Ackermann küme teorisi

Ackermann küme teorisi bir olan aksiyomatik küme teorisi tarafından 1955 yılında verildi Wilhelm Ackermann . İçinde Cantor'un küme tanımını kesin bir aksiyom sistemine çevirmeye çalıştı .

Ackermann küme teorisi, Zermelo-Fraenkel küme teorisini ZFC'yi sınıflara göre genişletir (orada: toplamlar), ancak daha iyi bilinen Neumann-Bernays-Gödel küme teorisinden farklıdır, çünkü gerçek sınıflar diğer sınıfların öğeleri olabilir ve bu nedenle de küçük olabilir. gerçek olanlar Sınıflar var. ZFC aksiyomları, yalnızca temel aksiyomunu yerine getiren gerçek bir alt alanda geçerlidir ( Neumann'ın kümülatif hiyerarşisi ile sıralanabilir ). Ackermann küme teorisi bu nedenle temelsiz kümeler içeren geniş bir dizi set içerir ve olağan ZFC küme teorisinin ve Zermelo küme teorisinin bir genellemesi olarak görülebilir .

Ackermann aksiyomları

Ackermann'ın dikkat çekici derecede basit aksiyomlar sistemi, özdeşlik, iki-yerli eleman ilişkisi ve tek-yerli yüklem ile birinci seviyenin yüklem mantığına dayanır ve bir aksiyom şemasına ve sınıflar ve kümeler için bir aksiyom içerir : ${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle \, {\ text {niceliktir}}}$

• Sınıfı Anlama : Küme sınıfları mevcuttur:

Aşağıdakiler tek basamaklı yüklemler için geçerlidir:${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ forall A \ iki nokta üst üste (\ varphi (A) \ - A {\ metni {miktar}}) \ - \ var B \ iki nokta üst üste \ forall C \ iki nokta üst üste (B \ leftrightarrow \ varphi (C) )}$

Sınıf , ile gösterilir.${\ displaystyle \, B}$${\ displaystyle \ {C \ orta \ varphi (C) \}}$

• Sınıf genişletme : Aynı öğelere sahip sınıflar aynıdır:

${\ displaystyle \ forall C \ kolon (C \ in A \ leftright C \ in B) \ to A = B.}$

• Küme Anlama : Yalnızca kümelere atanan kümelerin sınıfları kümelerdir:

Tam olarak değişkenlerin serbestçe oluştuğu ve yüklemin gerçekleşmediği formüller için aşağıdakiler geçerlidir:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A, T_ {1}, \ ldots, T_ {n}}$${\ displaystyle \, {\ text {niceliktir}}}$

${\ displaystyle T_ {1} {\ text {niceliktir}} \ land \ dots \ land \; T_ {n} {\ text {miktardır}} \ land \; \ forall A \ kolon (\ varphi (A) \ A {\ text {niceliktir}}) \ to}$ ${\ displaystyle \ vardır B \ iki nokta üst üste (B {\ metni {niceliktir}} \ arazi \; \ forall A \ iki nokta üst üste (B \ leftrightarrow \ varphi (A)))}}$

• Kümelerin öğeleri ve alt sınıfları kümelerdir:

${\ displaystyle A {\ text {niceliktir}} \ land (B \ in A \ lor \ forall C \ kolon (C \ in B \ - C \ in A)) \ - B {\ text {niceliktir}} }$

Dikkat edilecek husus: Bu aksiyom, gerçek sınıfların belirlenmiş üyeler olduğunu hariç tutar , ancak gerçek sınıfların gerçek sınıfların üyeleri olduğunu içermez .

Seçim Axiom of ε-aksiyomuna yoluyla Ackermann yerini Hilbert , yüklem bir bir aksiyom şema genişletilmiş dili: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {x} \ varphi (x)}$

• Boş olmayan her sınıf, seçili bir öğe içerir:

Aşağıdakiler tek basamaklı yüklemler için geçerlidir:${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ X \ kolon \ varphi (X) \ leftrightarrow \ varphi (\ varepsilon _ {X} \ varphi (X))}$

Vakıf aksiyomu Ackermann farkında değildi.

varyantlar

Ackermann ayrıca Cantor'un küme tanımından algı nesnelerini hesaba katan aksiyomları formüle etti ve kümelere ek olarak küme olmayan öğeleri de küme öğeleri olarak sağlar. Nesneler, miktar öğeleridir ve tanımlanabilir bir dayanak kullanılarak kaydedilir:

${\ displaystyle A {\ text {nesnedir}} = \ var M \ iki nokta üst üste (A \ M \ land M'de {\ text {miktardır}})}$.

• Sınıf Anlama : Nesne sınıfları mevcuttur:

Aşağıdakiler tek basamaklı yüklemler için geçerlidir:${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ forall A \ iki nokta üst üste (\ varphi (A) \ için A {\ metni {nesnedir}}) \ için \ var B \ iki nokta üst üste \ forall C \ iki nokta üst üste (B \ leftrightarrow \ varphi (C) )}$

• Sınıf genişlemesi yukarıdaki gibidir.

Dikkat edilecek noktalar: Set olmayan nesneler Zermelo anlamında orijinal öğeler değildir . Çünkü burada, yalnızca tek bir boş sınıfa izin veren ve daha fazla boş ilkel öğelere izin vermeyen , genişleme aksiyomunun en güçlü şekli vardır . Yani ek nesneler gerçek sınıflardır .

• Kavramayı Ayarla : Yalnızca nesnelere atanan nesnelerin sınıfları kümelerdir:

Tam olarak değişkenlerin serbestçe oluştuğu ve yüklemlerin gerçekleşmediği ve bulunmadığı formüller için aşağıdakiler geçerlidir:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle A, T_ {1}, \ ldots, T_ {n}}$${\ displaystyle \, {\ text {niceliktir}}}$${\ displaystyle \, {\ text {nesnedir}}}$

${\ displaystyle T_ {1} {\ text {nesnedir}} \ land \ dots \ land \; T_ {n} {\ text {nesnedir}} \ land \; \ forall A \ kolon (\ varphi (A) \ A {\ text {nesnedir}}) \ to}$ ${\ displaystyle \ vardır B \ iki nokta üst üste (B {\ metni {niceliktir}} \ arazi \; \ forall A \ iki nokta üst üste (B \ leftrightarrow \ varphi (A)))}}$

• Kümelerin öğeleri ve alt sınıfları nesnelerdir:

${\ displaystyle A {\ text {niceliktir}} \ land (B \ in A \ lor \ forall C \ kolon (C \ in B \ - C \ in A)) \ - B {\ text {nesnedir}} }$

Üçüncü bir değişken olarak Ackermann , tip teorisine dayalı bir versiyon verdi .

Edebiyat

• Wilhelm Ackermann: Küme teorisinin aksiyomatiği üzerine , 1955. İçinde: Mathematische Annalen . Cilt 131, 1956, s. 336-345.

İnternet linkleri

• Klaus Gloede: Set teorisi senaryosu WS 2000/01, Ackermann set teorisi üzerine bölüm (PDF dosyası; 23 kB)

Bireysel kanıt

1. ↑ David Hilbert: Matematiğin temeliyle ilgili sorunlar , 1929, içinde: Mathematische Annalen 102 (1930), 1–9, orada s. 3.