Ölçü teorisi

Ölçüm kuramı bir olan matematik dalı tasarımı ve çalışması ile uğraşan tedbirler istihdam. Güzergah uzunluğu, yüzey alanı ve hacim gibi temel geometrik terimlerin daha karmaşık kümelere genelleştirilmesiyle ilgilidir . Ölçü teorisi, modern entegrasyon ve olasılık teorisinin temelini oluşturur .

Ölçü teorisinde ölçü, bir temel kümenin belirli alt kümelerine gerçek sayılar atayan bir eşleme olarak anlaşılır . Alt kümeler belirli özelliklere sahip bir dizi sistem oluşturmalı ve atamanın kendisi de belirli gereksinimleri karşılamalıdır. Uygulamada, genellikle önceden sadece kısmi bir görev bilinmektedir. Örneğin, kenar uzunluklarının çarpımı , düzlemdeki dikdörtgenlerin alanı olarak atanır . Ölçü teorisi şimdi bir yandan bu atamanın tutarlı ve açık bir şekilde daha büyük alt küme sistemlerine genişletilip genişletilemeyeceğini ve diğer yandan istenen ek özelliklerin korunup korunmadığını inceler. Düzlem örneğinde, tabii ki dairesel disklere anlamlı bir alan atamak da istenecektir ve aynı zamanda, genellikle boyutlar için gerekli olan özelliklere ek olarak, öteleme değişmezliği de gereklidir, yani bir düzlemin alt kümesi konumundan bağımsızdır.

motivasyon

Ölçü teorisinin karmaşık yapısı , gerçek sayı düzleminin herhangi bir rastgele alt kümesinin, mantıklı olana karşılık gelen klasik alan olan bir seviye atadığı bir ölçü fonksiyonunun bulunmasının mümkün olmaması gerçeğinden kaynaklanmaktadır . Bu girişim, tek boyutlu sayı doğrusunda bile başarısız olur ve daha yüksek boyutlarda bile başarılı olmaz. Bunun mümkün olup olmadığı sorusu ilk kez 1902'de Henri Lebesgue tarafından Paris Thèse'de boyutsal bir problem olarak formüle edildi .

Aşağıdaki şartlar yapılmış bir anlamlı (2-boyutlu bir durumdan başlatmak için) alanına tekabül:

1. Bir kare birinin bir kenar uzunluğuna sahip bir alana sahiptir ( "normalizasyon" ).
2. Herhangi bir yüzeyin hareket ettirilmesi, döndürülmesi veya aynalanması yüzey alanını değiştirmez ( "hareket değişmezliği" ).
3. İkili ayrık alanların sonlu veya sayılabilir sonsuz birleşiminin alanı, kısmi alanların alanlarının toplamıdır ( σ-toplamsallık ).

1905'te Giuseppe Vitali, bu sorunun herhangi bir alt grup için çözülemeyeceğini göstermeyi başardı . Gereksinimlerden birini zayıflatmak mantıklı. Üçüncü talebin zayıflaması ve sınırlı sendikalarla sınırlı olması , Felix Hausdorff'un içerik sorununa yol açar . Hausdorff, 1914'te bu içerik sorununun genel olarak (boyut 3'ten büyük veya 3'e eşit) çözülemeyeceğini göstermeyi başardı . İstisnalar, gerçek sayılar ve içerik sorununa bir çözümün olduğu gerçek düzeydir, sözde içerik işlevi ( içeriğin tanımına bakın ). Bununla birlikte, ölçülecek miktarlar sınırlandırılırsa ve keyfi alt kümeler yerine yalnızca belirli bir alt kümeler sistemi dikkate alınırsa, o zaman genellikle herhangi bir uzamsal boyut için ölçüm problemi çözülebilir ve bu nicelikler sistemi üzerinde istenen özelliklere sahip bir ölçü tanımlanabilir (bkz. ölçü tanımı ). Bu durumda, σ-toplamsallık gerekliliğinin sınırlandırılması artık gerekli değildir.

Ölçü teorisi, farklı küme sistemlerini ve bunlar üzerinde tanımlanabilen içerik fonksiyonlarını ele alır. Yalnızca gerçek küme sistemleri değil, keyfi temel kümelerdeki soyut küme sistemleri de dikkate alınır. Bu, sonuçların çok az ek çaba ile fonksiyonel analizde ve olasılık teorisinde daha iyi kullanılmasını sağlar .

σ-toplamsallık

Modern ölçü kavramının merkezinde yer alan katkı özelliği, 1909'da Émile Borel tarafından tanıtıldı ve başlangıçta bazı eleştirilerle ele alındı. Özellikle, -additivitenin öylesine güçlü bir gereksinim olduğu ortaya çıkmıştır ki , sayılamayan bir kümenin güç kümesinde -toplama işlevinin varlığı bile, öteleme değişmezliği ( Ulam'ın ölçü problemi ) gibi ek gereksinimlerden oldukça farklıdır .${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

Ürdün yapımı aynı zamanda yalnızca sınırlı katkı içeriğine yol açar , sonlu toplamsallık (toplamadan daha zayıf bir özellik ) içeriğin tanımının bir sonucudur. Öte yandan Borel, ölçünün toplamsallığını varsayar ve böylece belirli küme işlemlerinin sayılabilir uygulamaları altında tamamlanan bir cebirde bulunan kümelerin ölçülerini belirler . Henri Lebesgue'in 1902'deki integral tanımı, toplamı korudu . Eklenebilirliğin sonlu veya sayılabilir sayıda kümeyle sınırlandırılması, Zeno'nun (stilize edilmiş) boyut paradoksundan bir çıkış yolu olarak görülebilir .${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

Olasılık hesaplamasının temeli olarak ölçüm teorisi, Kolmogorow tarafından belirlendiği gibi , genellikle bir olasılık olarak standartlaştırılmış ölçüler kullanır ve bire standartlaştırılmış içerikleri kullanmaz. Bu, Kolmogorow'da olduğu gibi genellikle büyük teknik avantajlarla doğrulanır. Bundan sapmalar bazen olasılığın öznelci yorumlarında, özellikle de Bruno de Finetti'de belirgin olarak yapılır . Öte yandan, kişisel inanç derecelerinin eklenebilirliği ( ingilizce inanç derecesi ) için Hollandaca kitap argümanları vardır .${\ displaystyle \ sigma}$

Tanımlar ve örnekler

Ölçü teorisinde kullanılan küme sistemlerinin hiyerarşisi

Ölçülecek miktarlar , miktar işlemleri ile ilgili olarak farklı derecelere kapalı olan miktar sistemlerinde özetlenir . Küme sistemlerinin önemli kütle teorik örnekleri şunlardır:

Kuvvet kümesi , σ-cebir , yarım halka , halka , cebir , Dynkin sistemi , monotonik sınıflar veya sabit ortalama kararlılığa sahip küme sistemi .

Güç seti, tüm set sistemleri arasında en kapsamlı olanıdır ve temel setin herhangi bir alt kümesini içerir. Ölçü teorisinde en önemli küme sistemi olan σ-cebir, genellikle güç kümesinden daha az küme içerir.

Ölçü teorisi için önemli olan kapsamlar:

• Her güç kümesi bir σ-cebir ve bir Dynkin sistemidir.
• Her σ-cebir bir cebirdir.
• Her cebir bir halkadır.
• Her halka yarım halkadır.
• Her yarım halka, ortalama bir kararlı miktarlar sistemidir.

İçerikler, ön önlemler, boyutlar veya harici boyutlar gibi set fonksiyonları , set sisteminin her setine bir değer ( genişletilmiş pozitif gerçek eksen ) atayan bu set sistemlerinde tanımlanır . ${\ displaystyle [0, \ infty]}$

Belirtilen terimlerin (içerik, ön ölçüm, ölçü) literatürde tutarsız bir şekilde, özellikle de altta yatan miktar sistemi ile ilgili olarak tanımlandığına dikkat edilmelidir. Örneğin, içerik terimi kısmen bir halka, yarım halka veya boş seti içeren herhangi bir sistem seti için tanımlanır. Aşağıda, bu nedenle, genel varyant, özel set sistemlerinin seçiminin sonuçlarına atıfta bulunularak verilmiştir.

içerik

Bir içerik için sonlu toplamsallık : Sonlu ayrık birliğin içeriği, tek tek alt kümelerin içeriklerinin toplamına eşittir.${\ displaystyle \ mu}$

Bir işlev her şey çok sisteminden ile fazla bir değer haritalar, içinde adlandırılan içeriği bu haritalama için ise, geçerlidir: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ mathcal {C}}} içinde {\ displaystyle \ emptyset \$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mu (A)}$${\ displaystyle [0, \ infty]}$${\ displaystyle \ mu \ iki nokta üst üste {\ mathcal {C}} \ rightarrow [0, \ infty]}$

• Boş grubu sıfır değerine sahiptir: .${\ displaystyle \ mu (\ boş küme) = 0}$
• Fonksiyon sonlu toplamadır . Varsa Yani sonlu sayıda ikili ayrık setleri oluşan ve o zaman var${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dotsc, A_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ {\ mathcal {C}}} içinde$

${\ displaystyle \ mu \ sol (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ sağ) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} {\ mu (A_ {i})} }$.

Özellikle içerik, belirli koşullar altında yarım halkalardan halkalara genişletilebilir.

Sıfır miktar

Bir küme , eğer hold ise boş küme olarak adlandırılır . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$

Önlem

Bir σ katkı maddesi (veya sayılabilir katkı maddesi ) içeriğine ön önlem adı verilir. Olalım bir içerik, daha sonra her sekans için eğer bir premeasure sayılabilir birçok ikili ayrık gelen setleri ile tutar: ${\ displaystyle \ mu \ iki nokta üst üste {\ mathcal {C}} \ rightarrow [0, \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ {\ mathcal {C}}} içinde$

${\ displaystyle \ mu \ sol (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ sağ) = \ toplamı _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {i}) .}$

Ön önlemler, Carathéodory uzatma seti için özellikle önemlidir . Halka tarafından üretilen cebir üzerinde bir ön ölçüme devam edilebileceğini söylüyor . Ön önlem-sınırlı ise , bu devam açıktır. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

Ölçü

Bir ölçünün sayılabilir toplam değeri: Sayılabilir ayrık birleşmenin ölçüsü, tek tek alt kümelerin ölçülerinin toplamına eşittir.${\ displaystyle \ mu}$

Izin bir fonksiyon olduğunu atar her seti gelen σ-cebir üzerinde bir değere setinde arasında genişletilmiş reel sayılar (mümkünse için aşağıya bakınız genellemeler ). Aşağıdaki koşullar karşılanırsa bir önlem çağrılır: ${\ displaystyle \ mu \ iki nokta üst üste {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mu (A)}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle \ mu}$

• Boş seti sıfır boyutu vardır: .${\ displaystyle \ mu (\ boş küme) = 0}$
• Pozitiflik: herkes için .${\ displaystyle \ mu (A) \ geq 0}$${\ mathcal {A}}} içinde {\ displaystyle A \$
• Ölçü, sayıca toplamsaldır (ayrıca σ-toplamalı ): Sayıca çok sayıda ikili ayrık küme varsa , o zaman:${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dotsc}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ mu {} \ sol (\ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ sağ) = \ toplamı _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ mu {} ( A_ {k})}}$.

Bu , ikili ayrık kümelerin sırasını seçerek ölçünün sonlu olarak toplamaya uygun olduğu anlamına gelir .${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dotsc, A_ {n} \ neq \ emptyset, A_ {n + 1}: = \ emptyset, \ dotsc}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Bu nedenle, her ölçü bir σ-cebirine göre bir ön önlemdir, özellikle tüm özellikler içerikler ve ön önlemler için geçerlidir. Premeasure literatür ve altta yatan Cilt Sisteminin bölümlerinde nasıl tanımlandığı bir ölçüsü olduğu Not ile fazla keyfidir. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ mathcal {C}}} içinde {\ displaystyle \ emptyset \$${\ displaystyle \ Omega}$

Ölçme odası, ölçülebilir büyüklükler, ölçülebilir fonksiyonlar

Izin vermek alt kümelerden oluşan bir σ-cebir olsun . Sonra çift denir bir ölçülebilir uzay veya ölçüm odası . Elemanları arasında denir ölçülebilir miktarlarda . İki ölçüm alanı arasındaki bir fonksiyon ve ölçülebilir (daha kesin olarak - ölçülebilir) olarak adlandırılır, eğer her ölçülebilir miktarın arketipi ölçülebilirse. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste \ Omega \ ila \ Omega '}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle (\ Omega ', {\ mathcal {A}}')}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} '}$

Ölçme teorisinde, bir yandan bir ölçüm alanı ile ilgili ölçülebilirlik ve diğer yandan bir dış boyutla ilgili olarak Carathéodory'ye göre ölçülebilirlikten söz edildiğine dikkat edilmelidir . Bununla birlikte, ikincisi, dış boyut tarafından indüklenen ölçüm alanı açısından eşdeğer bir şekilde ölçülebilirlik olarak görülebilir.

Boyutsal uzay

Bir matematiksel yapıya , bir ölçüm alanı ve bu ölçüm alanında tanımlanmış bir ölçüm varsa ölçüm alanı denir . Ölçer alan bir örneği, olasılık alanı ile ilgili olasılık teorisi . Bu oluşur sonuç kümesinin , olay cebir ve olasılık ölçüsü . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle P}$

Neredeyse heryerde

Bir özellik tutan hemen hemen her yerde (ya -neredeyse her yerde, ya bütün -En elemanları) içinde tamamlayıcı tüm unsurları özelliğe sahip olduğu da bir boş küme böyle olup olmadığını. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Özelliğin geçerli olmadığı tümü kümesinin mutlaka ölçülebilir olması gerekmediğini, yalnızca ölçülebilir bir sıfır ölçü kümesinde yer alması gerektiğini unutmayın. ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

Gelen stochasticlerle , özelliği olduğunu da ifade hemen hemen her yerde olasılık uzayında bir şekilde hemen hemen kesin (ya da hemen hemen kesin ) özelliği. ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ ${\ displaystyle P}$

tamamlama

Sıfır kümenin alt kümelerine ihmal edilebilir denir . Tüm ihmal edilebilir miktarlar ölçülebilir ise, bir ölçü alanı tam olarak adlandırılır. İhmal edilebilir tüm kümeleri göstermesine izin verin . ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

Üçlü bir tamamlama adı : Bir koyarsa, (burada simetrik bir fark ve) . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}} ', \ mu')}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} ': = \ {A \ bigtriangleup N: A \ {\ mathcal {A}}, N \ {\ mathcal {N}} \}}$${\ displaystyle \ bigtriangleup}$${\ displaystyle \ mu '(A \ bigtriangleup N): = \ mu (A)}$

Örnekler

• Değeri her miktara atayan sıfır boyut .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$
• İçeriğe bir örnek , çok boyutlu Riemann integralini tanımlamak için kullanılabilen Jordan içeriğidir .
• Sayma ölçüsü atar her alt küme bir sonlu ya da sayılabilir sonsuzun, unsurları sayısını ayarlamak .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu (A) = | A |}$
• Lebesgue ölçümü gerçek sayılar kümesi üzerinde olan Borel σ-cebir ile bir tercüme-değişmez bir tedbir olarak tanımlanan .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mu (\ sol [0,1 \ sağ]) = 1}$
• Saç tedbir üzerinde yerel kompakt gruplar .
• Bir olasılık ölçüsü veya normalleştirilmiş ölçü, ile bir ölçüdür .${\ displaystyle \ mu (\ Omega) = 1}$
• Doğal sayılar kümesindeki sayma ölçüsü sonsuzdur, ancak σ-sonludur.${\ displaystyle \ mathbb {N}}$
• Reel sayılar kümesindeki kanonik Lebesgue ölçümü de sonsuzdur, ancak σ-sonludur, çünkü sayılabilir çok sayıda sonlu aralığın bir birleşimi olarak gösterilebilir .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sol [k, k + 1 \ sağ]}$

Genellemeler

Olası bir genelleme, fonksiyonun değer aralığı ile ilgilidir . ${\ displaystyle \ mu}$

• Negatif gerçek veya karmaşık değerlere ( işaretli ölçü veya karmaşık ölçü ) izin verebilirsiniz .
• Bir başka genelleme örneği , değerleri doğrusal operatörler olan spektral ölçüdür . Bu ölçü, özellikle spektral teorem için fonksiyonel analizde kullanılır .
• Genel olarak, Banach uzay değerli boyutları düşünülebilir. Vektörel ölçüye bakın . Son ikisi tamamen aynı.

Bir başka genelleme olasılığı, güç kümesi üzerindeki bir ölçünün tanımlanmasıdır.

• Dış boyuta bakın
• Diğer bir genelleme ise rastgele boyutlardır (rastgele ölçüler) . Örneğin, genel bir Poisson süreci gibi bir nokta süreci , içindeki rastgele nokta sayısını bir kümeye atayan rastgele bir sayma ölçüsü olarak görülebilir.

Sonuçlar

Hadwiger grubu tüm olası boyutlar içinde değişmez sınıflandırılır : Lebesgue ölçümü aynı zamanda özel bir durumdur Euler karakteristik . Minkowski görevlileri ve çapraz ölçülerle de bağlantılar vardır . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Ayrıca bakınız

• Ölçü-teorik indüksiyon
• Banach-Tarski paradoksu
• Vitali kalabalık

Edebiyat

• Jürgen Elstrodt : Ölçü ve entegrasyon teorisi. 4., düzeltilmiş baskı. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2 .
• Heinz Bauer : Ölçü ve entegrasyon teorisi. 2., gözden geçirilmiş baskı. de Gruyter, Berlin vd. 1992, ISBN 3-11-013626-0 .
• David H. Fremlin: Ölçü Teorisi. Cilt 1-5.

Bireysel kanıt

1. ↑ Jürgen Elstrodt: Ölçü ve entegrasyon teorisi. 2005, s. 3-6.
2. ↑ David Fremlin: Gerçek değerli ölçülebilir kardinaller. In: Haim Judah (ed.): Reals Set Teorisi (= Israel Mathematical Conference Proceedings. Cilt 6, ISSN  0792-4119 ). American Mathematical Society, Providenc RI 1993, ISBN, s. 151-304.
3. ^ ^{A b} Brian Skyrms: Zeno'nun Ölçü Paradoksu. In: Robert S. Cohen, Larry Laudan (Ed.): Physics, Philosophy and Psychoanalysis. Adolf Grünbaum Onuruna Yazılar (= Boston Studies in the Philosophy and History of Science. Cilt 76). Reidel, Dordrecht vd. 1983, ISBN 90-277-1533-5 , s. 223-254.
4. ↑ Colin Howson: De Finetti, Sayılabilir Katkı, Tutarlılık ve Tutarlılık. In: The British Journal for the Philosophy of Science. Cilt 59, No. 1, 2008, sayfa 1-23, doi : 10.1093 / bjps / axm042 .
5. ↑ ^{a b} Heinz Bauer: Ölçü ve Entegrasyon Teorisi. 1992, s. 9-10.
6. ↑ Jürgen Elstrodt: Ölçü ve entegrasyon teorisi. 6., düzeltilmiş baskı. Springer, Berlin ve diğerleri. 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , s.27 .
7. ↑ Klaus D. Schmidt: Ölçü ve olasılık. Springer, Berlin ve diğerleri, 2009, ISBN 978-3-540-89729-3 , s.43 .