Kuantum istatistikleri

Kuantum istatistik incelemek için geçerli makroskopik sistemler, yöntemler ve klasik kavramlarını istatistiki fiziği ve ayrıca dikkate alır kuantum mekanik parçacıkların davranış özelliklerini. Sistemin yalnızca makroskopik miktarlarla belirlenen, ancak çok sayıda farklı, bilinmeyen mikro durum tarafından gerçekleştirilebilen bir durumda olduğunu varsayar . Bununla birlikte, çeşitli olası mikro durumların sayımı, iki özdeş parçacığın değiştirilmesinin farklı bir mikro durum üretmeyeceği şekilde değiştirilir . Bu , özdeş parçacıkların ayırt edilemezliğinin özel karakterini hesaba katar. Ek olarak, tek tek parçacıkların durumlarının enerjileri için yalnızca kuantum mekaniği olarak mümkün değerlere izin verilir.

Kuantum mekaniği gibi, kuantum istatistikleri de aşağıdaki çifte cehaleti hesaba katar:

1. Bir sistemin durumu kesin olarak biliniyorsa - saf bir durum varsa - ve bu, gözlemlenebilirlerin içsel bir durumu değilse , o zaman bireysel bir ölçümün ölçülen değeri tam olarak tahmin edilemez.
2. Sistemin tam durumunu bilmiyorsanız, karışık bir durum varsayılmalıdır.

Açıklama

Sistem ise durum bir vektör tarafından verilir Hilbert boşluk ile veya bir dalga fonksiyonunun , biri söz saf halde . Klasik topluluğa benzer şekilde, genellikle çeşitli saf durumların toplulukları , durum karışımı e (anlamsal olarak belirtilen karışık koşullardan daha az kesin ) olarak kabul edilir. Bunlar yoğunluk operatörü tarafından tanımlanır (ayrıca istatistiksel operatör , durum operatörü veya yoğunluk matrisi olarak da adlandırılır ): ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ psi)}$${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$

${\ displaystyle \ rho = \ toplam _ {n} \; \; p_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle \ langle \ psi _ {n} |}$.

Sistemin münferit saf hallerde olduğu gerçek olasılıkları açıklar . ${\ displaystyle p_ {n} \! \,}$

Yer paylaşımı tutarsız . Bu, yoğunluk operatörünün durumlar arasındaki faz ilişkilerinden bağımsız olduğu gerçeğiyle ifade edilir . Uyumlu bir üst üste binme durumunda etkili olacak herhangi bir karmaşık faz faktörü , projeksiyon operatörlerinde öne çıkar . ${\ displaystyle | \ psi _ {n} \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {n} = | \ psi _ {n} \ rangle \ langle \ psi _ {n} |}$

Bunun bir sonucu, tutarlılığın önemli olduğu süreçlerdir, örn. B. kuantum hesaplama veya kuantum kriptografi , kuantum istatistikleri bağlamında kolayca tanımlanamaz veya termodinamik etkilerle daha zor hale getirilir .

Ayırt Edilemez Parçacıklar

Özdeş parçacıkların varlığı, kuantum istatistikleri için önemlidir. Bunlar, herhangi bir ölçümle ayırt edilemeyen kuantum nesnelerdir ; d. Yani, kuantum fiziği için temel olan sistemin Hamilton operatörü (bkz. Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Yapısı ), parçacık değişkenlerinde simetrik olmalıdır , ör. B. bireysel parçacığın uzamsal ve spin serbestlik derecelerinde . Çok vücut dalga fonksiyonu büyüklüğü 1 bir etmen değiştirilebilirlik kadar aynı kalmalıdır, her bir operatör bir gözlemlenebilir HafiflettiDİYARBAKIR her sahip bir permütasyon özdeş parçacıkların: ${\ displaystyle \ psi (1,2, \ ldots, N)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ sol [A, P \ sağ] = 0}$

Her permütasyon, transpozisyonlardan oluşabileceğinden ve geçerli olduğundan, yalnızca tamamen simetrik ( ) veya tamamen antisimetrik ( ) çok cisim durumlarını dikkate almak mantıklıdır : ${\ displaystyle \ tau _ {ij}}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} ^ {2} = 1}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = 1}$${\ displaystyle \ tau _ {ij} = - 1}$

${\ displaystyle \ tau _ {ij} | \ ldots, i, \ ldots, j \ ldots \ rangle = | \ ldots, j, \ ldots, i, \ ldots \ rangle = \ pm | \ ldots, i, \ ldots , j, \ ldots \ rangle}$.

Başka bir deyişle: özdeş parçacıkların simetrik çok parçacık durumları için, iki rastgele parçacık birbiriyle değiştirildiğinde toplam dalga fonksiyonunun işareti korunur ; antisimetrik çok parçacık durumları için değişir.

Deney, doğanın aslında sadece bu tür durumları gerçekleştirdiğini gösteriyor ki bu, değişim dejenerasyonunun olmamasından görülebiliyor . Bu gerçek aynı zamanda simetrizasyon postülatı olarak da adlandırılır .

Bozonlar ve fermiyonlar

Genel

Olasılıkları bir çok vücut sistemi, tek tek saf durumları arasında dağıtılır hangi tarafından açıklanmıştır Bose-Einstein istatistikleri için bozonları ve Fermi Dirac istatistikleri için fermiyonlar . ${\ displaystyle p \! \,}$

Bozonlar tamsayı spinli parçacıklardır , yarım tamsayı spinli fermiyonlardır ve her biri kuantum eylem birimi ile ölçülür . Ek olarak, bozonların dalga işlevi simetriktir ve fermiyonların işlevi antisimetriktir . ${\ displaystyle \ hbar = h / (2 \ pi)}$ ${\ displaystyle h \! \,}$

Parçacık spini ile dalga fonksiyonunun simetrisi arasındaki bu bağlantıya veya iki partikül birbiriyle değiştirildiğinde dalga fonksiyonunun işareti, spin istatistik teoremi olarak adlandırılır . Wolfgang Pauli tarafından göreli kuantum alan teorisinin genel ilkelerinden kanıtlandı.

İki boyutta, birbiri ile değiştirildiğinde bir faz faktörü de düşünülebilir; bu parçacıklara anyon denir, ancak henüz gözlemlenmemiştir. Herkesin spin için rasyonel sayıları olabilir . ${\ displaystyle e ^ {i \ phi}}$

Kuantum istatistiksel etkilere örnekler, i. H. Genel dalga fonksiyonunun komutasyon özelliklerinin belirleyici bir rol oynadığı etkiler şunlardır:

• bozonlar için
  • Bose-Einstein yoğunlaşması
  • Süperiletkenlik ( Cooper bozon olarak çiftlenir)
  • Süperakışkanlık
  • Siyah cisim boşluğu radyasyonu .
• fermiyonlar için
  • Isı kapasitesi ve katı
  • Bant yapısı arasında metal ve yarı iletkenler ,
  • Uyum beyaz cüceler ve nötron yıldız onların karşı kendi yerçekimi .

Dalga fonksiyonunun dönme davranışı ile bağlantı

Dalga fonksiyonunun dönme davranışı de bu bağlamda ilginç: 360 uzamsal dönme °, dalga fonksiyon fermiyonlar sadece 180 ° ile değiştirir: ${\ displaystyle \ psi (1,2, \ ldots, N)}$

${\ displaystyle \ psi (1,2, \ ldots, N) \ e ^ {i2 \ pi} \ psi (1,2, \ ldots, N) = - \ psi (1,2, \ ldots, N) }$,

bozonlar için çoğalırken:

${\ displaystyle \ psi (1,2, \ ldots, N) \ e ^ {i2 \ pi} \ psi (1,2, \ ldots, N) = + \ psi (1,2, \ ldots, N) }$.

Böyle bir 360 ° dönüş, iki parçacığın yer değiştirmesine izin verir: Parçacık 1, konum 2'ye hareket eder, ör. B. dairesel bir çizginin üst yarısında, partikül 2 ise bir buluşmayı önlemek için alt yarım daire çizgisinde 1'in boş konumuna hareket eder . Permütasyon denkleminin sonucu, fermiyonik dalga fonksiyonlarının olağandışı dönme davranışına uyar (matematiksel yapı: normal rotasyon grubu SO (3) için çift ​​grup SU (2) 'ye bakın ).

İdeal kuantum gazlarının istatistikleri

İdeal kuantum gazlarının istatistiklerini elde etmek için büyük kanonik topluluktaki bir sistemi ele alıyoruz , i. H. söz konusu sistem bir ısı banyosuna ve bir partikül rezervuarına bağlıdır. Büyük kanonik bölüm işlevi daha sonra şu şekilde verilir:

${\ displaystyle Z_ {G} = \ mathrm {Tr} \, e ^ {- \ beta ({\ hat {H}} - \ mu {\ hat {N}})} \ ,,}$

burada bir izleme , Hamilton operatörü ve parçacık sayısı operatör . İzlemeyi yürütmenin en kolay yolu , her iki işleç için ortak öz durumlardır . Bu, sözde jib koşullarının karşıladığı şeydir . İşte -inci özdurumun işgal numarası . Daha sonra devlet toplamı şöyle yazılır ${\ displaystyle \ mathrm {Tr}}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle {\ hat {N}}}$ ${\ displaystyle | n_ {1}, n_ {2}, \ ldots, n _ {\ nu}, \ ldots \ rangle}$${\ displaystyle n _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle Z_ {G} = \ toplamı _ {N} \ toplamı _ {E} e ^ {- \ beta (E- \ mu N)} \,}$

Enerji, toplam parçacık sayısına ve ilgili özdurumların işgaline bağlıdır. Oyunu bırakanların özdurumu enerjiye sahiptir . Sonra bir kat işgal ıncı özdurumu bir enerji katkısını ifade eder ve toplam enerjiyi gelen . Böylece devlet toplamı ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N = \ Sigma _ {\ nu} n _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ nu}}$${\ displaystyle n _ {\ nu}}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle E _ {\ nu} = n _ {\ nu} \ varepsilon _ {\ nu}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E_ {N} = \ Sigma _ {\ nu} E _ {\ nu}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} Z_ {G} & = \ sum _ {N = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {\ {n _ {\ nu} \ in I | \ Sigma _ {\ nu } n _ {\ nu} = N \}} e ^ {- \ beta \ sum _ {\ nu} (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n _ {\ nu}} \, \\ & = \ toplam _ {N = 0} ^ {\ infty} \ toplam _ {\ {n _ {\ nu} \ in I | \ Sigma _ {\ nu} n _ {\ nu} = N \}} \ prod _ {\ nu} e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n _ {\ nu}} \, \ end {hizalı}}}$

İkinci toplam, tüm olası işgal sayıları ( fermiyonlar veya bozonlar için) üzerinden geçer ve bunların toplamı her zaman toplam parçacık sayısını verir. Tüm toplam parçacık sayıları birbirine eklendiğinden, her iki toplam da ikinci toplamdaki kısıtlama kaldırılarak özetlenebilir: ${\ displaystyle n _ {\ nu} \ I}$${\ displaystyle I = \ {0.1 \}}$${\ displaystyle I = \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle Z_ {G} = \ prod _ {\ nu} \ toplamı _ {n _ {\ nu} \ I} e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n _ { \ nu}} \,}$

Toplam, iki tür parçacık için değerlendirilebilir. Fermiyonlar için

${\ displaystyle Z_ {G} = \ prod _ {\ nu} \ toplamı _ {n _ {\ nu} = 0} ^ {1} e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n_ {\ nu}} = \ prod _ {\ nu} \ left (1 + e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu)} \ sağ) \,}$

ve bozonlar için

${\ displaystyle {\ begin {align} Z_ {G} & = \ prod _ {\ nu} \ sum _ {n _ {\ nu} = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n _ {\ nu}} = \ prod _ {\ nu} \ toplam _ {n _ {\ nu} = 0} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu)} \ sağ) ^ {n _ {\ nu}} \\ & = \ prod _ {\ nu} {\ frac {1} {1-e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu)}}} \ quad \ mathrm {if} \ quad \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu)> 0 \ end {hizalı}} \,}$

Son adımda geometrik serinin yakınsaması gerekiyordu. Büyük kanonik bölüm işlevi bilgisi ile, büyük kanonik potansiyel

${\ displaystyle \ Phi (T, V, \ mu) \ eşdeğeri - {\ frac {1} {\ beta}} \ ln Z_ {G}}$

belirtin. Termodinamik büyüklükler entropi , basınç ve parçacık sayısı (veya her durumda ortalama miktarlar) bu şekilde elde edilebilir: ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} S \\ p \\ N \ end {pmatrix}} = - {\ begin {pmatrix} \ kısmi _ {T} \\\ kısmi _ {V} \\\ kısmi _ { \ mu} \ end {pmatrix}} \ Phi (T, V, \ mu) \,}$

Biz ortalama işgal sayısında burada ilgilendiğiniz -th devlet. Kronecker deltası ile olan ilişkiyi kullanarak elde edilen: ${\ displaystyle \ langle n_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ kısmi \ varepsilon _ {\ nu} / \ kısmi \ varepsilon _ {j} = \ delta _ {\ nu, j}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {\ nu, j}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ langle n_ {j} \ rangle & = {\ frac {1} {Z_ {G}}} \ prod _ {\ nu} \ sum _ {n _ {\ nu} \ I} n_ {j} e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n _ {\ nu}} \\ & = {\ frac {1} {Z_ {G}}} \ içinde left (- {\ frac {1} {\ beta}} {\ frac {\ kısmi} {\ partial \ varepsilon _ {j}}} \ sağ) \ underbrace {\ prod _ {\ nu} \ sum _ {n _ {\ nu} \, I} e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu) n _ {\ nu}}} _ {= Z_ {G}} \\ & = - {\ içinde frac {1} {\ beta}} {\ frac {\ kısmi} {\ partial \ varepsilon _ {j}}} \ ln Z_ {G} \ end {hizalı}} \,}$

Bu, fermiyonlar için Fermi-Dirac dağılımını verir

${\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ langle n_ {j} \ rangle & = - {\ frac {1} {\ beta}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ varepsilon _ {j}}} \ toplam _ {\ nu} \ ln \ left (1 + e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu)} \ sağ) = {\ frac {e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {j} - \ mu)}} {1 + e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {j} - \ mu)}}} \\ & = {\ frac {1} {e ^ {\ beta (\ varepsilon _ {j} - \ mu)} + 1}} \ end {hizalı}} \,}$

ve bozonlar için Bose-Einstein dağılımı

${\ displaystyle {\ başla {hizalı} \ langle n_ {j} \ rangle & = - {\ frac {1} {\ beta}} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi \ varepsilon _ {j}}} \ toplam _ {\ nu} \ ln {\ frac {1} {1-e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {\ nu} - \ mu)}}} = {\ frac {e ^ {- \ beta ( \ varepsilon _ {j} - \ mu)}} {1-e ^ {- \ beta (\ varepsilon _ {j} - \ mu)}}} \\ & = {\ frac {1} {e ^ {\ beta (\ varepsilon _ {j} - \ mu)} - 1}} \ end {hizalı}} \,}$

Merkezi uygulamalar

Biçimcilik hem termodinamik hem de kuantum mekaniği olaylarını hesaba katar.

Az önce tartışılan fermiyonlar ve bozonlar arasındaki fark önemlidir: B. kuantize edilmiş ses dalgaları, sözde fononlar , bozonlar , elektronlar ise fermiyonlardır . Temel olarak uyarımlar söz yapmak için çok farklı katkıları özgül ısı katı organlarında : fonon katkı karakteristik sıcaklık bağımlılığı ise elektron katkı Bütün katılar yeterince düşük sıcaklıklarda davranır, yani, burada, her iki uyarımlar (örneğin metaller) meydana baskın katkı. ${\ displaystyle \ propto T ^ {3} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ propto T ^ {1}}$

Bu ve benzeri problemler için genellikle kuantum alan teorisi yöntemleri kullanılabilir, örn. B. Feynman diyagramları . Süperiletkenlik teorisi da bu şekilde tedavi edilebilir.

Ayrıca bakınız

• Kuantum tomografi

Edebiyat

• W. Nolting: Temel Ders Teorik Fizik, Cilt 7: Çok Parçacık Teorisi , Springer, Berlin, ISBN 9783540241171 .
• W. Nolting: Temel Ders Teorik Fizik, Cilt 6: İstatistik Fizik , Springer, Berlin, ISBN 9783540688709 .
• NW Ashcroft, DN Mermin: Katı Hal Fiziği , Oldenbourg Wissensch. Vlg , ISBN 9783486577204 .
• U. Krey, A. Owen: Temel Teorik Fizik - Kısa Bir Bakış . tek cilt, bölüm 4, Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-36804-5 .

Referanslar ve dipnotlar

1. ↑ Wolfgang Nolting: Temel Ders Teorik Fizik 6: İstatistik Fizik. Springer, 2007, ISBN 3540688714 , s. 101 ( Google kitap aramasında sınırlı önizleme ).
2. ↑ ile ifade edilen olasılığın korunmasından dolayı .${\ displaystyle | \ psi | ^ {2}}$