Morfizm

Gelen Kategori teorisi (bir kolu matematik ), bir sözde dikkate (Özet) kategori bir tarafından verilir, sınıf arasında nesneler ve iki nesne için ve bir sınıf Morfizm gelen için (aynı zamanda şu şekilde de ifade oklar ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Biri şöyle yazıyor:

${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila Y}$.

Kategori aynı zamanda belirli koşulları karşılaması gereken morfizmlerin kısmi bir kombinasyonunu da içerir.

Nesnelerle aynı yapıya sahip kümeler ve yapılarıyla uyumlu olan temel kümeler arasındaki işlevler , ilişkili morfizmler olarak yorumlanırsa, somut bir kategoriden söz edilir . Morfizmlerin birleşimi daha sonra işlevlerin birbiri ardına olağan yürütülmesine karşılık gelir . Ancak, morfizmaların nesneler arasında işlevler olarak görünmediği tamamen farklı biçimlendirilmiş somut kategoriler de vardır, örneğin nesneleri topolojik uzay olan ve morfizmi sürekli işlevlerin homotopi sınıfları olan Toph kategorisi veya nesneleri olan Rel kategorisi kümeler ve bunların morfizmi ilişkilerdir .

Örnekler

Morfizm somut örnekler arasında homomorfizmleri kategorilere çalışılan içinde cebir (örneğin grupları veya halkalar ), sürekli arasındaki fonksiyonlar topolojik boşluklar , türevlenebilir arasındaki fonksiyonlar türevlenebilir manifoldlar .

Her bir yarı-düzen , nesnelerin unsurları olduğu ve bir morfizmin var olduğu bir kategoriyi tanımlar . ${\ displaystyle (M, \ lesssim)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x \ ila y}$${\ displaystyle x \ lesssim y}$

Bir functor kategorisinde , morfizmler, functorlar arasındaki doğal dönüşümlerdir .

Bazı kategoriler için morfizmler için özel isimler vardır.

• Bir homeomorfizm , topolojik uzaylar arasındaki bir izomorfizmdir.
• Bir diffeomorfizm , farklılaştırılabilir manifoldlar arasındaki bir izomorfizmdir.
• Bir izometri kategorisinde bir izomorfizm olan metrik boşluklar ile Genişlemeyen sürekli dönüşümler .
• Bir doğrusal eşleme arasında (homo) morfizmanın olan vektör uzayı .

kısayol

Morfizmlerin karakterlerle bağlantısı (uygulama, kompozisyon) : , genellikle değişmeli bir diyagramda gösterilir , örneğin ${\ displaystyle \ circ}$

Türler

• Her bir amacı, bir kategori, bir sahiptir özdeş morfizmalar yazılı olan bir sağ nötr element tüm Morfizm ve için bileşimin bir sol nötr element tüm Morfizm için böylece, ve her zaman geçerlidir.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X} \ kolon X \ - X,}$${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila Y}$${\ displaystyle g \ iki nokta üst üste Y \ ila X}$${\ displaystyle f \ circ \ operatorname {id} _ {X} = f}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X} \ circ g = g}$
• Bir morfizmin sağ tersi varsa , i. H. are ile bir morfizm varsa , geri çekilme anlamına gelir . Benzer şekilde, bir kesim (kesit, öz çekme) , sol tersi olan bir morfizmi belirtir .${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila Y}$${\ displaystyle g \ iki nokta üst üste Y \ ila X}$${\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {Y}}$${\ displaystyle f}$
• Varsa bir geri çekme ve bir bölüm hem, o zaman denir izomorfizm . Bu durumda, nesneler ve kendi kategorileri içinde benzer olarak görülebilir (izomorfizmler, örneğin, somut kümeler kategorisindeki iki nesnel imgelerdir).${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila Y}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$
• 'Den' e olan bir morfizm, 'dan endomorfizm ' olarak adlandırılır .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$
• Aynı zamanda bir izomorfizm olan bir endomorfizm, otomorfizm olarak adlandırılır .
• Aşağıdaki özelliğe sahip bir morfizm , epimorfizm olarak adlandırılır : ${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila Y}$

  İle herhangi bir morfizm varsa , o zaman her zaman vardır (örneğin, her

  örten homomorfizm bir epimorfizmdir).${\ displaystyle g, h \ kolon Y \ - Z}$${\ displaystyle g \ circ f = h \ circ f}$${\ displaystyle g = h}$
• Aşağıdaki özelliğe sahip bir morfizm , monomorfizm olarak adlandırılır : ${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste X \ ila Y}$

  İle herhangi bir morfizm varsa , o zaman her zaman vardır (örneğin, her

  enjekte homomorfizm bir monomorfizmdir).${\ displaystyle g, h \ kolon W \ - X}$${\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h}$${\ displaystyle g = h}$
• Bir epimorfizm , eğer kapalıysa aşırılık olarak adlandırılır ve bir monomorfizmdir, her zaman takip eder: bir izomorfizmdir.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = v \ circ w}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$
• Bir monomorfizm adlandırılır extremal gelen ise, ve bir epimorphism, her zaman, aşağıdaki bir izomorfizm olup.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = w \ circ v}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$
• Eğer bir epimorphism ve monomorfizm hem, o zaman olduğu bir bimorphism . Her bimorfizm bir izomorfizm değildir. Bununla birlikte, her morfizm, epimorfizm ve kesit veya monomorfizm ve geri çekilme olan bir izomorfizmdir. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

  İzomorfizm olmayan bir bimorfizm örneği, tamsayıların halkaların homomorfizmi olarak rasyonel sayılara gömülmesidir.

Edebiyat

• Martin Brandenburg: Kategori Teorisine Giriş . Ayrıntılı açıklamalar ve çok sayıda örnekle. Springer Spectrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1 . 
• Samuel Eilenberg , Saunders Mac Lane : Genel doğal eşdeğerlik teorisi . In: Amerikan Matematik Derneği İşlemleri . bant 58 , hayır. 2 , Eylül 1945, s. 231-294 . 
• Saunders Mac Lane: Çalışan Matematikçi Kategorileri (  Matematikte Lisansüstü Metinler . Cilt 5 ). 2. Baskı. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-90035-7 .