hipotenüs

İn geometrisi , bir hipotenüsüdür bir en uzun kenarı dik üçgen her zaman, yan karşıt dik açı . Uzunluğu , bir dik üçgen hipotenüs kullanılarak bulunabilir Pisagor teoremini söylüyor, kare hipotenüs uzunluğuna eşittir toplamı diğer iki kenar uzunluklarının kareler. Örneğin katetlerden biri 3 cm (9 cm² kare), diğeri 4 cm (16 cm² kare) ise kareleri toplamı 25 cm² olur. Hipotenüsün uzunluğu 25 cm²'nin karekökü olup 5 cm'dir.

etimoloji

Hipotenüs kelimesi Yunanca .eta τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα hē Ten ORTHEN gōnían hypoteínousa'dan (sc. Γραμμή programları veya πλευρά pleura ) gelir, " LLODORUS dik açının karşısındaki taraf" ( A ) anlamına gelir . Nominalleştirilmiş ortaç , ἡ ὑποτείνουσα hē hypoteínousa MÖ dördüncü yüzyıla kadar kullanıldı. Üçgenin hipotenüsü için kullanılır ( Plato , Timaeus 54d'de belgelenmiştir ). Yunan terim oldu ödünç içine geç Latince formu hypotēnūsa içinde . Hipotenüs olarak -e ile yazılan yazım, Fransız kökenlidir ( Estienne de La Roche 1520 ).

hesaplama

Hipotenüsün uzunluğu, belirtilen iki uzunluk veya bir uzunluk ve bir dar açı kullanılarak hesaplanabilir.

iki katet

Eğer isim ise dik açılı üçgenin için uzunluğunu hipotenüs ve uzunluklarını dik kenar ve e göre Pisagor teoremi , şu geçerlidir : ${\ görüntü stili c}$ ${\ görüntü stili a}$${\ görüntü stili b}$

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Bunu çözersen formülü elde edersin (şart altında ) ${\ görüntü stili c}$${\ displaystyle c \ geq 0}$

${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}},}$

hipotenüsün uzunluğunu hesaplayabilir.

Katetus ve yükseklik

Yüksekliği bir hisse dik üçgen iki üçgen içine. Yüksekliğin tabanı, hipotenüsü hipotenüs bölümlerine böler ve . Pisagor teoremine göre , yani . Dik üçgen olduğunu benzer üç nedeniyle parçası üçgenler için iç açılar vardır aynı. Bu nedenle, karşılık gelen en boy oranları eşleşir ve uygulanır , bu nedenle ${\ görüntü stili h}$${\ görüntü stili c}$${\ görüntü stili p}$${\ görüntü stili q}$${\ displaystyle h ^ {2} + p ^ {2} = bir ^ {2}}$${\ displaystyle p = {\ sqrt {a ^ {2} -h ^ {2}}}}$${\ görüntü stili {\ frac {c} {a}} = {\ frac {a} {p}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {a ^ {2}} {p}} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -h ^ {2}}}}$

ve ayrıca

${\ displaystyle c = {\ frac {b ^ {2}} {q}} = {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {b ^ {2} -h ^ {2}}}}.$

Katetus ve dar açı

Sinüs ve kosinüs tanımına göre aşağıdakiler geçerlidir:

${\ displaystyle \ günah (\ alpha) = {\ frac {a} {c}}, \ dörtlü \ cos (\ alpha) = {\ frac {b} {c}}, \ dörtlü \ günah (\ beta) = {\ frac {b} {c}}, \ dörtlü \ cos (\ beta) = {\ frac {a} {c}}}$

${\ displaystyle c = {\ frac {a} {\ sin (\ alpha)}}, \ dörtlü c = {\ frac {b} {\ cos (\ alpha)}}, \ dörtlü c = {\ frac {b } {\ günah (\ beta)}}, \ dörtlü c = {\ frac {a} {\ cos (\ beta)}}}$

Yükseklik ve dar açı

Tanjant ve kotanjant tanımına göre , kısmi üçgenlerin kenarları ve açıları için aşağıdakiler geçerlidir:

${\ displaystyle \ tan (\ alpha) = {\ frac {p} {h}}, \ dörtlü \ karyola (\ alpha) = {\ frac {q} {h}}, \ dörtlü \ tan (\ beta) = {\ frac {q} {h}}, \ dörtlü \ karyola (\ beta) = {\ frac {p} {h}}}$

${\ displaystyle p = h \ cdot \ tan (\ alpha), \ quad q = h \ cdot \ cot (\ alpha), \ quad q = h \ cdot \ tan (\ beta), \ quad p = h \ cdot \ karyola (\ beta)}$

Bu hipotenüsün uzunluğu ile sonuçlanır

${\ displaystyle c = p + q = h \ cdot \ tan (\ alpha) + h \ cdot \ cot (\ alpha) = h \ cdot (\ tan (\ alpha) + \ cot (\ alpha))}$

${\ displaystyle c = p + q = h \ cdot \ cot (\ beta) + h \ cdot \ tan (\ beta) = h \ cdot (\ cot (\ beta) + \ tan (\ beta))}$

Birçok bilgisayar dilihypot(x, y) , yukarıdaki değeri döndüren ISO-C standart işlevini destekler . Fonksiyon, formüle göre basit hesaplamanın taşması veya altında kalması durumunda bile başarısız olmayacak şekilde tasarlanmıştır ve ayrıca genellikle biraz daha kesindir.

Bazı bilimsel hesap dönüştürmek için bir işlevi sağlayan Kartezyen koordinatları için kutupsal koordinatlarda . Bu , eğer ve verilirse hem hipotenüsün uzunluğunu hem de hipotenüsün taban çizgisiyle oluşturduğu açıyı verir. Döndürülen açı genellikle tarafından verilir. ${\ görüntü stili x}$${\ görüntü stili y}$arctan2(y, x)

özellikler

Ortogonal projeksiyonlar :

• Hipotenüsün uzunluğu , her iki kateterin ortogonal çıkıntılarının uzunluklarının toplamıdır .

${\ görüntü stili c = p + q}$

• Yüksekliği bir hisse dik üçgen iki üçgen içine. Dik üçgen olan benzer üç nedeniyle parça üçgenler iç açılar aynı (bakınız resim). Bu nedenle aşağıdaki en boy oranları geçerlidir:

${\ görüntü stili {\ frac {a} {c}} = {\ frac {p} {a}}}$

${\ görüntü stili {\ frac {b} {c}} = {\ frac {q} {b}}}$

• Kare bir bacak uzunluğuna olan ürün ortogonal çıkıntının uzunluğu ve hipotenüs uzunluğu.

${\ displaystyle a ^ {2} = p \ cdot c}$

${\ displaystyle b ^ {2} = q \ cdot c}$

• Yani bir bacağın uzunluğu, dik izdüşümünün uzunluğu ile hipotenüsün uzunluğu arasındaki geometrik ortalamadır .

${\ displaystyle a = {\ sqrt {p \ cdot c}}}$

${\ displaystyle b = {\ sqrt {q \ cdot c}}}$

Trigonometrik fonksiyonlar

Yardımıyla trigonometrik fonksiyonlar bir veya iki akut değerlerini hesaplayabilir açıları ve dik üçgen . ${\ görüntü stili \ alfa}$${\ görüntü stili \ beta}$

Oranı geçerli olan hipotenüs ve katetusun uzunlukları verilmiştir : ${\ görüntü stili c}$ ${\ görüntü stili b}$

${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = \ günah (\ beta)}$

Ters trigonometrik fonksiyonu olan

${\ displaystyle \ beta = \ arcsin \ sol ({\ frac {b} {c}} \ sağ),}$

hangi açı cathetus karşısındadır . Dik kenar bitişik açılı olan. Bu olabilir da değiştirmek için formül kullanmak açının büyüklüğü${\ görüntü stili \ beta}$${\ görüntü stili b}$${\ görüntü stili b}$${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ} - \ beta.}$${\ görüntü stili \ beta}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ sol ({\ frac {a} {c}} \ sağ) \,}$

diğer katetüsün hangisinde temsil edildiğini hesaplayın . ${\ görüntü stili a}$

Ayrıca bakınız

• üçgen
• Manhattan metriği
• trigonometri
• Pisagor

İnternet linkleri

• Hypotenuse içinde Matematik Ansiklopedisi
• Eric W. Weisstein : Hipotenüs . İçinde: MathWorld (İngilizce).