Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Felix Arnold (Mart doğumlu 31 1932 yılında Berlin'de ; † Şubat 20, 2006 tarihinden bu yılında Mülheim an der Ruhr ) bir oldu Alman matematikçi ve üniversite profesörü . Çalışmalarının odak noktası evrensel cebir ve geometri bağlantısıydı , geometrik ilişki cebirini kurdu .

Hayat

Arnold okudu Hamburg Üniversitesi 1958 1952 arasında ve alınan doktora gelen Emanuel Sperner bir tez ile 1965 yılında uzak mekânlarda ile afin boşluk . 1970 yılında Sperner ile habilitasyonunu Genel Afin Yapılar Çerçevesinde Halkaların Geometrisi adlı teziyle tamamladı . 1966'da Bochum'daki Ruhr Üniversitesi'nde asistan oldu ve 1973'te Duisburg'da o zamanki kapsamlı üniversite kurulduğunda matematik konusunda kurucu senatör olarak atandı . Arnold, 1977'de Heinrich Wefelscheid ile birlikte Results in Mathematics dergisini kurdu .

bitki

Arnold, gereksiz Desargue afin ve projektif geometrilerin cebirleştirilmesi problemini, tanıttığı akrabaların ve çoklu grupların ilişkisel cebirsel hesabı ile çözmeyi başardı . Gibi geleneksel yapıların grupoidler , yarı-modülleri ya da üçlü organları algebraize zayıf afin geometrileri , özellikle de, yani, sigara Desarguean afin düzlem ve bunun da bu geometriler oluşturabilir. Bununla birlikte, her durumda, eşanlamlılık koşulu, eksik koordinat alanları nedeniyle veya geçiş süreci için gerekli olan bir koordinat sistemi seçimine bağımlılıklar nedeniyle ihlal edilmektedir. Yalnızca sunulan geometrinin noktaları kümesi üzerinde işleyen bir dizi ilişkiden oluşan afin akrabalarla, cebirleştirme ve geometrizasyonun geçiş süreçleri eşanlamlı hale gelir, yani. H. izomorfizm dışında birbirlerinin etrafında.

İlişkisel cebirsel konuşma tarzının bir başka avantajı, yapısal genişletilebilirliğinde yatmaktadır: Geometrik ilişkisel cebirin dili, kapsamlı ek geometrik aksiyomlara (cümlecikler) eşdeğer olan basit hesaplama kurallarını belirlemek için uygundur. Arnold tarafından geliştirilen iki aşamalı (H2) homojenlik kuralı, paralel benzeri üçgenlerin, yani Tamaschke aksiyomunun inşa edilebilirliğine eşdeğerdir . Üç seviyeli (H3) homojenlik kuralı, Desargues'in düzlemdeki büyük afin teoreminin geçerliliğinde geometrik tarafta eşdeğerini bulur. Afin yönlü akrabalardaki operatörlerin bir antisimetrisi aracılığıyla Arnold, eş anlamlı olarak David Hilbert anlamında düzenlenen afin geometrileri tanımlayabildi. Doktora öğrencileri Roland Soltysiak, Andreas Kopp ve Chandrasekara Senevirathne daha sonra neredeyse vücut geometrilerinin, çizgi geometrilerinin ve - kısacası: yarı sıralı - neredeyse benzeşik akrabalar kullanarak Emanuel Sperner'ın anlamında düzenlenmiş afin geometrilerin eş anlamlı eşdeğerini bulmayı başardılar. hat akrabaları ve afin oryantasyon akrabaları.

Tüm bu geometrilerde, zaman henüz bir rol oynamıyor, ancak Arnold aynı zamanda, kural akrabaları ile zaman yapılarını dahil ederek afin akrabalarını dinamize etmeyi başarıyor . Diferansiyel denklem sistemlerinin karmaşık matematiksel yöntemleri , diferansiyel geometri veya diferansiyel cebir dinamik sistemleri analiz etmek ve modellemek için kullanılırken, genel sistem terimi ile eşanlamlı olan "kural-akrabaları" ile zaman ayrık ve sürekli sistemler için yeni bir matematiksel dil sağlar. Eduardo D. Sontag. Bu yaklaşımla, doktora öğrencileri Peter Stemper, Marc Schleuter ve Dirk Wetscheck , aynı matematiksel yöntemi kullanarak kontrol teorisinden doğrusal, doğrusal olmayan ve bulanık sistemlerin örnek sınıflarını yakalayabildiler; Axel Sauerland, Desargue'ın afin akrabalarına durum homojen ve giriş homojen çift doğrusal sistemlerle tanımlanan kural akrabalarının izomorfizmini gösterdi.

Arnold başlangıçta projektif geometrileri sözde (üç boyutlu) projektif çoklu gruplarla eşanlamlı olarak tanımladı. Eşanlamlı olarak bir yansıtmalı (2x2)-bağıntılı tanımlayan bu nokta kümesi üzerinde çalışan 2x2 ilişkileriyle, düzlemdeki Desargues'in büyük yansıtmalı teoreminin tanımı, yapıcı genişleyebilirlik yoluyla bir (H2x2) -homojenite kuralıyla başarılı olur.

Arnold'un cebir ve afin veya projektif geometrilerin kavramsal dünyasındaki afin veya yansıtmalı akrabaları , bir ve aynı durum için iki farklı konuşma şekli olarak ortaya çıkıyor. Ek olarak, akrabalarıyla birlikte, biliş teorisinin matematiksel bir tanımını da başarır . Basit dinamik sistemlerin düzenlenmesindeki eylem teorisi kavramları ve bilişsel yönler de ilişki teorisi yöntemleri kullanılarak onun tarafından matematikselleştirilir.

Yazı tipleri

• Zayıf bir şekilde benzeşen uzayların uzak alanları hakkında. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 30, Universität Berlin, Hamburg 1967, s. 75-105, doi: 10.1007 / BF02993993 .
• Sperner'ın yarı modülleri hakkında. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 31, Universität Berlin, Hamburg 1967, s. 206-212, doi: 10.1007 / BF02992400 .
• Neredeyse alanlar üzerindeki zayıf afin vektör uzaylarının cebirsel ve geometrik karakterizasyonu. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 32, Universität Berlin, Hamburg 1968, s. 73-88 , doi: 10.1007 / BF02993915 .
• Kabuk işlemleri ve sonlu Steinitzer takas seti. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 33, Universität Berlin, Hamburg 1969, s. 32-42, doi: 10.1007 / BF02992802 .
• Genel afin yapılar bağlamında halkaların geometrisi. İçinde: Hamburg bireysel matematiksel yazıları. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen Yeni Seri, Sayı 4, 1971.
• Halkaların geometrisine giden bir yol. In: Journal of Geometry. Cilt 1, sayı 2, 1971, s. 155-167, doi: 10.1007 / BF02150269 .
• Geometrik ve cebirsel yapıların bağlantısı. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 37, Universität Berlin, Hamburg 1972, sayfa 1-5, doi: 10.1007 / BF02993894 .
• İlişki-teorik yöntemler yardımı ile afin gemotrinin projektif kapanması. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 40, Universität Berlin, Hamburg 1974, s. 197-214, doi: 10.1007 / BF02993598 .
• Düzenlenmiş afin ve projektif geometrilerin ilişki-teorik cebirleştirmesi. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 45, Universität Berlin, Hamburg 1976, s. 3-60, doi: 10.1007 / BF02992902 .
• Piaget'in gelişim psikolojisi çerçevesinde ilişkisel gruplamalar. In: Geometrik Cebire Katkılar. 1977, s. 361-366, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_49 .
• Bir vektör hesabı yardımıyla genel afin ve ilişkili projektif yapıların cebirleştirilmesi için. In: Geometrik Cebire Katkılar. 1977, s. 25-29, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_2 .
• Homojen olan Sperner uzaylarını iki noktada karakterize etmek. In: Journal of Geometry. Cilt 9, sayı 1-2, 1977, s. 9-17, doi: 10.1007 / BF01918053 .
• İki noktada homojen olan Sperner dağılım uzaylarının, uzak alanlarına özel önem verilerek yapısı hakkında. In: Matematik Arşivleri. Cilt 30, sayı 1, 1978, s. 551-560, doi: 10.1007 / BF01226100 .
• Yön cebirleri. In: Geometriye Katkılar. 1979, s. 379-382, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5765-9_22 .
• İki noktada homojen dağılım gösteren Sperner düzlem yıldızlarının oluşturulması. In: Journal of Geometry. Cilt 16, Sayı 1, 1981, sayfa 83-92, doi: 10.1007 / BF01917577 .
• Affine Akrabalar. İçinde: Matematikte Sonuçlar. Cilt 12, Birkhäuser, Basel 1987, s. 1–26, doi: 10.1007 / BF03322375 .
• Yansıtmalı seviyelerin cebirleştirilmesi için ilişkisel bir hesap hakkında. İçinde: Matematikte Sonuçlar. Cilt 19, Birkhäuser, Basel 1991, s. 211-233, doi: 10.1007 / BF03323282 .
• Kontrol teorisi ve kural akrabaları sistem kavramı. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. 28, Universität Berlin, Hamburg 1995, s. 195-208, doi: 10.1007 / BF03322252 .

Edebiyat

• H.-J. Arnold, W. Benz , H. Wefelscheid (editörler): Geometrik cebire katkılar. Birkhäuser , Basel 1977, ISBN 3-0348-5573-7 .

İnternet linkleri

• Hans-Joachim Arnold , Matematik Şecere Projesinde (İngilizce)

Bireysel kanıt

1. ↑ H.-J. Arnold: Affine Akrabalar. İçinde: Matematikte Sonuçlar. Cilt 12, Birkhäuser, Basel 1987, sayfa 1-26.
2. ↑ H.-J. Arnold: Düzenlenmiş afin ve projektif geometrilerin bir ilişki-teorik cebirleştirmesi. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 45, Universität Berlin, Hamburg 1976, s. 3-60.
3. ↑ R. Soltysiak: İlişki-teorik yöntemler yardımıyla afin yapıların neredeyse cisimler üzerine izdüşümü . Tez. Kapsamlı Duisburg Üniversitesi, 1980.
4. ↑ A. Kopp: Genel afin yapıların cebirlenmesi ve inşası için ilişki teorik araçlarının geliştirilmesi . Tez. Duisburg Üniversitesi, 1986.
5. ↑ CM Senevirathne: Yarı sıralı afin ve projektif geometrilerin ilişkisel karakterizasyonu . Tez. Kapsamlı Duisburg Üniversitesi, 1990.
6. ↑ H.-J. Arnold: Kontrol teorisi ve kural akrabalarının sistem kavramı. In: Hamburg Üniversitesi Matematik Seminerinden İncelemeler. Cilt 28, Berlin Üniversitesi, Hamburg 1995, s. 195-208.
7. ^ ED Sontag: Matematiksel Kontrol Teorisi. Deterministik Sonlu Boyutlu Sistemler. 2. baskı, Springer-Verlag, 1998.
8. ↑ P. Stemper: Doğrusal kontrol sistemlerinden zayıf şekilde benzeşik geometrilerin ilişkisel yapısı . Tez. Kapsamlı Duisburg Üniversitesi, 1997.
9. ↑ M. Schleuter: Kontrol sistemleri tarafından oluşturulan akrabalardaki homojenlik özelliklerinin ilişkisel cebirsel analizi . Tez. Kapsamlı Duisburg Üniversitesi, 1997.
10. ↑ D. Wetscheck: İlişkisel cebirsel ve grafik teorik yöntemlerle kontrol sistemlerinin bulanıklaştırılması . Tez. Kapsamlı Duisburg Üniversitesi, 1999.
11. ↑ A. Sauerland: Doğrusal ve doğrusal olmayan kontrol sistemleri sınıflarının göreli diferansiyel denklemleri . Tez. Duisburg Üniversitesi, 1994.
12. ↑ H.-J. Arnold: Yansıtmalı seviyelerin cebirleştirilmesi için ilişkisel bir hesap hakkında. İçinde: Matematikte Sonuçlar. Cilt 19, Birkhäuser, Basel 1991, s. 211-233.
13. ↑ H.-J. Arnold: Homojenlik kuralı üzerine bir açıklama (H 2 × 2). (= Matematik Bölümü / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg tarafından yayınlanan bir dizi yayın. Cilt 370). 1997.
14. ↑ H.-J. Arnold: Piaget'in gelişim psikolojisi bağlamında ilişkisel teorik gruplamalar. In: Geometrik Cebire Katkılar. 1977, s. 361-366.
15. ↑ E. Heineken, H.-J. Arnold, A. Kopp, R. Soltysiak: Farklı ölü zaman koşulları altında basit bir dinamik sistemi düzenlerken düşünme stratejileri. İçinde: Dil ve Biliş. 11/1986, s. 136-148.
16. ↑ H.-J. Arnold: Teknik sistemler üzerinde hedeflenen insan eylemlerinin matematiksel açıklaması için. (= Matematik Bölümü / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg tarafından yayınlanan bir dizi yayın. Cilt 173). 1990.
17. ↑ H.-J. Arnold: Uygun eylem alanlarında matematiğin doğuşu üzerine. (= Matematik Bölümü / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg tarafından yayınlanan bir dizi yayın. Cilt 196). 1991.