Stokastik entegrasyon

Teorisi stokastik entegrasyonu ile ilgilenen integral ve diferansiyel denklemler stochasticlerle . Henri Léon Lebesgue ve Thomas Jean Stieltjes'in integral terimlerini daha geniş bir entegratör yelpazesine genelleştirir . Orada stokastik süreçler sonsuz olan varyasyon özellikle Wiener süreci entegratörleri olarak onaylanmış. Stokastik entegrasyon teorisi , uygulamaları çoğunlukla stokastik diferansiyel denklemlerin araştırılmasıyla ilgili olan stokastik analizin temelini temsil eder. kullanmak.

Itō ve Stratonowitsch'den sonraki integral terimler

Let iki (ille değil bağımsız ) reel değerli rassal süreçler olmak ortak üzerinde olasılık alanı . Itō yekpare sonra ( Itō Kiyoshi gelen) için bir aralık boyunca verilen isimdir rastgele değişkenin${\ displaystyle (X_ {t}), (Y_ {t}), t \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle I: = \ int _ {a} ^ {b} X_ {t -} \, \ mathrm {d} Y_ {t}: = \ lim _ {n \ - \ infty} \ toplamı _ {i = 1} ^ {n} X_ {a + (i-1) h} (Y_ {a + ih} -Y_ {a + (i-1) h}), \ quad h = {\ frac {ba} {n }}.}$

Karşılık gelen Stratonowitsch integrali ( Ruslan Leontjewitsch Stratonowitsch'den sonra ) aşağıdaki gibi aynı seçim için hesaplanır:${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle S: = \ int _ {a} ^ {b} X_ {t} \ circ \ mathrm {d} Y_ {t}: = \ lim _ {n \ - \ infty} \ toplamı _ {i = 1 } ^ {n} {\ frac {1} {2}} (X_ {a + (i-1) h} + X_ {a + ih}) (Y_ {a + ih} -Y_ {a + (i- 1) H}).}$

Itō integrali ile integrand her zaman aralığın başında değerlendirilir , Stratonowitsch ile başlangıç ​​ve bitiş değerlerinin ortalaması alınır. Sıradan (halinde Riemann veya Lebesgue (rastgele olmayan) ve yeterince yumuşak (örneğin) belirleyici entegralleri sürekli fonksiyonlar), bu sonuç üzerinde hiçbir etkisi yoktur, fakat stokastik durumda aşağıdakiler geçerlidir: Eğer ve vardır bağımsız değildir, bu aslında farklı değerlere yol açabilir (aşağıdaki örneğe bakın). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Olası entegratörleri bir sınıf olarak , semimartingals edilir kabul en genel formülasyonunda , integraller olan tahmin işlemler . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

Brown hareketi ve integrali${\ displaystyle B_ {s}}$${\ displaystyle B_ {s} \, \ mathrm {d} B_ {s}}$

misal

Bir (standart) Wiener süreci olun . Itō integrali hesaplanacaktır . Kısalık uğruna kimliği yazın ve kullanın ${\ displaystyle (W_ {t}), t> 0}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} W_ {t} \, \ mathrm {d} W_ {t}}$${\ displaystyle B_ {i}: = W_ {iT / n}, \ Delta B_ {i}: = B_ {i + 1} -B_ {i}}$

${\ displaystyle B_ {i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2} = (B_ {i + 1} -B_ {i}) ^ {2} + 2B_ {i} (B_ {i + 1} -B_ {i}),}$

bu nedenle yukarıdaki entegrasyon kuralından elde edilir

${\ displaystyle {\ begin {align} I & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} B_ {i} (B_ {i + 1} -B_ { i}) \\ & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (B_ {i + 1 } ^ {2} -B_ {i} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (B_ {i + 1} -B_ { i}) ^ {2} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (B_ {i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} \ lim _ {n \ - \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ { n -1} (\ Delta B_ {i}) ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ lim _ {n \ ila \ infty} \ sola (B_ {n} ^ {2 } -B_ {0} ^ {2} \ sağ) - {\ frac {T} {2}} \ lim _ {n \ ila \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ left ({\ sqrt {\ frac {n} {T}}} \ Delta B_ {i} \ right) ^ {2}. \ End {hizalı}}}$

Eğer kişi kullanımları ile ilgili bu bir yandan tutar, ve özelliği, diğer yandan, IID olan dağıtılmış (nedeniyle bağımsız , normal dağılım Brown hareketi artar), daha sonra aşağıdaki büyük sayılar kuralı alt sınır değerinin ${\ displaystyle B_ {0} = W_ {0} = 0, B_ {n} = W_ {T}}$${\ displaystyle \ sol ({\ sqrt {\ frac {n} {T}}} \ Delta B_ {i} \ sağ) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$

${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} W_ {T} ^ {2} - {\ frac {T} {2}}.}$

Karşılık gelen Stratonowitsch integralini hesaplamak için Brown hareketinin sürekliliği kullanılır :

${\ displaystyle {\ begin {align} S & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2}} (B_ {i + 1} + B_ {i}) (B_ {i + 1} -B_ {i}) \\ & = \ lim _ {n \ ila \ infty} \ toplam _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2}} (B_ {i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2}) \\ & = \ lim _ {n \ ila \ infty} {\ frac {1 } {2}} (B_ {n} ^ {2} -B_ {0} ^ {2}) \\ & = {\ frac {1} {2}} W_ {T} ^ {2} \ end {hizalı }}}$

Aynı süreç üzerindeki Itō ve Stratonowitsch integrali böylece farklı sonuçlara yol açar, bu sayede Stratonowitsch integrali olağan (deterministik) integral hesabından gelen sezgisel önseziye daha çok karşılık gelir.

Martingale özelliği

Açık farkla en yaygın kullanılan entegratör Brownian hareketidir. Stratonowitsch integralinin sahip olmadığı ve nihayetinde Itō integralinin geniş çapta standart olarak kabul edilmesine yol açan belirleyici avantaj, aşağıdaki özelliktir: ${\ displaystyle Y}$

Izin bir sabit beklenti Levy işlemi , bir sigara ilerisi sınırlı işlevi ve (diğer bir deyişle, her biri için olan açısından ölçülebilir σ-cebir üretilen rastgele değişkenlerin ), o zaman işlem bir ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle \ sigma (Y_ {s}; s <t)}$${\ displaystyle Y_ {s}, \, s <t}$

${\ displaystyle t \ mapsto \ int _ {0} ^ {t} X_ {s} \, \ mathrm {d} Y_ {s}}$

bir yerel martingale doğal ilgili süzme arasında . Ek kısıtlamalar altında, integral süreç bile bir martingaldır .${\ displaystyle Y}$

Uygulama: Bu süreç

Bu durumda, bir: Itōschen integral terimi başlayarak, stokastik süreçlerinin geniş bir sınıfını tanımlamak mümkündür stokastik süreç ile Ito işlemi bir Brown hareketi olduğunda denilen ile ve stokastik süreçler , ile olan ${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle (W_ {t})}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle (a_ {t} (X_ {t}, t))}$${\ displaystyle (b_ {t} (X_ {t}, t))}$

${\ displaystyle X_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} a_ {s} (X_ {s}, s) \, \ mathrm {d} s + \ int _ {0} ^ {t} b_ {s} (X_ {s}, s) \, \ mathrm {d} W_ {s} \ ,,}$

iki integralin var olduğunu varsayarsak. Gelen diferansiyel gösterimde , bu denklem denir

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = a_ {t} (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} t + b_ {t} (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} W_ {t}}$

yazılı. Bu nedenle, bir Itō süreci, rastgele sürüklenme ve oynaklık ile genelleştirilmiş bir Wiener süreci olarak görülebilir.

" Bir Itō sürecidir" yüklemi böylelikle farklılaşabilirlik kavramının stokastik bir karşılığı haline gelir . Buna dayanarak, Itō ilk stokastik diferansiyel denklemleri kendisi tanımladı . ${\ displaystyle X}$

Sürüklenme katsayısı ve difüzyon katsayısı zamana bağlı değilse, Itō difüzyonundan söz edilir - eğer aynı zamanda zamana da bağlılarsa, daha genel bir Itō süreci mevcuttur. ${\ displaystyle a_ {t}}$${\ displaystyle b_ {t}}$

Matematiksel modellemede, özellikle istatistiksel fizik ve finansal matematikte sayısız uygulama sayesinde , Itō hesabı bu arada vazgeçilmez bir matematiksel araç haline geldi.

Ayrıca bakınız

• Ayrık stokastik integral

Edebiyat

• J. Jacod, A. Shiryaev: Stokastik süreçler için limit teoremleri . Springer, Berlin.
• P. Protter: Stokastik integraller ve diferansiyel denklemler . Springer, Berlin.

Bireysel kanıt

1. ^ Hui-Hsiung Kuo: Stokastik Entegrasyona Giriş. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1 , s. 102 ( Google kitap aramasında sınırlı önizleme ).