Alan atalet momenti

Fiziksel boyut
Soyadı	Alan atalet momenti
formül sembolü	${\ görüntü stili I}$, tarihi geçmiş ${\ görüntü stili J}$
Boyut ve birim sistemi birim boyut Sİ cm 4 , mm 4 , m 4 L 4

Atalet momenti ayrıca şu şekilde de ifade, alan şu  2. derece , a, geometrik değişken kullanılan olarak mukavemet mühendislik ve türetilmiş bir enine kesiti ile ilgili ışın getirilmiştir, deformasyon hesaplanması ve stres durumlarında eğilme ve burulma yükleri. Kullanılan formüller, yük ve kullanılan malzemenin özellikleri gibi diğer değişkenlere ek olarak alan atalet momentini içerir .

Atalet anı yardımıyla, bu yükler aşılması durumunda, yol açan, hesaplanmaktadır burkulma ve barlar veya burkulma ve kabukları .

Atalet momenti (kütle) ile karıştırılmamalıdır atalet momenti karakterize, ataletini bir döner göre gövdenin açısal ivme .

Türler

Bir kirişin simetrik ve asimetrik kesitleri, örneğin bir tarafa kenetlenmiş (1 ve 2, konsol kirişi ) eğilmeye (3) veya burulmaya (4) tabidir .

Eksenel ikinci alan momenti

Eksenel geometrik atalet momenti I _{a ile} , bir kirişin yük altında bükülmesinin enine kesit bağımlılığı özetlenir. Kesitte meydana gelen eğilme ve iç gerilmeler daha küçüktür, eksenel geometrik atalet momenti daha büyüktür. Kesitteki en önemli boyut, uygulanan kuvvet yönündeki genişlemedir. Sağdaki resim, dikey bir yükün, düz yerine dik olarak düzenlenirse kirişi daha az büktüğünü gösterir (1 ve 2 numaralı kısımlar arasındaki karşılaştırma).

Kutupsal alan atalet momenti

Kutupsal alan atalet momenti I _p, tanımlanacak bir nokta (genellikle ağırlık merkezi) etrafındaki bir yüzeyin alan atalet momentini tanımlar. Kesitteki en önemli boyut radyal genişlemedir (bitişik şeklin 4. bölümünde R). Kutupsal alan atalet momenti, yalnızca dairesel yüzeyler durumunda burulma eylemsizlik momentine karşılık gelir . Yüzeyin diğer geometrileri için, burulma atalet momenti genellikle sadece sayısal olarak hesaplanabilir. ${\ displaystyle I _ {\ matematik {P}} = Ben _ {\ matematik {T}} = {\ frac {r ^ {4} \ cdot \ pi} {2}}}$

Çift eksenli alan momenti

Alan sapma momenti veya alan merkezkaç momenti olarak da bilinen çift eksenli alan atalet momenti, deformasyon ve gerilimleri hesaplamak için kullanılır.

• yüklü asimetrik profillerle (bitişik şekilde 3. kısım)
• asimetrik yükleme, simetrik (veya herhangi bir) profil ile.

Alan sapma an veya alan santrifüj momenti (birimidir, m ⁴ ) (kütle) ile karıştırılmamalıdır sapma an veya (kütle) santrifüj momenti (birim kg-m ² ).

hesaplama

birimler

Geometrik atalet momentleri genellikle cm ⁴ , mm ⁴ veya m ⁴ (SI birimleri) olarak verilir. ABD'de halen kullanılmakta olan birimlerin eski sistemde, genellikle edilir notated içinde ⁴ .

Eksenel ikinci alan momenti

Atalet eksenel geometrik anlar , bu denklem ile tanımlanabilir:

${\ displaystyle I_ {y} = \ int _ {A} z ^ {2} \ \ matematik {d} A}$

• z = y ekseninin d elemanına olan dikey mesafesi A

${\ displaystyle I_ {z} = \ int _ {A} y ^ {2} \ \ matematik {d} A}$

• y = z ekseninin d elemanına olan dikey mesafesi A

Her iki nicelik de yalnızca pozitif değerlere sahip olabilir .

Kutupsal alan atalet momenti

Eylemsizlik kutupsal alan momenti eylemsizlik iki alan anları oluşur ve : ${\ görüntü stili I_ {y}}$${\ görüntü stili I_ {z}}$

${\ displaystyle I _ {\ matematik {P}} = {\ int _ {A} r ^ {2} \ \ matematik {d} A} = I_ {y} + I_ {z}}$

Çift eksenli alan momenti

Çift eksenli alan momenti bu denklemle tanımlanır:

${\ displaystyle I_ {zy} = I_ {yz} = - \ int _ {A} zy \ \ matematik {d} A}$

Sapma veya merkezkaç momenti olarak da bilinen bu değişken, y ekseni veya z ekseni, kesitin simetri ekseniyse sıfıra eşittir . İlişkili alan atalet momentleri daha sonra ana atalet momentleri olarak adlandırılır, bu durumda aşırı değerler alırlar . Eksenel ve polar alan atalet momentinin aksine, bu değişken hem pozitif hem de negatif değerlere sahip olabilir . Negatif işaretli bu tanımın yanı sıra literatüre bağlı olarak pozitif işaretli bir tanım da kullanılmaktadır; sapma momenti kullanan tüm formüllerde bu dikkate alınmalıdır.

Steiner teoremi

Burada bahsedilen tüm alan atalet momentleri özel bir nokta, yani alanın merkezi (alan merkezi) ile ilgilidir. Diğer tüm noktalar için geometrik atalet momentleri Steiner teoremi kullanılarak hesaplanabilir.

Jakob Steiner tarafından 1840'ta kurulan cümle, herhangi bir kesit alanının alan atalet momentinin, bireysel kısmi alanların merkez noktalarındaki alan atalet momentlerinden ve z mesafesinin karesinin ürününden oluştuğunu söylüyor. ana eksenin toplam ekseninin ana eksenin kısmi alanına ve kısmi alan A. Bir uygulama örneği, I şeklidir. Üç dikdörtgen alt alanın, yani iki yatay flanş ve dikey gövdenin geometrik atalet momentleri, aşağıda verilen formüller kullanılarak belirlenebilir ve dikey z ekseni için basitçe özetlenebilir, çünkü alt alanın tüm ağırlık merkezleri -alanlar toplam alanın ortak ağırlık merkezi ekseni z üzerindedir. Y eksenine göre geometrik atalet momenti de üç toplam artı iki flanşın Steiner kısmından oluşur. ${\ displaystyle I_ {zz} ^ {*}}$${\ displaystyle I_ {yy} ^ {*}}$

${\ displaystyle I_ {yy} ^ {*} = I_ {yy} + z_ {s} ^ {2} \ cdot A}$

${\ displaystyle I_ {zz} ^ {*} = I_ {zz} + y_ {s} ^ {2} \ cdot A}$

${\ displaystyle I_ {yz} ^ {*} = I_ {zy} ^ {*} = I_ {yz} -y_ {s} z_ {s} \ cdot A}$

Formüller, yalnızca, alanın merkezindeki bir koordinat sistemine atıfta bulunan denklemin sağ tarafında geometrik atalet momentleri varsa, sol taraftaki geometrik atalet momentleri ise herhangi biri için geçerliyse geçerlidir. (paralel) koordinat sistemi.

Herhangi bir çokgen için alan atalet momenti

Noktalar saat yönünün tersine girilirse, herhangi bir kapalı çokgenin eylemsizlik momentleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir. Atalet momentleri koordinatların orijini ile ilgilidir. Sapma momentinin işareti, koordinat dönüşümü için formüllere uygundur. Çokgenin n-1 noktası vardır ve 1 noktası ile başlar ve 1 noktası ile aynı olan n noktası ile biter. Yani koordinatlara sahip olduğum nokta . ${\ görüntü stili I_ {yz}}$${\ görüntü stili (y_ {i}, z_ {i})}$

${\ displaystyle I_ {yy} = {\ frac {1} {12}} \ toplam _ {i = 1} ^ {n-1} (z_ {i} ^ {2} + z_ {i} z_ {i + 1} + z_ {i + 1} ^ {2}) \ cdot a_ {i} \,}$

${\ displaystyle I_ {zz} = {\ frac {1} {12}} \ toplam _ {i = 1} ^ {n-1} (y_ {i} ^ {2} + y_ {i} y_ {i + 1} + y_ {i + 1} ^ {2}) \ cdot a_ {i} \,}$

${\ displaystyle I_ {yz} = - {\ frac {1} {24}} \ toplam _ {i = 1} ^ {n-1} (y_ {i} z_ {i + 1} + 2y_ {i} z_ {i} + 2y_ {i + 1} z_ {i + 1} + y_ {i + 1} z_ {i}) \ cdot a_ {i} \,}$

${\ displaystyle a_ {i} = y_ {i} z_ {i + 1} -y_ {i + 1} z_ {i} \,}$

Formüller Gauss yamuk formülü kullanılarak türetilmiştir.

Temel eylemsizlik momentleri ve bükülmüş eylemsizlik momentleri

${\ displaystyle I _ {\ eta \ eta} = {\ frac {1} {2}} (I_ {yy} + I_ {zz}) + {\ frac {1} {2}} (I_ {yy} - I_ {zz}) \ cdot \ cos (2 \ cdot \ phi) + I_ {yz} \ günah (2 \ cdot \ phi)}$,

${\ displaystyle I _ {\ xi \ xi} = {\ frac {1} {2}} (I_ {yy} + I_ {zz}) - {\ frac {1} {2}} (I_ {yy} - I_ {zz}) \ cdot \ cos (2 \ cdot \ phi) -I_ {yz} \ günah (2 \ cdot \ phi)}$,

${\ displaystyle I _ {\ eta \ xi} = - {\ frac {1} {2}} (I_ {yy} -I_ {zz}) \ cdot \ sin (2 \ cdot \ phi) + I_ {yz} \ cdot \ cos (2 \ cdot \ phi)}$,

Eylemsizlik ana eksenine göre açı:

${\ displaystyle \ phi ^ {*} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ arctan {\ frac {-2 \ cdot I_ {yz}} {(I_ {yy} -I_ {zz})} }}$

Bu formüller yardımıyla, yüzeyin koordinat eksenleri herhangi bir açıyla döndürülürse , bir yüzeyin ilişkili atalet momentleri hesaplanabilir . Açı etrafında döndürürken , haline extremal ve . Açı ile tanımlanan referans eksenlerine ana eylemsizlik eksenleri denir. Daha önceki yıllarda güvenilir hesap makineleri bulunmadığından, Christian Otto Mohr tarafından bir grafik yöntemi belirtildi. Eylemsizlik Mohr çemberi hala birçok ders kitaplarında bulunabilir teknik mekaniği . Bükülmüş geometrik atalet momentleri, uygulamada , yükleme eğilme momenti , eğilme sırasında iki ana atalet momentinden birinin yönüne düşmediğinde gerilmeleri hesaplarken kullanılır . ${\ görüntü stili \ phi}$${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$${\ displaystyle I _ {\ eta \ eta}}$${\ görüntü stili I _ {\ xi \ xi}}$${\ görüntü stili I _ {\ eta \ xi} = 0}$${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$

türetilmiş miktarlar

Direnç anı

Modülü kesit kenar büyük gerilme (meydana gelen lineer elastisite teorik olarak kullanılabilir gerilim belirlenecek). Alan atalet momentinin bölümü ve kenar ile nötr lif arasındaki mesafedir : ${\ görüntü stili W}$${\ displaystyle a _ {\ max}}$

${\ displaystyle W: = {\ frac {I} {a _ {\ max}}}}$

Eylemsizlik Alan Yarıçapı

Geometrik olarak benzer bileşenler için (örneğin, aynı genişlik / yükseklik oranına sahip dikdörtgenler), dönme alan yarıçapı , ikinci derece alan momenti açısından benzer gövdeleri karşılaştırabileceğiniz uzunluk boyutuyla da tanımlanabilir:

${\ displaystyle i_ {y}: = {\ sqrt {I_ {y} \ üzerinde A}}; \ qquad i_ {z}: = {\ sqrt {I_ {z} \ A üzerinde}}}$

${\ displaystyle i_ {P}: = {\ sqrt {I_ {P} \ A üzerinde}}}$

Alanın dönme yarıçapı genellikle “ dönme yarıçapı ” olarak adlandırılır , ancak saçılan kütlenin yarıçapı ile karıştırılma riski vardır . Ek olarak, dönme alan yarıçapı narinlik oranına dahil edilir . ${\ görüntü stili \ lambda}$

Alan sertliği / alan sertliği

Nadiren kullanılan yüzey sertliği (formül sembolü yok), aynı zamanda yüzey sertliği olarak da adlandırılır , dönme yarıçapının karesi veya alan atalet momenti ve kesit alanı bölümüdür:

${\ displaystyle \ matematik {Fl {\ ddot {a}} chensteife} = ben ^ {2} = {\ frac {I} {A}}}$

İyi malzeme kullanımı için hem yüzey sertliği hem de yüzey atalet yarıçapı mümkün olduğunca büyük olmalıdır. Ancak bu, giderek daha fazla bükülme riski altında olan daha büyük, daha ince duvarlı nesnelere yol açar .

Örnekler

2. derecenin kutupsal eylemsizlik momenti , kutupsal alan momentinin referans noktasının y ve z eksenlerinin kesişme noktasında olması sağlanır. ${\ displaystyle I_ {p} = I_ {y} + I_ {z}}$

Hayır.	yüzey	2. derece alanın eksenel momenti		Uyarılar
		y ekseni etrafında	z ekseni etrafında
1: dikdörtgen	${\ displaystyle A = b \ cdot h}$	${\ displaystyle I_ {y} = {\ frac {b \ cdot h ^ {3}} {12}} = A \ cdot {\ frac {h ^ {2}} {12}}}$	${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {h \ cdot b ^ {3}} {12}} = A \ cdot {\ frac {b ^ {2}} {12}}}$	Kare dikdörtgen özel bir durumu olduğu hesaplanır ${\ görüntü stili w = h}$
2: üçgen	${\ displaystyle A = {\ frac {a \ cdot h} {2}}}$	${\ displaystyle I_ {y} = {\ frac {a \ cdot h ^ {3}} {36}} = {\ frac {A \ cdot h ^ {2}} {18}}}$	${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {h \ cdot a ^ {3}} {48}} = {\ frac {A \ cdot a ^ {2}} {24}}}$	Yukarıda çizilen ikizkenar üçgen genellikle sadece z eksenine göre simetriktir.
3: dairesel halka	${\ displaystyle A = \ pi \ cdot (R ^ {2} -r ^ {2})}$	${\ displaystyle I_ {y} = I_ {z} = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot (R ^ {4} -r ^ {4}) = {\ frac {A} {4}} \ cdot (R ^ {2} + r ^ {2})}$		Daire aynı zamanda halkanın özel bir durum olarak hesaplanabilir . ${\ görüntü stili r = 0}$
4: eliptik halka	${\ displaystyle A = \ pi \ cdot (A \ cdot Ba \ cdot b)}$	${\ displaystyle I_ {y} = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot (A \ cdot B ^ {3} -a \ cdot b ^ {3})}$	${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot (A ^ {3} \ cdot Ba ^ {3} \ cdot b)}$	Oran , elips halkasının yarım eksenlerinin oranıdır ve iç kenardaki elipsin kutupsal alan momentini hesaplarken dış kenardaki elipsin oranına eşit olmalıdır. ${\ displaystyle n = A / B = a / b \ geq 1}$ Elips eliptik halka özel bir durum olarak izlenebilir . ${\ görüntü stili a = b = 0}$
5: Simetrik yamuk	${\ displaystyle A = (b_ {1} + b_ {2}) \ cdot {\ frac {h} {2}}}$	${\ displaystyle I_ {y} = h ^ {3} \ cdot {\ frac {(b_ {1} + b_ {2}) ^ {2} +2 \ cdot b_ {1} \ cdot b_ {2}} { 36 \ cdot (b_ {1} + b_ {2})}}}$	${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {h} {48}} \ cdot (b_ {1} + b_ {2}) \ cdot (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2 })}$
6: Normal n-köşe	${\ displaystyle A = {\ frac {n \ cdot a ^ {2}} {4 \ cdot \ tan {\ frac {\ pi} {n}}}}}$	${\ displaystyle I_ {y} = {\ frac {n} {96}} \ cdot a ^ {4} \ cdot {\ frac {2+ \ cos \ alpha} {(1- \ cos \ alpha) ^ {2 }}} \ cdot \ günah \ alfa}$		${\ görüntü stili I_ {y}}$ tüm eksenlerde aynıdır
7: Kutu profili	${\ displaystyle A = H \ cdot Bh \ cdot b}$	${\ displaystyle I_ {y} = {\ frac {1} {12}} \ cdot (B \ cdot H ^ {3} -b \ cdot h ^ {3})}$	${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {12}} \ cdot (B ^ {3} \ cdot Hb ^ {3} \ cdot h)}$
8: I-ışın (Çift T-ışın)			${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {\ sol ({Hh} \ sağ) \ cdot B ^ {3} + h \ cdot \ sol ({Bb} \ sağ) ^ {3}} {12}} }$
9: U profili			${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {(Bb) ^ {3} \ cdot h + B ^ {3} \ cdot (Hh)} {3}} - {\ frac {[(Bb) ^ {2 } \ cdot h + B ^ {2} \ cdot (Hh)] ^ {2}} {4 \ cdot [(Bb) \ cdot h + B \ cdot (Hh)]}}}$	Aynı et kalınlığı sonuçları ile özel durum için . ${\ görüntü stili t}$${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {b ^ {3} \ cdot t} {6}} + {\ frac {H \ cdot t ^ {3}} {12}} + {\ frac {B ^ {2} \ cdot H \ cdot b \ cdot t ^ {2}} {2 \ cdot (2 \ cdot b \ cdot t + H \ cdot t)}}}$

Daha başka örnekler gelen tüm teknoloji sözlüğü :

Hesaplanmış örnek: Yarıçaplı bir dairenin alan atalet momenti${\ görüntü stili R}$

kroki

${\ displaystyle I_ {p} = \ int \ limitler _ {A} r ^ {2} \ cdot dA =}$

${\ displaystyle = \ int \ limitler _ {0} ^ {R} r ^ {2} \ cdot 2 \ cdot \ pi \ cdot r \ cdot dr =}$

${\ displaystyle = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ int \ limitler _ {0} ^ {R} r ^ {3} \ cdot dr = 2 \ cdot \ pi \ cdot \ sol. {\ frac {r ^ {4 }} {4}} \ sağ | _ {0} ^ {R} = {\ frac {\ pi} {2}} \ cdot R ^ {4}}$

Aşağıdakiler daire için geçerlidir: ${\ görüntü stili I_ {x} = I_ {y}}$

Genel olarak: ${\ displaystyle I_ {p} = I_ {x} + I_ {y}}$

Bu nedenle, bir dairenin eksenel geometrik atalet momenti şu şekilde sonuçlanır:

${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {I_ {p}} {2}} = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot R ^ {4}}$

Hesaplanmış örnek: bir dikdörtgenin alan atalet momenti

Yüksekliği h ve genişliği b olan dikdörtgen

${\ displaystyle {\ başlangıç ​​{hizalanmış} I_ {y} & = \ int _ {A} z ^ {2} \, \ matrm {dA} = \ int _ {- {\ frac {b} {2}}} ^ {\ frac {b} {2}} \ int _ {- {\ frac {h} {2}}} ^ {\ frac {h} {2}} z ^ {2} \, \ matrm {dz \ , dy} = \ left.b \, {\ frac {z ^ {3}} {3}} \, \, \ right | _ {(- {\ frac {h} {2}})} ^ {\ frac {h} {2}} = {\ frac {b} {3}} \ sol ({\ frac {h ^ {3}} {2 ^ {3}}} - \ sol (- {\ frac {h) ^ {3}} {2 ^ {3}}} \ sağ) \ sağ) = {\ frac {h ^ {3} b} {12}} \ bitiş {hizalanmış}}}$

Moment (entegrasyon)

Doğa bilimlerinde ve teknolojide momentler, bu dağılımın konumunu ve biçimini tanımlayan bir dağılımın parametreleridir. Ağırlıklı dağılımın uzaklığın gücüyle integrali alınarak hesaplanır. Bu anlamda, alan momenti atalet olduğu ilgili hiç eylemsizlik kütlesi an .

Bireysel kanıt

1. ↑ Aptallar için teknik mekanik, yayıncı: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA; ISBN 3527707565
2. ↑ Maschinenbau- Wissen.de'ye giriş
3. ↑ Burulma (mekanik) #Burulma olmadan burulma
4. ^ Karl-Eugen Kurrer : Yapılar Teorisinin Tarihi. Denge aranıyor . Berlin: Ernst & Sohn , s. 87f, ISBN 978-3-433-03229-9
5. ↑ Steger, Carsten (1996). "Çokgenlerin Keyfi Momentlerinin Hesaplanması Üzerine" (PDF).
6. ↑ Schneider inşaat masaları . 20. baskı. Werner Verlag. 
7. ↑ Hans Albert Richard, Manuela Sanders: Teknik Mekanik. Mukavemet teorisi (=  çalışma ). Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0454-9 , doi : 10.1007 / 978-3-8348-9514-1 . 

İnternet linkleri

• Alan atalet momentlerinin ve kesit momentlerinin çevrimiçi hesaplanması