kendine benzeme

Mandelbrot kalabalığından bir alıntı

Dar anlamda öz-benzerlik , nesnelerin, cisimlerin , niceliklerin veya geometrik nesnelerin , ilk durumda olduğu gibi daha büyük ölçekte (yani büyütüldüğünde) aynı veya benzer yapılara sahip olma özelliğidir . Bu özellik, diğer şeylerin yanı sıra fraktal geometri tarafından incelenir, çünkü fraktal nesnelerin yüksek veya mükemmel bir kendi kendine benzerliği vardır. Mandelbrot kümesi görüşler okumak için çoğu zaman bile gibi kesinlikle ve benzemez: Genel olarak, yeterli çözünürlükte, hangi ile herhangi bir büyütme görünümünde çerçevenin birer şalter işaret geliyor.

Daha geniş bir anlamda, bu terim aynı zamanda felsefede olduğu kadar sosyal ve doğa bilimlerinde de kendi içlerinde yuvalanmış temelde tekrar eden yapıları belirtmek için kullanılır.

Örnekler

Sierpinski üçgeni örneğini kullanarak kendi kendine benzerlik

Koch eğrisi örneğini kullanarak kendi kendine benzerlik

Fraktallar söz konusu olduğunda , orijinal yapı, incelenen nesnenin hiçbir zaman temel bir ince yapı elde edilmeden sonsuz büyütülmesiyle tekrar tekrar korunursa , kesin (veya katı ) kendi kendine benzerlikten söz edilir. Tam öz-benzerlik pratikte sadece matematiksel - z'dedir. B. yinelenen bir işlev sistemi tarafından - oluşturulan nesneleri bulmak için. Örnekler Sierpinski üçgeni , Koch eğrisi , Cantor kümesi veya önemsiz bir şekilde bir nokta ve bir düz çizgidir .

Mandelbrot kümesi ve Julia seti kendine benzer, fakat kesinlikle kendinden benzerdir. Kesin öz-benzerlik, ölçek değişmezliği anlamına gelir ve diğer şeylerin yanı sıra, temeldeki güç yasasının ( ölçek yasası ) karakteristik üslerinin yardımıyla ölçülebilir.

benzerlik boyutu

Faktörün kendisinin indirgenmiş versiyonlarından kaynaklanan kendine benzer miktarlar için benzerlik boyutudur.${\ görüntü stiliN}$${\ displaystyle \ varepsilon <1}$

${\ displaystyle D = - {\ frac {\ log N} {\ log \ varepsilon}}}$

Tanımlanmıştır. Burada bir sınır değerine ihtiyacınız olmadığını unutmayın .

Örnekler

Bir kare , ( ) kenar uzunluğunun yarısı olan 4 kareden ( ) oluşur ve bu nedenle benzerlik boyutuna sahiptir . ${\ görüntü stili N = 4}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle D = - {\ frac {\ log 4} {\ log {\ tfrac {1} {2}}}} = - {\ frac {\ log 2 ^ {2}} {\ log 2 ^ {- 1}}} = - {\ frac {2 \ cdot \ log 2} {- \ log 2}} = 2}$

Sierpinski üçgeni oluşur indirgenmiş kendi kopyaları faktörü ile . Bu benzerlik boyutudur .${\ görüntü stili N = 3}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ günlük (3)} {\ günlük (2)}} \ yaklaşık 1 {,} 585}$

Koch eğrisi oluşur indirgenmiş kendi kopyaları faktörü ile . Bu benzerlik boyutudur .${\ görüntü stili N = 4}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ günlük (4)} {\ günlük (3)}} \ yaklaşık 1 {,} 262}$

Ancak bir daire bile indirgenmiş dairelerden oluşmaz ve benzerlik boyutu tanımlanmamıştır. Fraktal boyut birçok bilinen fraktallarla onunla belirlenebilir. Sınır değer oluşumunun olmaması nedeniyle benzerlik boyutu özellikle basittir ve bu nedenle genellikle sıradan insanlar tarafından anlaşılabilen tek fraktal boyuttur. Bu boyut hesaplama yöntemi, özellikle IFS fraktalları için önemlidir .

doğa

Fraktal yapılar ve Fibonacci spiralleri ile Romanesco çiçeklenme

Gerçekten var olan örnekler, ör. B. Basit bir büyütmede karnabaharın başına çok benzeyen kan damarlarının , eğrelti otu yapraklarının veya karnabahar parçalarının (Romanesco çeşidinde bu çok açıktır) dalları. Gerçek örneklerde elbette ideal nesnelerde olduğu gibi genişleme sonsuza kadar sürdürülemez .

Gerçek dünyanın herhangi bir görüntüsünün kendi kendine benzerlikleri de vardır, ki bu z. B. fraktal görüntü sıkıştırmasında veya fraktal ses sıkıştırmasında kullanılabilir .

Nükslerin arama veya dolayısıyla kendinden benzer başlarına bir fonksiyonun tanımını, belirtir.

Kendine benzerlik, doğada sıklıkla meydana gelen bir olgudur. Tekrarlayan kendine benzerlik için karakteristik bir sayı altın orandır .

Yörüngeleri bir Wiener işlemi ve kırık Brown hareketi , aynı zamanda kendi kendine benzerdir.

Edebiyat

• Henning Fernau: Yinelenen fonksiyonlar, diller ve fraktallar . BI Wissenschaftsverlag, Mannheim - Viyana - Zürih 1994, ISBN 3411170115 .

İnternet linkleri

• Ölçek probleminde manzara fotoğrafları ( 20 Ocak 2014'ten İnternet Arşivinde hatıra )

Bireysel kanıt

1. ^ Wolfram MathWorld: Sierpiński Elek
2. ^ Wolfram MathWorld: Kar Tanesi Pişirmek