Yüklem mantığı

Yüklem lojikler (ayrıca miktar belirleyici mantıkları ) ailesini oluşturan mantıksal mümkün pratikte ve argümanlar aracılığıyla önemli alanlarını resmileştirmek ve onların geçerliliğini kontrol etmek birçok bilimler teoride bunu yapmak sistemler. Bu özelliğinden dolayı yüklem mantığı , matematik , bilgisayar bilimi , dilbilim ve felsefenin yanı sıra mantıkta da önemli bir rol oynar .

Gottlob Frege ve Charles Sanders Peirce, yüklem mantığını birbirinden bağımsız olarak geliştirdiler. Frege, sistemini 1879'da yayınlanan yazı terimiyle geliştirdi ve resmileştirdi . Daha eski mantıksal sistemler, örneğin geleneksel kavramsal mantık , ifadeleri açısından yüklem mantığının gerçek alt kümeleridir. Tamamen buna çevrilebilirler.

Merkezi terimler

Yüklem mantığı, önerme mantığının bir uzantısıdır . Önerme mantığında, hangi basit ifadelerin bunlardan oluştuğunu belirlemek için bileşik ifadeler incelenir. Örneğin, “Yağmur yağıyor ya da dünya düz” ifadesi “Yağmur yağıyor” ve “Dünya düz” ifadelerinden oluşur. Bu iki ifadenin kendisi daha fazla alt ifadeye bölünemez - bu nedenle bunlara atomik veya temel denir . Yüklem mantığında, atomik ifadeler iç yapıları açısından incelenir.

Yüklem mantığının merkezi bir kavramı yüklemdir . Konuşma diline dayalı bir yaklaşımda, yüklem boşluklar açan bir dizi kelimedir; bu sonuç, her boşluğa özel bir ad eklenirse doğru veya yanlış bir ifade olur. Örneğin, “... is a person” sözcük dizisi bir yüklemdir, çünkü “Socrates” gibi özel bir ad eklemek , “Socrates is a person” örneğinde bir ifade oluşturur. “Dünya bir disktir” ifadesi, “dünya” özel ismine ve “... bir disktir” yüklemine bölünebilir. Tanıma ve örneklere dayanarak, mantıkta, özellikle yüklem mantığında “yüklem” teriminin , tarihsel ve felsefi bir bağlantı olsa bile , gramerdeki ile aynı anlama gelmediği ortaya çıkıyor . Özel ad yerine, yüklemin içine bir değişken de eklenebilir, bu sayede yüklem bir cümle işlevi olur: φ _{( x )} = " x bir kişidir", klasik yüklem mantığında özel adlar için kullanılan bir işlevdir. insan olan bireyler doğruluk değerini true döndürür ve diğerleri için doğruluk değerini false döndürür .

Yüklem mantığının ikinci karakteristik kavramı niceleyicidir . Niceleyiciler, bir cümle işlevinin söylem evreninde kaç kişi tarafından yerine getirildiğini gösterir. Bir niceleyici , bir cümle işlevinin değişkenini bağlar , böylece bir cümle yeniden oluşturulur. Evrensel niceleyici, bir yüklemin tüm bireylere uygulanması gerektiğini belirtir. Varoluşsal niceleyici, bir yüklemin en az bir birey için geçerli olduğunu söyler. Niceleyiciler, "Bütün insanlar ölümlüdür" veya "En az bir pembe fil vardır" gibi ifadeleri etkinleştirir.

Bazen, bir yüklemin belirli sayıda bireye uygulandığının belirtilebileceği sayısal niceleyiciler de kullanılır. Ancak bunlar mutlak olarak gerekli değildir, çünkü bunlar özdeşlik yükleminin yanı sıra evrensel ve varoluşsal niceleyiciye kadar geriye götürülebilir .

yüklemler

Bir yüklemin, boşlukları açıkça tanımlanmış bir sözcük dizisi olarak yukarıda verilen, her bir boşluğa bir özel ad eklendiğinde bir ifade haline gelen tanımı, tamamen biçimsel, içerikten bağımsız bir tanımdır. İçerik açısından, yüklemler çok farklı terim türlerini ifade edebilir :

• Kişi türleri (sıralama terimleri): "_ bir kişidir"
• Özellikler : "_ pembedir"
• ilişkisel terimler , d. H. Bireyler arasındaki ilişkiler: ör. B. "_ ₁  _ daha büyüktür ₂ " ya da "_ ₁  _ arasındadır ₂ _ ve ₃ ".

Kavramların, özelliklerin ve ilişkilerin kesin doğası ve ontolojik durumu farklı felsefi yönler tarafından farklı görüldüğünden ve kavramların, özelliklerin ve ilişkilerin birbirinden kesin olarak sınırlandırılması da farklı görüldüğünden, başlangıçta bahsedilen biçimsel tanım en doğru olanıdır. Uygulama açısından pratiktir, çünkü belirli ontolojik veya metafizik varsayımları kabul etmek zorunda kalmadan yüklem mantığının kullanılmasına izin verir.

Bir yüklemdeki farklı boşlukların sayısına onun aritesi denir. Örneğin, tek boşluklu bir yüklem tek basamaklıdır, iki boşluklu yüklem iki basamaklıdır ve bu böyle devam eder. H. boşluksuz yüklemler olarak kabul edilir. Boşlukları sayarken, sadece farklı boşluklar dikkate alınır.

Resmi yüklem mantığında, yüklemler, çoğunlukla Latin alfabesinin başlangıcından itibaren büyük harfler olan yüklem harfleri kullanılarak ifade edilir, örneğin iki basamaklı bir yüklem için F_ ₁ _ ₂ , tek basamaklı bir yüklem için G_ ₁ veya H_ ₁ _ ₂ _ ₃ , üç basamaklı bir yüklem için. Bir yüklemin argümanları genellikle parantez içine alınır ve virgülle ayrılır, böylece bahsedilen örnekler F (_ ₁ , _ ₂ ) veya G (_ ₁ ) ve H (_ ₁ , _ ₂ , _ ₃ ) olarak yazılır. .

Uygun isimler ve bireysel sabitler

Gelen dil felsefesi ve dilbilim , konu isimler ise oldukça karmaşık bir. Yüklem mantığının bir giriş sunumu bağlamında ele alınması için, bu tür dil ifadelerini tam olarak bir kişiyi belirten özel adlar olarak belirtmek yeterli olmalıdır; "birey" kelimesi burada çok genel bir anlamda anlaşılmıştır ve akla gelebilecek herhangi bir şekilde diğer şeylerden ayırt edilebilen her "şey" (fiziksel nesne, sayı, kişi ...) anlamına gelir. Belirtilen anlamda uygun isimler, çoğunlukla gerçek özel isimler (örneğin, "Gottlob Frege") veya işaretler (örneğin, "mevcut Avusturya Federal Şansölyesi") olacaktır.

Doğal dilin özel adlarının karşılığı , yüklem mantığının bireysel sabitleridir ; genellikle Latin alfabesinin başlangıcından küçük harfler seçersiniz, örneğin a, b, c. Doğal dildeki özel adların aksine, her bir bireysel sabit aslında tam olarak bir bireyi belirtir. Bu, herhangi bir örtük metafizik önkoşul anlamına gelmez, ancak yalnızca, fiilen tam olarak bir bireyi belirten bireysel sabitlere sahip doğal dil özel adlarının ifade edilmesini şart koşar.

Yüklem harflerinin ve bireysel sabitlerin kelime dağarcığıyla, "Sokrates bir kişidir" veya "Gottlob Frege kavramsal yazının yazarıdır" gibi önermesel olarak atomik cümleler , iç yapılarında zaten analiz edilebilir: Eğer biri "Sokrates özel adını çevirirse" "bireysel sabit a ile, uygun ad" Gottlob Frege “bireysel sabit b, uygun ad veya kitap başlığı” kavramı “bireysel sabit c ve yüklemler” yazma _ _ bir kişinin “ve” dir ₁ olduğu F_ ve G_ ₁ _ ₂ yüklem harfleriyle _ ₂ ”nin yazarı , ardından “Sokrates bir kişidir” Fa olarak ifade edilebilir ve Gbc ile “Tanrıya şükür Frege 'kavramsal yazının' yazarıdır”.

niceleyiciler

Niceleyicilerle, bir cümle işlevinin söylem evrenindeki bireylerin hiçbirine, bazılarına veya tümüne uygulanıp uygulanmadığı hakkında açıklamalar yapılabilir. En basit durumda, cümle işlevi tek basamaklı bir yüklemdir. Yüklemin içine tek bir değişken eklenir ve önüne varoluşsal niceleyici ve aynı değişken konursa, yüklemin uygulandığı en az bir birey olduğu iddia edilir. Bu nedenle, ilgili söylem evreninde doğru olan yüklemin içine bireysel bir sabitin eklendiği formun en az bir tümcesi olmalıdır. Evrensel niceleyici, bir yüklemin söylem evrenindeki tüm bireyler için geçerli olduğunu belirtir. Klasik yüklem mantığında, bu nedenle, söylem evreni boş olduğunda, tüm atomik, tüm nicel ifadeler doğrudur.

Varoluşsal niceleyici, yarı-biçimsel dilde “en az bir şey var ki…” veya “... Resmi dilde, karakterler veya kullanılır. Evrensel niceleyici, yarı biçimsel dilde "Herkes için (değişken adı): ..." şeklinde, biçimsel dilde ya da karakterlerinden biri ile ifade edilir . ${\ görüntü stili \ var}$${\ displaystyle \ textstyle \ bigvee}$${\ displaystyle \ forall}$${\ displaystyle \ textstyle \ büyük kama}$

"_ bir insandır" gibi yüklemler için nicelik belirteçlerinin kullanımı hemen açıktır . M_, tek basamaklı "_ is a person" yükleminin çevirisidir ve varoluşsal niceleyicidir. x harfi tek bir sabit değildir, ancak yarı-biçimsel formülasyonda "es" kelimesinin yerine getirdiği işlevin aynısını yerine getirir: Her ikisi de niceleyicinin atıfta bulunduğu alanı belirtir. Seçilen örnekte, bu gereksiz görünmektedir, çünkü yalnızca bir niceleyici ve yalnızca bir boşluk içerir ve bu nedenle belirsizlik mümkün değildir. Bir yüklemin birden fazla boşluk içerebildiği ve bir cümlenin birden fazla niceleyici ve birden fazla yüklem içerebildiği genel durumda, uygun "çapraz referans karakterleri" kullanılmadan hiçbir açık okuma yapılmayacaktır. ${\ displaystyle \ var x \ Mx}$${\ görüntü stili \ var}$

Latin alfabesinin sonundaki x, y ve z harfleri gibi küçük harflerin en yaygın kullanımı, niceleyici ile atıfta bulunduğu boşluk arasındaki ilişkiyi kurmak için kullanılır; bireysel değişkenler olarak adlandırılırlar. Bir niceleyicinin başvurduğu boşluk veya bu bağlantıyı kurmak için kullanılan değişken, niceleyici tarafından sınırlandırılmış olarak adlandırılır .

Bir niceleyici ile çok basamaklı bir yüklemde bir boşluk bağlarsanız, daha düşük bir ariteye sahip bir yüklem oluşturulur. Sevme ilişkisini ifade eden iki basamaklı L_ ₁ _ ₂ , "_ ₁  seviyor _ ₂ " yüklemi, ilk boşluğu evrensel niceleyici ile bağlayarak tek basamaklı bir yüklem olur, deyim yerindeyse tarafından sevilme özelliği. herkes (evrensel niceleyici, aşkın başladığı bireyin durduğu ilk boşluğa atıfta bulunur). İkinci uzayı bağlayarak ise, deyim yerindeyse , her şeyi ve herkesi sevmenin özelliği olan tek basamaklı yüklem haline gelir (evrensel niceleyici ikinci uzayı, yani rolü oynayan bireyin bulunduğu uzayı bağlar. sevgili standları). ${\ displaystyle \ için tüm xLx \ _}$${\ displaystyle \ forall xL \ _x}$

Birden fazla uzayın bir niceleyici ile sınırlandığı yüklemleri içeren cümleler ilginçtir. Yüklem mantığını bu kadar güçlü kılan şey bu tür cümleleri ele alma olasılığıdır, ancak aynı zamanda sistemin yeni başlayanlar için biraz karmaşık hale geldiği ve daha yoğun tartışma ve pratik gerektirdiği noktadır. Yüklem mantığının olasılıklarına dair küçük bir fikir olarak, boşlukları niceleyiciler tarafından bağlamanın tüm olasılıkları, örneğin yukarıda "_ ₁  love " olarak okunabilen iki basamaklı L_ ₁ _ ₂ yüklemi için numaralandırılmalıdır . _ ₂ " (aşağıdaki şemalarda _1 "dikey" a, b, c, d, e ve _2 "yatay" a, b, c, d, e vardır):

Hiçbir sütun/satır boş değil: 1 .: Herkes birileri tarafından sevilir.${\ displaystyle \ forall x \ yLyx var}$ 2 : Herkes birini sever.${\ displaystyle \ forall x \ var yLxy}$	Köşegen boş / dolu değil: 5 .: Birisi kendini sever.${\ displaystyle \ xLxx var}$ 6 .: Herkes kendini sever.${\ displaystyle \ tüm xLxx için}$	Matris boş / dolu değil: 7 .: Birini sever. 8 .: Biri tarafından sevilir.${\ displaystyle \ var x \ var yLxy}$ ${\ displaystyle \ var x \ var yLyx}$ 9 .: Herkes herkesi sever. 10 .: Herkes herkes tarafından sevilir.${\ displaystyle \ forall x \ forall yLxy}$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall yLyx}$	Hasse diyagramı ait sonuçları
Bir satır/sütun dolu: 3 : Biri herkesi sever.${\ displaystyle \ var x \ tüm yLxy için}$ 4 .: Birisi herkes tarafından sevilir.${\ displaystyle \ var x \ tüm yLyx için}$

Matrisler beş kişi severler ve sevgili olarak gündeme geldiğini durum için formüller göstermektedir. 6 ve 9/10 cümleleri dışında, bunlar örnektir. Cümle 5 için matris örn. B. "b kendini seviyor" için; "c b'yi seviyor" için 7/8 cümlesi için olanı.

1, ve 3 ,,, cümlelerini birbirinden ayırmak önemlidir ve öğreticidir : Her iki durumda da herkes sevilir; ilk durumda herkes biri tarafından sevilir, ikinci durumda herkes aynı kişi tarafından sevilir. ${\ displaystyle \ forall x \ yLyx var}$${\ displaystyle \ var x \ tüm yLxy için}$

Bu cümlelerin bazıları arasında çıkarımsal bağlantılar vardır - örneğin, cümle 1, cümle 3'ten sonra gelir, ancak bunun tersi olmaz (bkz. Hasse diyagramı).

Üç basamaklı yüklemler gibi formüller oluşturulabilir. "x, yz'nin sevmesini istiyor" yüklemi ile, bu formül "birisi herkesin birini sevmesini istiyor" anlamına gelir.${\ displaystyle \ var x ~ \ tüm y ~ \ var z ~ Pxyz}$

Doğal dilde, niceleyiciler çok farklı formülasyonlarda görünür. Genellikle "tümü", "hiçbiri", "bazıları" veya "bazıları" gibi kelimeler kullanılır, bazen niceleme yalnızca bağlamdan anlaşılabilir - örneğin, "insanlar ölümlüdür" cümlesi genellikle tüm insanların ölümlü olduğu evrensel ifadesi anlamına gelir. ölümlü.

Örnekler (yüklem mantığı - Almanca)

Yüklem Mantığı - Almanca	Açıklama
${\ displaystyle \ forall x ({\ text {cat}} (x) \ Rightarrow {\ text {memeli}} (x))}$ "Bütün kediler memelidir" (Kedi olmayan memeliler de olabilir, ancak memeli olmayan kediler olmayabilir)	${\ görüntü stili \ tüm x}$ ${\ görüntü stili {\ metin {kedi}} (x)}$ ${\ görüntü stili \ Sağ ok}$ ${\ görüntü stili {\ metin {Memeli}} (x)}$ Tüm x için: (Geçerli) x bir kedidir sonra x memeli olsun
${\ displaystyle \ forall x ({\ text {cat}} (x) \ land {\ text {memeli}} (x))}$ "Her şey bir kedi ve bir memelidir"	${\ görüntü stili \ tüm x}$ ${\ görüntü stili {\ metin {kedi}} (x)}$ ${\ displaystyle \ arazi}$ ${\ görüntü stili {\ metin {Memeli}} (x)}$ Aşağıdakiler tüm x için geçerlidir: x bir kedidir ve x bir memelidir
${\ displaystyle \ var x ({\ metin {Şehir}} (x) \ arazi {\ metin {kuzey}} (x, {\ metin {Münih}}))}$ "Münih'in kuzeyinde en az bir şehir var"	${\ görüntü stili \ var x}$ ${\ görüntü stili ({\ metin {Şehir}} (x)}$ ${\ displaystyle \ arazi}$ ${\ displaystyle {\ metin {kuzey}} (x, {\ metin {Münih}}))}$ en az bir x var bu bir şehir ve Münih'in kuzeyinde
${\ displaystyle \ neg \ var x ({\ metin {şehir}} (x) \ arazi {\ metin {kuzey}} (x, x))}$ "Hiçbir şehir kendisinin kuzeyinde değildir"	${\ displaystyle \ negatif \ var x}$ ${\ görüntü stili ({\ metin {Şehir}} (x)}$ ${\ displaystyle \ arazi}$ ${\ görüntü stili {\ metin {kuzey}} (x, x))}$ x yok bu bir şehir ve x'in kuzeyinde
${\ displaystyle \ var x ({\ text {dişi}} (x) \ arazi {\ metin {baba}} ({\ metin {Tom}}, x) \ arazi {\ metin {anne}} ({\ metin) {Jenny}}, x))}$ "Tom ve Jenny'nin en az bir kızı var"	${\ görüntü stili \ var x}$ ${\ görüntü stili ({\ metin {dişi}} (x)}$ ${\ displaystyle \ arazi}$ ${\ displaystyle {\ metin {baba}} ({\ metin {Tom}}, x)}$ ${\ displaystyle \ arazi}$ ${\ displaystyle {\ metin {anne}} ({\ metin {Jenny}}, x))}$ en az bir x var bu kadınsı ve Tom'un bir babası var ve Jenny'nin bir annesi var
${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {kediler} {\ metin {kedi}} (x)}$ "Her kedi bir kedidir"	${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {kediler}}$ ${\ görüntü stili {\ metin {kedi}} (x)}$ Kümeden her x için aşağıdakiler geçerlidir:${\ displaystyle \ mathbb {kediler}}$ x bir kedidir
${\ displaystyle \ neg \ forall x: \ mathbb {Arabalar} ({\ text {green}} (x))}$ "Bütün arabalar yeşil değildir" ( Söylem evreninde ya yeşil olmayan arabalar vardır ya da hiç araba yoktur )	${\ görüntü stili \ olumsuz}$ ${\ displaystyle \ forall x: \ mathbb {Arabalar}}$ ${\ görüntü stili ({\ metin {yeşil}} (x))}$ Olumsuz her araba için geçerlidir: yeşildir.

Bazı yüklem denklikleri

Mantıksal denklik evrensel nicelik ve varoluşsal nicelik şematik alışverişi iki yüklem mantığı ifadeleri sonuçları arasında. Aşağıda, daha sık kullanılan yüklem mantığı denkliklerinden bazılarına örnekler verilmiştir.

${\ displaystyle \ neg \ tüm xPx \ leftrightarrow \ var x \ neg Px}$	“Her şey yeşil” ifadesinin olumsuzlanması, “Her şey yeşil değil” veya “Yeşil olmayan bir şey var” şeklinde formüle edilebilir.
${\ displaystyle \ neg \ var xPx \ leftrightarrow \ forall x \ neg Px}$	“Yeşil bir şey var” ifadesi reddedilirse, “Söylem evreninde yeşil olan tek bir şey yoktur” veya “Söylem evreninde her şey yeşil değildir” doğrudur ve bunun tersi de geçerlidir.
${\ displaystyle \ x var (Px \ lor Qx) \ leftrightarrow (\ xPx var \ lor \ xQx var)}$	OR üzerinden varoluşsal niceleyicinin dağılımı .
${\ displaystyle \ tüm x (Px \ wedge Qx) \ leftrightarrow (\ forall xPx \ wedge \ tüm xQx için)}$	Evrensel niceleyicinin AND'ye göre dağılımı.
${\ displaystyle \ tüm x (P \ arazi Qx) \ leftrightarrow (P \ arazi \ tüm xQx için)}$
${\ displaystyle \ var x (P \ wedge Qx) \ leftrightarrow (P \ wedge \ xQx var)}$
${\ displaystyle (\ xPx \ rightarrow Q var) \ leftrightarrow \ forall x (Px \ rightarrow Q)}$	Bir cümleyi ima eden bir örnek varsa, her örnek o cümleyi ima eder.
${\ görüntü stili (P \ rightarrow \ tüm xQx için) \ leftrightarrow \ tüm x için (P \ rightarrow Qx)}$	Bir cümle genel bir ifadeyi ima ediyorsa, ima her bir örnek için geçerlidir.

Söylem evreninin boş olduğu hariç tutulursa aşağıdakiler de geçerlidir:

${\ displaystyle (\ forall xPx \ rightarrow Q) \ leftrightarrow \ x var (Px \ rightarrow Q)}$

${\ displaystyle (P \ rightarrow \ xQx var) \ leftrightarrow \ x var (P \ rightarrow Qx)}$

Yüklem mantığı türleri

Eğer - şimdiye kadar ana hatlarıyla belirtildiği gibi - niceleyiciler yüklemlerin boşluklarını bağlarsa, o zaman birinci derece veya derecenin yüklem mantığından söz edilir , İngilizce: birinci derece mantık , FOL olarak kısaltılır ; tabiri caizse, yüklem mantığının standart sistemidir.

Yüklem mantığının bariz bir varyasyonu, yalnızca yüklemlerin boşluklarını birleştirmekle kalmaz, yani yalnızca bireyler hakkında niceleme yapmak değil, aynı zamanda yüklemler hakkında varoluş ve evrensel ifadeler yapmaktır . Bu şekilde “Uyguladığı bir yüklem vardır: Sokrates için geçerlidir” ve “Her yüklem için: Sokrates için geçerlidir veya Sokrates için geçerli değildir” gibi ifadeler resmileştirilebilir. Birinci mertebeden yüklemlerin tek tek boşluklarına ek olarak, ikinci mertebeden yüklemlere yol açan yüklem boşlukları eklenebilirdi , örneğin “_ Sokrates için geçerlidir”. Buradan, boşluklarına ikinci düzey yüklemlerin eklenebildiği üçüncü düzey yüklemlere ve genellikle daha yüksek düzeyli yüklemlere yalnızca küçük bir adımdır. Bu durumda, bu durumda, Mantık daha yüksek seviyeden , İngilizce yüksek dereceli mantıktan , kısaltılmış HOL'den bahseder .

Bununla birlikte, birinci dereceden yüklem mantığının biçimsel olarak en basit uzantısı, özdeşliğin tedavisi için araçların eklenmesinden oluşur . Ortaya çıkan sistem, kimlikli birinci düzey yüklem mantığı olarak adlandırılır . Kimlik, daha yüksek bir düzeyin yüklem mantığında tanımlanabilir, yani. H. dil genişlemesi olmadan tedavi edin, ancak birinci seviyede mümkün olduğunca uzun süre ve mümkün olduğunca çalışmaya çalışın, çünkü bunun için daha basit ve her şeyden önce eksiksiz hesaplamalar , yani. H. Bu sistemde geçerli olan tüm formüllerin ve argümanların türetilebileceği hesaplar. Bu artık üst düzey yüklem mantığı için geçerli değildir; Yani, bir üst seviyenin tüm geçerli argümanları tek bir hesapla türetmesi mümkün değildir.

Tersine, kişi, örneğin kendini tek basamaklı yüklemlerle sınırlayarak, birinci düzeyin yüklem mantığını kısıtlayabilir. Bu kısıtlamadan kaynaklanan mantıksal sistem, monadik yüklem mantığı , karar verilebilir olma avantajına sahiptir ; Bu, monadik yüklem mantığının her formülü veya her argümanı için geçerli olup olmadığını sonlu bir zamanda belirleyebilecek mekanik prosedürler (algoritmalar) olduğu anlamına gelir. Bazı amaçlar için monadik yüklem mantığı yeterlidir; Ek olarak, tüm geleneksel kavramsal mantık , yani kıyas , monadik yüklem mantığında ifade edilebilir.

Yüklem mantık sistemlerinin daha önce tartışılan seviyelerine veya sıralarına göre farklılaşmasına paralel olarak klasik ve klasik olmayan formlar vardır. Gönderen klasik yüklem mantığı veya genel olarak klasik mantık ve aşağıdaki iki koşulun yerine getirilmesi halinde ise denir:

• işlenen sistem iki değerlidir, yani. Bu her deyim tam olarak tam olarak iki doğruluk değerlerinin, çoğunlukla biri varsayar olan gerçek ve sahte ( ilkesine iki değerlik ); ve
• önermeler mantığı tarafından oluşur tabloların gerçek değeri marangozlar benzersiz oluşan tabloların (ilkesi gerçeği değerleri ile tespit edilir Genişletilebilirlik ).

Bu ilkelerden en az birinden sapma olursa, klasik olmayan yüklem mantığı ortaya çıkar . Elbette, klasik olmayan yüklem mantığı içinde, kişinin kendisini tek basamaklı yüklemlerle sınırlaması (klasik olmayan monadik yüklem mantığı), bireyler aracılığıyla nicelik belirlemesi (birinci düzeyin klasik olmayan yüklem mantığı), kapsamı genişletmesi de mümkündür. özdeşliğe göre sistem (kimlik ile birinci seviyenin klasik olmayan yüklem mantığı) veya nicelemeyi yüklemlere genişletmek (daha yüksek bir seviyenin klasik olmayan yüklem mantığı). Sık kullanılan bir klasik olmayan yüklem mantığı sistemi, modal yüklem mantığıdır (bkz. modal mantık ).

Yüklem mantığının anlamı

Her yüklem mantık sistemi için biçimsel anlambilim kurulabilir . Bu amaçla, biçimsel yüklem mantık dilinin yüklemlerine bir kapsam ve atomik cümlelere bir doğruluk değeri atan matematiksel anlamda bir işlev olan bir yorumlama işlevi tanımlanır . İlk olarak, bir söylem evreni , yani yorumlanacak yüklem mantık ifadelerinin ilgili olması gereken ayırt edilebilir nesnelerin (“bireyler”) toplamı kurulur. Klasik yüklem mantığı için, bireysel dil öğeleri şu şekilde yorumlanır:

Bireysel sabitler

Her bir bireysel sabite, söylem evreninden tam olarak bir öğe atanır, yani her bir bireysel sabit, tam olarak bir bireyi adlandırır.

Tek basamaklı yüklemler

Her tek basamaklı yüklem için söylem evreninden bir grup birey atanır. Bu şekilde, ilgili yüklemin hangi bireylere uygulanacağı belirlenir. Örneğin, Eğer set edilir atanan tek haneli yüklemi , o zaman olduğu belirlenirse geçerlidir etmek için, ve .${\ görüntü stili F}$${\ görüntü stili \ {a, b, c \}}$${\ görüntü stili F}$${\ görüntü stili a}$${\ görüntü stili b}$${\ görüntü stili c}$

Çok basamaklı yüklemler

A kümesi - küpe söylem evrenden bireylerden atanan her -digit yüklemi .${\ görüntü stili n}$${\ görüntü stili n}$

Beyan

İfadelerin doğruluk değerini belirleyebilmek için değerlendirme işlevi, tüm iyi biçimlendirilmiş ifadeler kümesini doğruluk değerleri kümesiyle eşleştirmelidir, yani yüklem mantığı dilindeki her ifade için bunun doğru olup olmadığını belirlemelidir. veya yanlış. Bu genellikle aşağıdaki modele göre yinelemeli olarak yapılır (değerlendirme işlevi burada B olarak anılır ):

• B ( ) = true ( burada bir yüklem mantık ifadesidir), eğer B ( ) = false; aksi halde B ( ) = yanlış. Başka bir deyişle, olumsuzlaması bir yanlış ifade gerçek ifadenin olumsuzluk yanlıştır, doğrudur.${\ displaystyle \ neg \ varphi}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ displaystyle \ neg \ varphi}$
• B ( ) = true ( burada yüklem mantık ifadeleridir), eğer B ( ) = B ( ) = true; aksi halde B ( ) = yanlış. Başka bir deyişle, bir bağlaç ancak ve ancak her iki bağlaç da doğruysa doğrudur; aksi halde yanlıştır.${\ displaystyle \ varphi \ arazi \ psi}$${\ görüntü stili \ varphi, \ psi}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili \ psi}$${\ displaystyle \ varphi \ arazi \ psi}$
• Diğer tüm marangozlar için benzer tanımlamalar yapılmıştır .
• B ( ), burada tek basamaklı bir yüklem harfidir ve bireysel bir sabittir, yorumlanması 'nin yorumunun bir öğesiyse, başka bir deyişle: tarafından adlandırılan birey yüklemin altına düşerse "true" doğruluk değerini döndürür. . Aksi takdirde, B ( ) "false" doğruluk değerini döndürür .${\ displaystyle \ varphi (\ alpha)}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili \ alfa}$${\ görüntü stili \ alfa}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili \ alfa}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (\ alpha)}$
• B ( ), burada bir -rakamlı yüklem harfi ve up to bireysel sabitlerdir, eğer -tuple yüklem harfinin yorumunun bir öğesiyse "true" doğruluk değerini döndürür . Aksi takdirde, B ( ) "false" doğruluk değerini döndürür .${\ displaystyle \ varphi (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n})}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili n}$${\ görüntü stili \ alfa _ {1}}$${\ görüntü stili \ alfa _ {n}}$${\ görüntü stili n}$${\ displaystyle \ langle \ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n} \ rangle}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {n})}$
• B ( ), bireysel bir değişkendir ve (bir veya daha fazla meydana gelen) boşluğu girilen tek basamaklı bir yüklemdir, B ( ) "doğru" doğruluk değerini verirse "doğru" doğruluk değerini verir - ne olursa olsun durduğu birey . Görünmeyen tek bir sabit vardır ve her bir oluşumdaki bireysel değişkeni bireysel sabitle değiştirirseniz ortaya çıkan ifadedir . Aksi takdirde, B ( ) = yanlış. Başka bir deyişle: B ( ) true ve sadece geçerlidir için tüm söylem evrende bireyler.${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ görüntü stili \ chi}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ görüntü stili \ chi}$${\ displaystyle \ varphi \ sol ({\ beta \ over \ chi} \ sağ)}$${\ görüntü stili \ beta}$${\ görüntü stili \ beta}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ varphi \ sol ({\ beta \ over \ chi} \ sağ)}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ görüntü stili \ chi}$${\ görüntü stili \ beta}$${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ displaystyle \ forall \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ görüntü stili \ varphi}$
• Bireysel değişken ve (bir veya daha fazla meydana gelen) uzayın girildiği tek basamaklı bir yüklem olan B ( ), söylem evreninden en az bir bireyin geçerli olması durumunda "doğru" doğruluk değerini verir , yani, söylem evreninden bir bireyi, B ( ) doğruluk değerini “doğru” verecek şekilde meydana gelmeyen bireysel bir sabite atamak mümkünse .${\ displaystyle \ var \ chi \ varphi (\ chi)}$${\ görüntü stili \ chi}$${\ displaystyle \ varphi (\ chi)}$${\ görüntü stili \ chi}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili \ varphi}$${\ görüntü stili \ beta}$${\ displaystyle \ varphi \ sol ({\ beta \ over \ chi} \ sağ)}$

alternatifler

Önermeler mantığı ve yüklem mantığı gelişti önce, kavramsal mantık egemen şeklinde syllogistics geliştirilen tarafından Aristo ve ona dayalı nispeten ılımlı uzantıları. 1960'larda kavramsal mantık geleneğinde geliştirilen iki sistem, temsilcileri tarafından yüklem mantığına eşit (Freytag) veya hatta daha üstün (Sommers) olarak tanımlanmaktadır, ancak uzmanlardan çok az yanıt almıştır.

Yüklem mantığı yasaları, yalnızca incelenen bireylerin etki alanı boş değilse, yani. H. en az bir kişi (hangi türden olursa olsun) varsa. Bu varoluş koşuluna tabi olmayan yüklem mantığının bir modifikasyonu serbest mantıktır .

kullanmak

Yüklem mantığı, matematiğin çeşitli temellerinin merkezinde yer alır .

Bilgisayar biliminde de bazı özel uygulamalar vardır : Uzman sistemlerin tasarımında ve programlanmasında ve yapay zekada rol oynar . Mantıksal programlama dilleri kısmen - genellikle kısıtlı - yüklem mantığı biçimlerine dayanır. Yüklem mantığındaki bir ifadeler koleksiyonuyla bilgi temsilinin bir biçimi yapılabilir.

İlişkisel taşı gibi veritabanı sorgulama dillerinin teorik temelleri bir SQL , aynı zamanda, sentezleme için bir araç olarak öncül mantık kullanır.

Gelen dilbilim özellikle, resmi semantik , yüklem mantığı formları temsil etmek için kullanılır anlamı .

Özel tipler, uzantılar ve sistemler

Türler ve uzantılar

Yüklem mantığının türleri ve uzantıları, aşağıdaki ayrıntılı makalelerde açıklanmıştır:

• Klasik yüklem mantığı ve uzantıları
  • Birinci dereceden yüklem mantığı
  • İkinci dereceden yüklem mantığı
  • Üst düzey yüklem mantığı

• Yüklem mantığının klasik olmayan uzantıları
  • Modal mantık (modal yüklem mantığı)
  • zamansal mantık
  • Eylem mantığı
  • Sabit nokta mantığı

Yüklem mantığı sistemleri için hesap

Yüklem mantık sistemleri için hesaplar aşağıdaki bireysel makalelerde verilmiştir:

• Hilbert hesabı (aksiyomatik hesap)
• Doğal akıl yürütme sistemleri, örneğin Fitch hesabı , sıralı hesap
• Ağaç taşı
• Çözünürlük (mantık)
• varoluşsal grafikler
• diyalojik mantık

Ayrıca bakınız

• dilek kipi sorgulama

Edebiyat

Tanıtımlar

• Jon Barwise, John Etchemendy: Dil, Kanıt ve Mantık. Cilt 1: Önerme ve Yüklem Mantığı. Mentis, Paderborn 2005, ISBN 3-89785-440-6 .
• Jon Barwise, John Etchemendy: Dil, Kanıt ve Mantık. Cilt 2: Uygulamalar ve Metateori. Mentis, Paderborn 2006, ISBN 3-89785-441-4 .
• Benson Mates : Temel Mantık - Birinci Düzey Yüklem Mantığı. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1997, ISBN 3-525-40541-3 .
• Wesley C. Somon: Mantık. Reclam (= Evrensel Kütüphane), Stuttgart 1983, ISBN 3-15-007996-9 .

Tarih hakkında

• Karel Berka , Lothar Kreiser: Mantık metinleri. Modern mantık tarihi üzerine açıklamalı seçim. 4. baskı. Akademie-Verlag, Berlin 1986.
• William Kneale , Martha Kneale : Mantığın Gelişimi. Clarendon Press, 1962, ISBN 0-19-824773-7 . Mantık tarihi üzerine standart çalışma

İnternet linkleri

Vikisözlük: yüklem mantığı  - anlamların açıklamaları, kelime kökenleri, eş anlamlılar, çeviriler

• Uschi Robers: Yüklem mantığının resmi temsili . Teknik üniversite Dortmund.
• Klaus Dethloff , Christian Gottschall: Yüklem mantığına giriş . Viyana Üniversitesi.
• Video: Yüklem Mantığı . University of Education Heidelberg (PHHD) 2012, Teknik Bilgi Kütüphanesi (TIB) tarafından kullanıma sunulmuştur, doi : 10.5446 / 19823 .

Bireysel kanıt

1. ↑ Eric M. Hammer: Varoluşsal Grafikler için Semantik . In: Journal of Philosophical Logic , Cilt 27, Sayı 5 (Ekim 1998), s. 489: "Frege'den bağımsız olarak birinci dereceden mantığın geliştirilmesi, prenex ve Skolem normal formlarını öngörerek"
2. ↑ Klasik yüklem mantığının, cümle işlevleri için tanım boşlukları veya örneğin doğal dilin belirsiz terimlerine hakkını vermek için ek doğruluk değerleri sağlayan uzantıları vardır.
3. ↑ üç basamaklı yüklemleri ile tüm formüller listesi üzerinde Wikiversity .
4. ↑ http://www2.informatik.uni-hamburg.de/wsv/teaching/vorlesungen/FGI1SoSe14/PL-Syntax-Semantik.pdf içinde s.
5. ↑ http://www2.informatik.uni-hamburg.de/wsv/teaching/vorlesungen/FGI1SoSe14/PL-Syntax-Semantik.pdf içinde s.
6. ↑ İngilizce Vikipedi'de serbest mantık