Konum boyutu

Yer sayılabilir çeşitli özellikleri (belirlenebilir alan , yapıların sayısı, vb.) Kural olarak, bununla birlikte, bir ayrım sayısına göre yapılır sakinleri bir farklılaşma arasında yapılır ve Almanya'da şehirler ve belediyeler .

Matematiksel modelleme

Yerin büyüklüğünün matematiksel modellemesi için k . Basamağın popülasyonunu olarak gösterelim. Bir ülkenin toplam nüfusu içinde yerin nüfusunun payı şu şekilde verilir: ${\ displaystyle N_ {k}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ begin {align} m_ {k} & = {\ frac {N_ {k}} {N}} \ end {hizalı}}}$

Bir yerin boyutu, oranın zaman içinde ne kadar arttığına bağlıdır . Bir yerin büyümesi temelde iki süreçle belirlenir. Bir yandan, sakinlerin doğum ve ölümleri nedeniyle yerin büyüklüğü değişiyor . Öte yandan konut sakinlerinin gelişi ve gidişatı gibi olaylara bağlı olarak değişiklik gösterebilmektedir. Bu olaylar rastgele kabul edilirse , bir yer ne kadar büyükse, birim zaman başına doğum veya ölüm olaylarının sayısı o kadar yüksek olur. Ayrıca, bir ilk yaklaşım olarak, bir yere göç ve göç olaylarının sayısının büyüklüğüyle orantılı olduğu da doğrudur (yeni bir yerin ortaya çıkışı nadir bir olay olarak görülür ve burada açıkça dikkate alınmaz). Kinci sıradaki nüfus artışı bu nedenle şu şekilde düşünülebilir: ${\ displaystyle m_ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dN_ {k}} {dt}} & = \ alpha _ {k} N_ {k} \ end {hizalı}}}$

kinci sıradaki nüfusun büyüme hızı nerede . Bir yerin büyümesine yol açan aynı süreçler, bir ülkenin toplam nüfusunun büyümesini de belirler. Toplam sakin sayısı onunla birlikte büyüyor ${\ displaystyle \ alpha _ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dN} {dt}} & = \ alpha N \ end {align}}}$

bir ülke nüfusunun ortalama büyüme hızı nerede . Tüm konumlardaki orantılı toplamla belirlenir: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = \ Sigma \ alpha _ {k} m_ {k} \ end {hizalı}}}$

Şimdi, bir yerin toplam sakin sayısı içindeki payının zaman türevini hesaplarsanız (ilk denklem), sonuç:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dm_ {k}} {dt}} & = {\ frac {1} {N}} {\ frac {dN_ {k}} {dt}} - {\ frac {N_ {k}} {N ^ {2}}} {\ frac {dN} {dt}} \ end {hizalı}}}$

Yukarıdaki denklem ikame ve elde ederiz: ${\ displaystyle {\ tfrac {dN_ {k}} {dt}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {dN} {dt}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dm_ {k}} {dt}} & = (\ alpha _ {k} - \ alpha) m_ {k} \ end {hizalı}}}$

Bu, kopyalayıcı denklemi olarak bilinen şeydir . Yerin büyüklüğünün zaman içindeki gelişimini belirler ve yerlerin sakinler için rekabet halinde olduğunu belirtir. Büyüme oranı (sözde uygunluk) büyüme başarısını belirler. Yüksek düzeyde bir zindelik, genellikle daha fazla insanın ölmekten çok doğması ve daha fazla insanın bir yere oradan uzaklaşmaktansa bir yere taşınmasıyla bağlantılıdır. ${\ displaystyle \ alpha _ {k}}$

Yerin büyüklüğünün dağılımı

Bir yerin büyüme hızı, zaman içinde değişebilen birçok faktöre bağlıdır. Örneğin, yüksek bir büyüme oranına ulaşmak için, bir yer çocuk yetiştirmek için iyi koşulların yaratılmasını sağlayabilir. Ekonomik, kültürel ve sosyal faktörler, zaman içinde değişimleri büyüme hızında dalgalanmalara yol açan sakinlerin akışı (ayrılışı) için çok önemlidir . Bununla birlikte, çoğaltıcı denklemi, bir yerin büyümesindeki dezavantajların diğer yerler için avantajlar anlamına gelebileceğini belirtir. Bir yerin boyutu zaman içinde değişebilmesine rağmen, yer boyutunun dağılımı nispeten sabit kalır. Bunu belirlemek için, en yüksek ortalama büyüme oranına sahip şehrin replikatör denklemlerinden ve paydan ve endekse sahip herhangi bir yerden fark oluşturulur : ${\ displaystyle \ alpha _ {k}}$${\ displaystyle f (m)}$${\ displaystyle \ alpha _ {0}}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} \ ln (m_ {k})} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {\ mathrm {d} \ ln (m_ {0})} {\ mathrm {d} t}} & = (\ alpha _ {k} - \ alpha _ {0}) = - \ Delta \ alpha _ {k} \ end {hizalı}}}$

ile . Büyüme oranlarındaki zamansal değişiklikleri hesaba katmak için , şeklin dalgalı bir boyutu kullanılabilir. ${\ displaystyle \ Delta \ alpha _ {k}> 0}$${\ displaystyle \ Delta \ alpha _ {k}}$

${\ displaystyle \ Delta \ alpha _ {k} = \ Delta \ alpha - \ chi _ {k}}$

yazmak. Bu denklemde, değerlendirilen dönem boyunca en büyük büyüme hızıyla ilişkili olarak lokasyonların büyüme oranları ile ortalama olarak kaybolan ve rastgele, karşılıklı olarak bağımsız olaylarla belirlenen dalgalı bir değişken arasındaki ortalama fark. Bununla, yukarıdaki denklem şu şekilde dönüştürülebilir: ${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$${\ displaystyle \ chi _ {k}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {m} {m_ {0}}} \ sağ) & = (- \ Delta \ alpha + \ chi) {\ frac {m} {m_ {0}}} \ end {hizalı}}}$

Gösterimi basitleştirmek için indeks çıkarılmıştır. Fark olduğu dikkate alınmalıdır , genellikle, yani, çok küçük olan . Bir yerin karakteristik büyümesi büyük ölçüde büyüklüğüne bağlıdır. Payı olan küçük lokasyonlar için yukarıdaki denklemdeki ilk terim, büyüklük olarak çok küçük olduğu için ihmal edilebilir . Replikatör denklemi küçük yerlere indirgenmiştir ${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$${\ displaystyle \ Delta \ alpha \ sim \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon \ ll 1}$${\ displaystyle {\ tfrac {m} {m_ {0}}} <\ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {m} {m_ {0}}} \ sağ) & = \ chi {\ frac {m} {m_ {0}}} \ end {hizalı}}}$

Bu, sakinlerin sayısındaki çarpımsal artışı (Gibrat yasası) tanımlayan sözde bir Langevin denklemidir . Beyaz gürültü ile tanımlanabileceğini varsayarsak , küçük yerlerin boyut dağılımı, merkezi limit teoremine bağlı olarak log-normal dağılım ile verilir .${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle f (m) = {\ {vakalar} \ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma {\ frac {m} {m_ {0}}}}} başlar \ , \ exp {\ Büyük (} - {\ frac {(\ ln ({\ frac {m} {m_ {0}}}) - \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} {\ Big)} & m> 0 \\ 0 & m \ leq 0 \ end {vakalar}}}$

ücretsiz parametrelerle ve . Ancak büyük yerler için bu terimi hesaba katmalısınız. Boyut dağılımında ortaya çıkan değişikliği belirlemek için yeni değişkenler tanıtılır. Bırak olsun: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Delta \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {align} x = \ ln \ left ({\ frac {m} {m_ {0}}} \ sağ) \ end {hizalı}}}$

ve

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x}} & = \ Delta \ alpha \ end {hizalı}}}$

Ekleyerek şunları elde edersiniz:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} x }} + \ chi \ end {hizalı}}}$

Bir Langevin denkleminin bu formu, Brownian parçacıklarının difüzyonundan bilinir . Bir potansiyelde dalgalanan bir miktarı tanımlar . Dağıtım işlevi , daha uzun bir süre boyunca Maxwell-Boltzmann dağılımı ile açıklanmıştır : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ başlar {hizalı} f (x) \ sim \ exp \ sol (- {\ frac {V (x)} {D}} \ sağ) \ uç {hizalı}}}$

Öyle stokastik fonksiyonun gürültü genliği ve ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} V (x) = \ int \ Delta \ alpha \ mathrm {d} x. \ end {hizalı}}}$

Orijinal değişkenin yerine geçmek, şunu verir:

${\ displaystyle {\ başlar {hizalı} f (x) \ mathrm {d} x = f (m) dm \ sim \ exp \ sol (- {\ frac {1} {D}} \ int \ Delta \ alpha d \ ln \ left ({\ frac {\ mathrm {m}} {m_ {0}}} \ sağ) \ sağ) d \ ln \ left ({\ frac {\ mathrm {m}} {m_ {0}} } \ sağ) \ uç {hizalı}}}$

Entegrasyon sonunda formun bir Pareto (güç kanunu) dağılımını sağlar

${\ displaystyle {\ begin {align} f (m) \ sim {\ frac {1} {{\ frac {m} {m_ {0}}} ^ {1 + a}}} \ end {hizalı}}}$

Pareto üssü ile . Büyük yerlerin dağılımı, yeterince uzun bir süre sonra bir güç yasası ile tanımlanır. Büyük şehirler için bir olmak bilinmektedir Zipf dağılımı ile geçiş. ${\ displaystyle a = {\ tfrac {\ Delta \ alpha} {D}}}$${\ displaystyle m> \ epsilon}$${\ displaystyle a = 1}$

Bu nedenle, yerin boyutunun dağılımı, küçük yerler için lognormal bir dağılım ve ampirik çalışmalarda da bulunduğu gibi, büyük yerler (şehirler) için bir Pareto dağılımıdır. Teori, büyük yerlerin sadece büyüklüklerinden dolayı bir büyüme avantajına sahip olmasıdır. Bu sözde ölçek ekonomileri, büyük kasabaların bir ülkenin nüfus artışından küçük kasabalardan daha fazla yararlanabilmesinden kaynaklanmaktadır. Öte yandan küçük kasabalar, minimum dalgalanmalar nedeniyle (düşük doğum oranları ve kötü ekonomik koşullar nedeniyle) tamamen yok olma riskiyle karşı karşıyadır.

Boyuta göre yerler

Ayrıca Almanya'daki büyük ve orta ölçekli şehirlerin listesine bakın .

Edebiyat

• X. Gabaix, Y. Ioannides: Şehir büyüklüğü dağılımlarının evrimi : Handbook of Regional and Urban Economics , V. Henderson ve J. Thisse, Eds., Cilt. 4, Kuzey Hollanda, Amsterdam 2004.
• Yerel boyutların ampirik dağılımı. J. Eeckhout, "Gibrat'ın (tüm) şehirler için yasası" The American Economic Review, cilt. 94, no. 5, s. 1429-1451, 2004. Çevrimiçi
• Joachim Kaldasch: Şehir Büyüklüğü Dağılımının Evrimsel Modeli , ISRN Ekonomisi, Makale Kimliği 498125, 2014 Çevrimiçi.

Bireysel kanıt

1. ^ Edwin L. Crow, Kunio Shimizu: Lognormal dağılımlar: teori ve uygulamalar . M. Dekker, New York 1988, ISBN 0-8247-7803-0 .