boş olmayan bir alt kümesi olsun , o zaman bunun için de geçerlidir ${\ displaystyle X}$

• Supremum tarafından :${\ displaystyle X}$

1. Eğer bu yüzden herkes için var one böylece olduğunu.${\ displaystyle \ sup X <+ \ infty}$${\ görüntü stili \ epsilon> 0}$$X'te {\ displaystyle x \}$${\ görüntü stili (\ sup X) - \ epsilon <x}$
2. Eğer bu yüzden herkes için vardır biri öyle ki .${\ displaystyle \ sup X = + \ infty}$${\ displaystyle k> 0}$$X'te {\ displaystyle x \}$${\ görüntü stili k <x}$

• En az :${\ displaystyle X}$

1. Eğer bu yüzden herkes için var one böylece olduğunu.${\ displaystyle \ inf X> - \ infty}$${\ görüntü stili \ epsilon> 0}$$X'te {\ displaystyle x \}$${\ displaystyle x <(\ inf X) + \ epsilon}$
2. Eğer bu yüzden herkes için vardır biri öyle ki .${\ displaystyle \ inf X = - \ infty}$${\ displaystyle k> 0}$$X'te {\ displaystyle x \}$${\ displaystyle x <-k}$

Yakınsak dizilerin oluşturulması

• Bir supremum ile gerçek sayıların boş olmayan bir alt kümesi olsun . Daha sonra, uygun şekilde seçilen elemanlardan yakınsayan bir dizi oluşturulabilir .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sup X <+ \ infty}$${\ displaystyle X}$ ${\ görüntü stili (x_ {n})}$${\ görüntü stili \ sup X}$

Korumalı: Bir olmak sıfır dizisi , sabit bir dizisidir. Limit değerleri için hesaplama kuralları ile "aşağıdan" dizisi yakınsar . Yukarıda bahsedilen "bir epsilon- etrafına göre üstünlüğün özelliği" bölümünden dolayı , üyeler arasında ve kapalı olan bir dizi vardır . Öyleyse , çevreleyen sonuçların nasıl .${\ görüntü stili (\ epsilon _ {n}> 0)}$${\ görüntü stili (b_ {n} = \ sup X)}$${\ görüntü stili (a_ {n} = (\ sup X) - \ epsilon _ {n})}$${\ görüntü stili \ sup X}$${\ görüntü stili x_ {n}}$${\ görüntü stili (x_ {n}),}$${\ displaystyle a_ {n} = (\ sup X) - \ epsilon _ {n} <x_ {n} \ leq \ sup X = b_ {n}}$${\ görüntü stili (a_ {n})}$${\ görüntü stili (b_ {n})}$ ${\ görüntü stili (x_ {n})}$${\ görüntü stili \ sup X}$

• Infimum ile gerçek sayıların boş olmayan bir alt kümesi olsun . Daha sonra, uygun şekilde seçilen elemanlardan yakınsayan bir dizi oluşturulabilir .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ inf X> - \ infty}$${\ displaystyle X}$ ${\ görüntü stili (x_ {n})}$${\ görüntü stili \ enf X}$

Korumalı: sabit bir sekansıdır, bir olmak sıfır dizisi . Limit değerler için hesaplama kuralları ile “yukarıdan” dizisi yakınsamaktadır . Yukarıda bahsedilen "bir epsilon-etrafına göre infimumun özelliği" bölümü nedeniyle, üyeler arasında ve kapalı olan bir dizi vardır . Öyleyse , çevreleyen sonuçlar nasıl karşı karşıya geliyor ?${\ görüntü stili (a_ {n} = \ inf X)}$${\ görüntü stili (\ epsilon _ {n}> 0)}$${\ görüntü stili (b_ {n} = (\ inf X) + \ epsilon _ {n})}$${\ görüntü stili \ enf X}$${\ görüntü stili x_ {n}}$${\ görüntü stili (x_ {n})}$${\ displaystyle a_ {n} = \ inf X \ leq x_ {n} <(\ inf X) + \ epsilon _ {n} = b_ {n}}$${\ görüntü stili (a_ {n})}$${\ görüntü stili (b_ {n})}$ ${\ görüntü stili (x_ {n})}$${\ görüntü stili \ enf X}$

Uyarılar:

• Ne de onlar olmak zorunda monoton .${\ görüntü stili (\ epsilon _ {n})}$${\ görüntü stili (x_ {n})}$

• Sonlu güce sahipse , supremum bir maksimumdur (veya infimum minimumdur) ve hemen hemen hepsi supremuma (veya infimum) eşittir.${\ displaystyle X}$ ${\ görüntü stili x_ {n}}$

Gerçek sayıların sınırlı alt kümeleri için üstünlüğün varlığı

Reel sayıların sınırlı bir alt kümesi için üstünlüğün varlığı birkaç yolla gösterilebilir: ${\ displaystyle M}$

A. Bir yandan, gerçek sayıların sınırlı alt kümeleri için supremum ve infimum'un varlığını bir aksiyom olarak basitçe tanımlayabiliriz. Bu gereksinime genellikle üstünlük aksiyomu veya tamlık aksiyomu denir .

B. Eğer her aksiyomundan bir ila başlar aralıklarla iç içe geçmesi tanımlayıp tam olarak bir reel sayı, bir aralık iç içe geçme Supremum varlığını kanıtlamak için kullanılabilir ve bir var olduğu için, üst sınırı , fakat her biri için tek bir.${\ displaystyle \ sup M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle ([a_ {k}, \, b_ {k}]), \; k \ in \ mathbb {N}}$${\ görüntü stili a_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b_ {k}}$${\ displaystyle \ matematik {(i)}}$

Böyle bir aralık iç içe yerleştirme, bir sayıyı ve dizileri tanımlar ve yakınsar . Herhangi biri bu yüzden neredeyse hepsinden daha büyüktür . is öğesinin her üst sınırı . Yani bir üst sınırı vardır . 'nin bir üst sınırının da bulunup bulunmadığının değerlendirilmesi gerekmektedir . Çünkü hemen hemen hepsi daha büyüktür . 'nin üst sınırı olmadığı için de yoktur. Yani bu, iddia edilen üstünlüğüdür . - (i) koşulunu sağlayan bir aralıklı yuvalamanın varlığının gösterilmesi gerekmektedir . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ görüntü stili (a_ {k})}$${\ görüntü stili (b_ {k})}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ görüntü stili b> \ sigma}$${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} b_ {k} = \ sigma}$ ${\ displaystyle b_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle b \ M'de değil}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili \ sigma '<\ sigma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} a_ {k} = \ sigma}$${\ görüntü stili a_ {k}}$${\ görüntü stili \ sigma '}$${\ görüntü stili a_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili \ sigma '}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$

Bu amaçla, bir aralık dizisi özyinelemeli olarak tanımlanır. İlk aralık için olan keyfi bir elemandan daha küçük olan bir rasgele sayı olduğu rasgele bir üst sınırı . bir orta noktası dizisinin inci aralığı. Aşağıdaki aralığın sınırları , ${\ görüntü stili ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili b_ {1}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}}}$${\ displaystyle k}$${\ görüntü stili [a_ {k + 1}, \, b_ {k + 1}]}$

• Eğer herhangi bir üst sınır IS ;${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = c_ {k}, b_ {k + 1} = b_ {k}}$
• eğer bir üst sınır ise .${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = a_ {k}, b_ {k + 1} = c_ {k}}$

Aşağıdakiler böyle bir aralık dizisi için geçerlidir: üst sınırıdır , değil. Geçişte için bir aralık sınırı yerine üst sınırı , ancak ve ancak bu bir üst sınırı olan ; ancak 'nin üst sınırı yoksa, yine böyle olmayan bir aralık sınırı değiştirilir . Bu yüzden , her ancak olmayan bir üst sınırı , ve aralık sekans tatmin durumu (I). - Aralıklı yuvalamanın olduğu gösterilmeye devam ediyor . ${\ görüntü stili b_ {1}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle a_ {1}}$${\ görüntü stili [a_ {k}, b_ {k}]}$${\ görüntü stili [a_ {k + 1}, b_ {k + 1}]}$${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili c_ {k}}$ ${\ displaystyle b_ {k}}$ ${\ görüntü stili a_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$${\ görüntü stili ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$

Onaylama : edilir monotonik artan . ${\ görüntü stili (a_ {k})}$${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ forall k: a_ {k + 1} \ geq a_ {k}. \ mathbf {(1)}}$

Kanıt : Kanıtlanacak hiçbir şey yok. For şöyle : .${\ displaystyle a_ {k + 1} = a_ {k}}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = c_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k}> a_ {k}}$${\ displaystyle a_ {k + 1} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}}> {\ frac {a_ {k} + a_ {k}} {2}} = a_ { k}}$

İddia : monoton olarak azalıyor . ${\ görüntü stili (b_ {k})}$${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ forall k: b_ {k + 1} \ leq b_ {k}. \ mathbf {(2)}}$

Kanıt : Kanıtlanacak hiçbir şey yok. For şöyle : .${\ displaystyle b_ {k + 1} = b_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k + 1} = c_ {k}}$${\ displaystyle a_ {k} <b_ {k}}$${\ displaystyle b_ {k + 1} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}} <{\ frac {b_ {k} + b_ {k}} {2}} = b_ { k}}$

İddia : , bir Nullfollge'dur. . - Kanıt : ${\ görüntü stili (d_ {k})}$${\ displaystyle d_ {k} = b_ {k} -a_ {k}}$${\ görüntü stili \ matematik {(3)}}$

• Bir üst sınırı değilse , is ;${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d_ {k + 1} = b_ {k + 1} -a_ {k + 1} = b_ {k} -c_ {k} = {\ frac {2b_ {k}} {2}} - {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2}} = {\ frac {b_ {k} -a_ {k}} {2}} = {\ frac {d_ {k}} {2}}}$
• eğer bir üst sınırı IS .${\ görüntü stili c_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d_ {k + 1} = b_ {k + 1} -a_ {k + 1} = c_ {k} -a_ {k} = {\ frac {a_ {k} + b_ {k}} {2 }} - {\ frac {2a_ {k}} {2}} = {\ frac {b_ {k} -a_ {k}} {2}} = {\ frac {d_ {k}} {2}}}$

Yani hepsi de yazılabilir ve bunun nedeni (geometrik) sıfır dizisidir.${\ görüntü stili d_ {k}}$${\ displaystyle d_ {k} = d_ {1} \ cdot \, \ sol ({\ tfrac {1} {2}} \ sağ) ^ {k-1}}$${\ görüntü stili (d_ {k})}$${\ displaystyle \ sol | {\ tfrac {1} {2}} \ sağ | <1}$

(1), (2) ve (3) aralıklı yuvalama ile, q. e. d. ${\ görüntü stili ([a_ {k}, \, b_ {k}])}$

C. Üstünlüğün varlığı için eşdeğer bir formülasyon, her Dedekind kesiminin gerçek bir sayı tarafından üretildiğine göre kesişim aksiyomudur .

Örnekler

Gerçek sayılar

Aşağıdaki örnekler gerçek sayıların alt kümeleriyle ilgilidir.

• ${\ displaystyle \ sup \ {1,2,3 \} = 3}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 <x <1 \} = \ sup \ {x \ in \ mathbb {R}: 0 \ leq x \ leq 1 \} = 1}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \} = {\ sqrt {2}} \ notin \ mathbb {Q}}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {(- 1) ^ {n} - {\ tfrac {1} {n}}: n \ in \ mathbb {N} \} = 1}$
• ${\ displaystyle \ sup \ matbb {Z} = + \ infty}$
• ${\ displaystyle \ sup \ {a \} = \ inf \ {a \} = \ max \ {a \} = \ min \ {a \} = a \ quad \ forall \, a \ in \ mathbb {R} }$
• ${\ displaystyle \ sup \ {a + b: a \ in A \ arazi b \ in B \} = \ sup A + \ sup B}$
• ${\ displaystyle \ sup -A = - \ inf A}$veya nerede${\ görüntü stili - \ sup A = \ inf -A}$${\ displaystyle -A: = \ {- x \ in \ mathbb {R}: x \ in A \}}$

Diğer yarı sıralı setler

On , her boş olmayan yukarı veya aşağı sınırlı bir supremum ve infimum alt kümesi. Sipariş ilişkilerinin tanımlandığı diğer kümeleri göz önünde bulundurursanız, bu zorunlu değildir: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• Set arasında rasyonel sayılar olup tamamen sipariş doğal düzenine göre . Miktar , örneğin sayı ile yukarıya doğru sınırlandırılmıştır, ancak içinde hiçbir üstünlüğü yoktur .${\ displaystyle \ matematik {Q}}$${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x ^ {2} <2 \} \ subset \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle 1 {,} 42 \ in \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ matematik {Q}}$
• Herhangi bir yarı sıralı kümede , her eleman boş kümenin hem alt hem de üst sınırıdır . Dolayısıyla en büyük eleman arasında ve en küçük. Ancak, en büyük ve en küçük elemanlar bulunabilir gerekmez: setinde ait doğal sayılar zamanki sipariş ile, hiçbir infimum olduğunu ve öyle .${\ görüntü stili (A, \ leq)}$${\ displaystyle \ boş küme}$${\ displaystyle \ inf \ boş küme}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ sup \ boş küme}$${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {1,2,3, \ dotsc \}}$${\ displaystyle \ boş küme}$${\ displaystyle \ sup \ boş küme = 1}$
• Dahil etme ile ilgili olarak kısmen sıralanmış kümede , küme hem eleman tarafından hem de bir üst limit ile sınırlandırılmıştır. Bununla birlikte, bir supremum, yani en küçük bir üst sınır , içinde mevcut değildir.${\ displaystyle {\ matematik {X}}: = \ {\ {1 \}, \ {2 \}, \ {1,2,3 \}, \ {1,2,4 \} \}}$${\ displaystyle M: ​​​​= \ {\ {1 \}, \ {2 \} \} \ alt küme {\ matematik {X}}}$${\ displaystyle \ {1,2,3 \} \ {\ matematik {X}}} içinde$${\ displaystyle \ {1,2,4 \} \ in {\ matematik {X}}}$${\ displaystyle M}$${\ görüntü stili {\ matematik {X}}}$

Ayrıca bakınız

• Ölçü teorisinde, temel üstünlük kavramı, örneğin uzaylar teorisinde önemli bir rol oynayan supremum teriminden türetilmiştir .${\ displaystyle L ^ {p}}$
• Her iki elemanlı alt küme için bir üst ve bir alt kümenin bulunduğu kısmen sıralı kümelerin incelenmesi, kafes teorisinin konusudur .

Edebiyat

• Stefan Hildebrandt: Analiz 1. Springer 2005, ISBN 3-540-25368-8 .

İnternet linkleri

Bireysel kanıt

1. ↑ Aralıklı yuvalama # Aralıklı yuvalamanın sınır dizilerinin yakınsaması
2. ↑ Düşünce dizisi tam bir tümevarımdır .
3. ↑ Belirli geometrik dizilerin yakınsaması hakkında daha fazla bilgiyi burada bulabilirsiniz .