Marshall'ın talep fonksiyonu

Mareşal talep fonksiyonu (aynı zamanda Walrasgil talep fonksiyonu ekonomist adını), Alfred Marshall (veya Leon Walras ) olduğu bir matematiksel fonksiyon içinde mikroekonomi ve özellikle de ev teorisinin miktarını gösterir malların belirli bir için malların fiyatı ve belirli bir gelir Mümkün olan en büyük faydayı gerçekleştirmek istiyorsa, her bir mal tüketilmelidir .

Şekil 1. İki mal durumunda Mareşalist talep fonksiyonu örneği: Mal 1'in miktarı yatay eksende, mal 1'in fiyatı dikey eksende çizilir. İyi sayılmayan 2'nin fiyatı, kendi bütçeniz gibi, diyagramda sabit tutulur .

{\ displaystyle p_ {2}}

{\ displaystyle y}

Mareşalist talep işlevine yol açan değerlendirmelerin başlangıç noktası, fayda maksimizasyonu ilkesidir: bir tüketici (tipik olarak bir hane), servetinin belirli fiyatlarla sunulan farklı malların tüketimine tahsis edilmesine bağımsız olarak karar verir. Servetini nasıl böldüğüne bağlı olarak, harcama planı farklılık gösterir. Marshall'ın talebinin temel fikri, tüketicinin her zaman diğer tüm uygun fiyatlı harcama planlarına tercih ettiği harcama planını tam olarak seçmesidir. Mareşalist talep, bunun altında her bir malın ne kadarının tüketileceğini belirleyerek tam olarak bu - optimal - harcama planını açıklar. Bu bir işlev olduğu için, Mareşalist talep, bu harcama planını yalnızca belirli bir miktar mülk ve herhangi bir belirli mal fiyatı için değil, aynı zamanda malların tüm olası miktarları ve fiyatları için de tanımlar.

Mareşalist talep fonksiyonu kavramı genelleştirilebilir. Daha genel olarak tek bir bir bahseder Marshall sorgulama karşılık (aynı zamanda Walrasgil sorgulama yazışmalar ). Fonksiyonun matematiksel kavramı, bir yazışma ile değiştirilir; bu, belirli bir servete ve ekonomideki belirli mal fiyatlarına sahip bir tüketicinin bazen sadece bir değil, birkaç optimal harcama planına sahip olmasını mümkün kılar.

Teknik olmayan giriş

Fayda işlevi fikri

Bir mal için tüketici talebini modellemenin çeşitli yolları vardır. Hangisinin uygun olduğu, tüketim kararının verilmesi konusunda yapılan varsayıma bağlıdır. Örneğin, tüketicilerin, söz konusu malların onlar için ne kadar değerli olduğuna bakılmaksızın, rastgele herhangi bir mal demeti kombinasyonunu seçecekleri varsayılabilir; ya da bir sosyal planlayıcının tüketicilerin tüm varlıklarını alıp onlara kendi kriterlerine göre belirli alışveriş arabaları atayacağı düşünülebilir. Bununla birlikte, modern fayda teorisinin temel fikri, tüketicilerin tercihlerine göre belirli bir malın miktarının tüketimi hakkında karar vermeleridir . Tüketicilerin bireysel tercih siparişleri vardır ; Bu tür bir tercih emri, bir mal demetinin en az diğer mal demeti kadar arzu edilir mi, yoksa en fazla diğer mal demeti kadar arzu edilir mi olduğuna dair tüm malların olası tüm kombinasyonları hakkındaki bilgileri içerir (bir paket örneği Malların yaklaşık "1 elma, 1 muz, 0 portakal ve 2 mango" olması gerekir ve bireysel tercih sıralaması, "2 elma, 0 muz, 1 portakal ve 2 mango" mal paketinin tüketiciyle nasıl ilişkili olduğuna ilişkin bilgileri içerebilir inceleniyor).

Bu bilgiyi ifade etmenin daha basit bir yolu, karmaşık siparişler yerine basit bir işleve bakmaktır. Belirli koşullar altında, belirli bir mal paketi için herhangi bir sayıda çıktı veren bir fayda işlevi oluşturulabilir. Bu sayı kendi içinde anlamsızdır; bunların önemi yalnızca diğer mal demetlerinin fayda değerleriyle yapılan bir karşılaştırmadan ortaya çıkar. Bu malların odaklayan yani açıktır tüketici tercih: mal herhangi iki paket, bir paket daha sonra kullanım değeri karşılaştırılması ve eğer bir paket daha kesin olarak daha büyük ise olan yardımcı işlev biz demeti dikkate tüketici üzerinde tercih edilir. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Marshall'ın talebi

Marshall'ın talebi, bu düşünceyi ilgili bir düşünceye bağlar: Mantıklı bir tüketici, yukarıdaki düşünceyle ona mümkün olan en büyük faydayı sağlamakla eşdeğer olan "tercih edilen" bir mal demetini tüketecektir. Ancak sınırsız ölçekte tüketilemez. Her tüketici, sözde bütçe kısıtlamasına tabidir , bu da, mevcut mal fiyatlarında karşılayamayacağı hiçbir mal demetini tüketemeyeceği anlamına gelir. Daha sonra, daha önce de belirtildiği gibi, karşılayabileceği mal yığınları arasından, tam olarak kendisine en büyük faydayı sağlayanı seçer. Şimdi mümkün olduğunca basit bir şekilde "mal 1" ve "mal 2" olarak adlandırmak istediğimiz ve fiyatlarda veya piyasada mevcut olan yalnızca iki mal olduğunu hayal edin . Daha sonra aşağıdaki problem, tüketicinin fayda maksimizasyonu problemini açıklamaktadır: ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$

{\ displaystyle \ max \; u (x_ {1}, x_ {2})}

kısıtlamalar altında ve

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ geq 0}

mevcut zenginlik , talep edilen mal 1 veya 2 miktarı ve tüketicinin fayda fonksiyonu ile. Problemi daha yönetilebilir hale getirmek için, önce fayda fonksiyonunun sürekli olduğu varsayılır . Bu, bir paket maldaki bir veya daha fazla malın miktarında küçük bir değişiklik olması durumunda, ortaya çıkan faydada ani bir sıçrama olmamasını sağlar. Bir açıklama uygun görünmektedir: fiyatlar ve gelir yukarıdaki maksimizasyon probleminde değişkenler olduğundan, sorunun çözümü somut bir mal demeti olmayacaktır; Hangi mal paketinin terimi maksimize ettiği, özellikle tam mal fiyatlarına ve mevcut servete bağlıdır, böylece çözüm bu değişkenlere (fiyatlar ve mevcut servet) bağlı olacaktır. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1,2}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2})}$

Mal için optimal talep 1'dir ve bu malın fiyatına , bireyin elde edebileceği gelire ve malın fiyatına bağlıdır. İkincisi, örneğin, faydayı maksimize eden talebin sezgisel olarak görülebilir. otomobiller için kesinlikle bir tren biletinin 500 EUR veya 5 EUR olup olmamasına da bağlıdır (bu, fiyatın münferit durumlarda bundan bağımsız olabileceği anlamına gelmez). Sonuç olarak, optimizasyon problemi iki ürün için optimal değerleri verir: (Mareşalli mal 1 talebi) ve benzer şekilde (Mareşal 2 mal talebi). ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$

Resmi tanımlama

Ifade tarafından tüketim mallarının belirli bir miktar talep , ve vektör özetlemek birlikte tüm malların talep saygı. Her malın fiyatı kesinlikle herkes için pozitiftir ve ekonominin fiyat vektörü olarak kabul edilebilir. ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {i}> 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$

Tüketicinin yararı, sürekli bir fayda işlevini takip eder . Tüketici bütçesi var . Şimdi, bütçe kısıtlamasını dikkate alarak tüketicinin fayda maksimizasyonu sorununu düşünün : ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle y> 0}$

{\ displaystyle \ max _ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}} u (\ mathbf {x})}

ikincil koşul altında

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + \ ldots + p_ {n} x_ {n} \ leq y}

Tanım: Be giderek , ve . Biri, tarafından tanımlanan yazışmayı gösterir ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}: \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) \ equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \}}

,

Mareşalyan yazışma talep ettiği gibi ( Walrasian da yazışma talep ediyor )

Maksimize sorun ise tek element solüsyon seti (sahiptir , yani tek bir çözüm) her demet için , atama olduğunu denen Marshall talep fonksiyonu (aynı zamanda bir şekilde bilinmektedir Walrasgil talep fonksiyonu ). ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Bir yazışma, küme değerli bir işlevdir . Daha dar anlamda bir işlev , hedef kümeden tek bir öğeyi tanım alanından her bir öğeye atarken (bu durumda mal demetleri kümesi), bir karşılık gelen hedef kümesinin bir alt kümesini tanım alanından her öğeye atar . Mareşalist talep fonksiyonu, bu nedenle, her bir gruba, hedef kümenin tam olarak tek elemanlı bir alt kümesinin atandığı özel bir talep uyuşması durumu olarak anlaşılabilir . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$

Mareşalist talep yazışmasının tanımı için başka yazımlar da kullanılmaktadır. Hakkında önemsiz

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) & \ equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} \\ & = \ left \ {\ mathbf {x} \ in B _ {\ mathbf {p}, y} \ left | \ left (\ forall \ mathbf {x } '\ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ right): u (\ mathbf {x}')> u (\ mathbf {x}) \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '> y \ sağ. \ sağ \} \ uç {hizalı}}}

İle

{\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y} \ equiv \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ left | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \ doğru. \}}

izin verilen miktar (bütçe tutarı). Sözlerle: Belirli bir fiyat sistemi ve belirli bir hanehalkı servetine yönelik Mareşalli talep, mülke sahip olan mal demetlerinin miktarına tam olarak karşılık gelir ki, daha fazla kullanıma sahip tüm mal demetleri, tüketimleri bütçe kısıtlamasını ihlal edecek kadar pahalıdır. .

Genel Özellikler

Varlık ve kompaktlık

Mareşalist talep yazışması boş değildir ve kompakt bir değere sahiptir.

Talep yazışmasının boş olmadığını görmek için bütçe tutarının kompakt olduğunu göstermek yeterlidir . Uygun nedeniyle Weierstrass uç değer teoremi , kompakt bir set üzerinde sürekli bir işlevi, her zaman, bir minimum ve bir maksimum değer vardır, yukarıdaki yardımcı maksimize sorunu vardır , en az bir solüsyon tüm . Bir alt kümesi olarak, (boş olmayan) bütçe kümesi, ancak ve ancak sınırlı ve kapalıysa ( Heine-Borel teoremi ) kompakttır . Durum budur: sınırlıdır çünkü fiyatların kesin pozitifliği göz önüne alındığında, her zaman ve aynı zamanda herkes ve herkes için geçerlidir ; ve zayıf eşitsizliklerle tanımlandığı için kapalıdır . Her iki özellik de, aşağıda "Süreklilik özellikleri" altında daha ayrıntılı olarak tartışılacak olan Berge'nin maksimum teoremini doğrudan takip eder. ${\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ leq y / p_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ içinde B _ {\ mathbf {p}, y}}$

Dışbükeylik ve performans

1. Fayda işlevinin yarı içbükey olmasına izin verin . O zaman Mareşalist talep yazışması dışbükey değerlidir.
2. Fayda işlevinin kesinlikle yarı içbükey olmasına izin verin . O halde Mareşalist talep yazışması herkes için bir unsurdur , başka bir deyişle: bir işlevdir . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Bu iki özellikle ilgili olarak, bir yarı-içbükey fayda fonksiyonunun altında yatan tercih sırasının dışbükey olduğu not edilmelidir ; (2.) bir kesinlikle yarı-içbükey fayda fonksiyonunun altında yatan tercih sırasının kesinlikle dışbükey olması. (1.) ve (2.) için tercih sırasının dışbükeyliğini (veya katı dışbükeyliğini) varsaymanın yeterli olmadığını unutmayın. Tersine, (katı) dışbükeyliği, her temsili fayda işlevinin (kesinlikle) yarı-içbükey olduğunu ima eder . Bununla birlikte, her (kesinlikle) dışbükey tercih sırası için gerçek değerli bir temsil yoktur. Örneğin, Debreu'nun (1959) ünlü örneğini ele alırsak, sözlükbilimsel tercih sıraları kesinlikle dışbükeydir, ancak bir fayda işlevi ile temsil edilemez. Bununla birlikte, burada sunulan kavramları tercih sıralarına göre tanıtmak mümkündür, böylece bir temsil işlevi artık önemli değildir. (1) kanıtı malların iki demetin dikkate dayanmaktadır , . Marshall'ın talebinin tanımından bunu takip ediyor . Bu fayda düzeyini ile belirleyin . Yarı içbükey bir yardımcı program işlevi için, tanımı gereği herkes için de geçerlidir . Dahası , çünkü ve Marshall'ın talebinin tanımına göre. Dolayısıyla öyle . Bundan ve onunla nihayet bunu takip eder . Yani bir dışbükey. (2) için: çelişki tarafından (ispat :) malların tekrar iki paket düşünün , . Yine, tanımı gereği . Katı yarı içbükeylik herkes için bir çelişki anlamına gelir . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$
${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ equiv \ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ [0,1]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '\ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ içinde B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u (\ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} ')> u (\ mathbf {x}')}$ ${\ displaystyle \ alpha \ (0,1)}$

homojenlik

Marshall talep eşleşmedir derecesi sıfır homojen olarak , olduğu, tüm ve her için . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y) = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Bu nedenle, hem servetin hem de tüm mal fiyatlarının aynı faktör tarafından artması veya düşmesi tüketim kararında bir fark yaratmaz. Bu aynı zamanda, varlıkların ve fiyatların faturalandığı para biriminin önemli olmadığı gerçeğini de ortadan kaldırır. Özellik izler, çünkü bütçe tutarı ile değiştirildiğinde aynı kalır . Elbette, maksimizasyon sorununun çözümü, varlıklar ve fiyatlardaki eşzamanlı değişimden etkilenmeden kalır. ${\ displaystyle B _ {\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ alpha \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq \ alpha y \} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} = B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Süreklilik özellikleri

1. Mareşalyan soruşturma yazışmaları en üstte.
2. Mareşalist talep yazışması herkes için tek unsur ve sonuç olarak bir işlev ise, bu süreklidir . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$

Özellikler, bir dipnota atıfta bulunulan maksimum teoremi (Berge teoremi) doğrudan takip eder. Uygulanabilirliğinin temel ön koşulu, verilen bütçe yazışmalarının sürekliliğidir , bu sayede bir yazışma hem üst hem de alt ise sürekli olarak belirlenir (tanım için dipnota bakın). Bu iki özellik sırasıyla bütçe yazışmaları için birbiri ardına gösterilebilir. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto B (\ mathbf {p}, y)}$

İzolasyon özellikleri

Mareşalist talep yazışmaları kapalıdır ve ayrıca kapalı bir grafiğe sahiptir.

Prensip olarak, kapalı değeri göstermek yeterli olacaktır, çünkü her üst düzey ve kapalı değer karşılığı aynı zamanda kapalı bir grafiğe sahiptir. Nihai değer sonuçları (yukarıda belirtildiği gibi) Berge teoreminden (dipnota bakınız).

Kapalı bir grafiğin varlığının "doğrudan" bir kanıtı aşağıda özetlenmiştir. Bir dizi göz önünde im sınır değeri ile ve bir sekans im sınır değeri ile . Ayrıca olun herkes için . Göstermek için: . Mareşalyen talebin tanımına göre, talep herkes içindir ve çünkü herkes için bu nedenle de sınır değerdedir . Öyle . (Çelişki ile kanıt :) Bunu varsayalım . O zaman, tanım gereği , bir hangisi olurdu . Yani aynı zamanda uygun bir ortam olacağını etrafında yanı sıra uygun bir ortam etrafında o herkes için . Ve nedeniyle aynı zamanda bir olacağını ile (metanet ve fiyatların sıkı pozitifliği). Daha sonra bunu yeterince büyük için takip eder , öyle ki . Aynı zamanda , yeterince büyük için bunu takip eder . Özetle: yeterince büyük . Ancak bu varsayımla çelişiyor . Yani bir gösterilmesini ne. ${\ displaystyle \ sol \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ sağ \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ sol \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ sağ \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {k} \ leq y_ {k}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ içinde B _ {\ mathbf {p}, y}}$
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ notin \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ içinde B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} ^ {\ text {alt}})> u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x} ', \ mathbf {x}' ') \ in U_ {0} \ times U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ içinde B _ {\ mathbf {p}, y} \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {\ text {eski} } \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle \ sol \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ sağ \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ sağarrow (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y_ {k}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ içinde B _ {\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}} \ cap U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ sol \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ sağ \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ U_ {0}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Walras Hukuku

Fayda işlevinin temelini oluşturan tercihlerin sırasının yerel olarak doyurulmamasına izin verin. O halde Mareşalist talep Walras yasasını karşılar , yani geçerlidir . ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {m} = y}$

Yerel doymamışlık özelliği, tercih emirlerine yerleştirilen ortak bir gerekliliktir. Açıkça söylemek gerekirse, bu, her bir mal demetinin her zaman, ortaya çıkan mal demetinin kesinlikle orijinal pakete tercih edilecek şekilde minimum düzeyde değiştirilebileceği anlamına gelir. Biçimsel tanım için bir dipnota atıfta bulunulur.

(Çelişki tarafından Kanıtı :) gerçekten varsa herhangi biri için , o zaman oradaki doymamışlık gereklilikten izler olmalıdır malların başka paket çevresinde , ayrıca hangi ve aynı zamanda . Ancak varsayımın aksine, fayda maksimizasyonu sorununa hiçbir çözüm olamaz . ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '<y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} '')> u (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$

Yerel doymamışlık açık bir şekilde tercih sırası için katı monotonluktan daha zayıf bir gerekliliktir . Kesin olarak monoton olarak artan her fayda fonksiyonu, katı bir şekilde monoton bir tercihler sırasına dayandığından, Walras yasasının geçerliliği için yukarıdaki gereklilik, kesinlikle monoton olarak artan bir fayda fonksiyonu için önemsiz bir şekilde yerine getirilir.

Analitik belirleme

Gerekli ve yeterli optimallik koşulları

Fayda fonksiyonunun sürekli türevlenebilir olduğu varsayıldığında , Karush-Kuhn-Tucker metodu (KKT metodu) yukarıdaki fayda maksimizasyonu problemi için gerekli koşulları sağlar . Atamak

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}) = u (\ mathbf {x}) + \ lambda (y- \ mathbf {p \ cdot x})}

.

fayda maksimizasyonu probleminin uzun vadeli bir fonksiyonu olarak.

Fayda maksimizasyonu problemine uygulanan KKT teoremi:

1. Sürekli ayırt edilebilir olun . O zaman aşağıdakiler geçerlidir: Fayda maksimizasyonu problemine uygulanabilir bir çözüm varsa, o zaman zorunlu olarak aşağıdaki koşulların (KKT koşulları) yerine getirildiği bir tane de vardır: ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$

ben)

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} \ leq y}

ii) herkes için (her zaman eşitlikle doldurulur )

{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ kısmi u (\ mathbf {x})} {\ kısmi x_ {i}}} \ sağ | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} \ leq \ lambda p_ {ben}}

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}

iii)

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} - y) = 0}

2. Sürekli türevlenebilir, yarı içbükey olun ve herkes için gradyan olun . Daha sonra: Tatmin ve koşulları (1) (i) - (iii) daha sonra yardımcı maksimize soruna bir çözüm. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ nabla u (\ mathbf {x}) \ neq \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

3. Sürekli türevlenebilir ve içbükey olun . Daha sonra: Tatmin ve koşulları (1) (i) - (iii) daha sonra yardımcı maksimize soruna bir çözüm. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$

Uyarılar:

Biri (1) doğrusal olmayan bir programın ortak formülasyonu ile karşılaştırılırsa, hiçbir sözde kısıtlı yeterliliğin (Almanca kullanımda genellikle "düzenlilik koşulu" terimi altında anılır) açıkça gerekli olmadığı fark edilir. Bunun nedeni, fayda maksimizasyonu probleminde bunun her zaman yerine getirilmesidir. Biz standart forma tam fayda maksimizasyonu problemi dönüştürmek, bu okur altında kısıtlamaları ve için . Yani tüm kısıtlamalar doğrusaldır. Böylece, KKT teoreminin ortak bir sonucunu kullanarak, KKT koşullarının (1) (i) - (iii) uygulanabilirliği için gereksinimler karşılanır. ${\ displaystyle \ max u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle g_ {1} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} -y \ leq 0}$ ${\ displaystyle g_ {1 + j} (\ mathbf {x}) = - x_ {j} \ leq 0}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$
Yukarıda, Mareşalist talebinin boş olmadığı zaten gösterilmişti ( Genel Özellikler bölümüne bakın ). Böylece, her zaman KKT koşullarını (1) (i) - (iii) karşılayan bir tane vardır. ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*}}$
(2) altındaki gradyan koşulu çok düşük bir eşiğe sahiptir; Gereken tek şey, bazı malların kesinlikle pozitif marjinal fayda sağlamasıdır.

Optimallik koşullarının yorumlanması

Şekil 2. İki mal durumunda faydayı maksimize etme, iç çözüm. Kırmızı renkli alan, bütçe çizgisi ile sınırlandırılan bütçe tutarıdır. Bütçe kısıtlamasını eşitlikle karşılayan tüm miktar kombinasyonlarının bulunduğu yer burasıdır .

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Şekil 3. İki mallı durumda faydayı maksimize etme, marjinal çözüm.

Şekil 4. Mareşalyan talebinin inşası, iki mallı durumda sabit gelir için işlev görür.

İç çözüm

Bir iç optimum varsa, yani herkes için , birinci dereceden optimallik koşulu bunda (1) (ii) 'ye göre geçerlidir. ${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ kısmi u (\ mathbf {x})} {\ kısmi x_ {i}}} \ sağ | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} = \ lambda p_ { ben}}

herkes için .

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

Kişi durumu (iki mal durumu) ele alırsa , bu şu anlama gelir: ${\ displaystyle n = 2}$

{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2}) / \ kısmi x_ {1}} {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2}) / \ kısmi x_ {2}}} \ sağ | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})} = {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Bu denklemin sol tarafı, mal 2'ye göre (bir kayıtsızlık eğrisinde ) mal 1'in marjinal ikame oranı (MRS) , sağ taraf ise iki malın fiyat oranıdır. Şekil 2 , bu durumu göstermektedir: Belirli bir mal fiyatı ve belirli bir gelir için Mareşalist talep, tam olarak, mümkün olan en yüksek kayıtsızlık eğrisinin (burada :) hala bütçe çizgisine değdiği mal demetine karşılık gelir . Bu teğetsel noktada kayıtsızlık eğrisinin eğimi - yani mal 1'in iyi 2'ye göre ikamesinin negatif sınır oranı - tam olarak bütçe çizgisinin eğimine karşılık gelir . Bu koşul geçerli değilse, tüketici, tüketimini marjinal olarak değiştirerek daha iyi durumda olabilirdi. Örneğin ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}$ ${\ displaystyle I ^ {1}}$ ${\ displaystyle -p_ {1} / p_ {2}}$

{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2}) / \ kısmi x_ {1}} {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2}) / \ kısmi x_ {2}}} \ sağ | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

,

o zaman bütçe kısıtı dahilinde mal 1 tüketimini artırmak ve aynı zamanda mal 2 tüketimini azaltmak mümkün olacaktır. Bu, faydayı tersine çevirir ${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {1}}$ ${\ displaystyle (p_ {1} / p_ {2}) \ mathrm {d} x_ {1}}$

{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2})} {\ kısmi x_ {1}}} \ sağ | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ mathrm {d} x_ {1} - \ left. {\ Frac {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2})} {\ kısmi x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ mathrm {d} x_ { 1}> 0}

büyüt. O halde, başlangıçta dikkate alınan mallar demeti, faydayı maksimize edemez.

Edge çözümü

Şekil 3'te iki mallı durum için gösterildiği gibi, optimum, marjinal bir çözüm de olabilir; burada, bu noktada örnekte, bütçe tutarının "sınırındasınız" . Kural olarak, gerekli koşullardan (1) (ii) de görülebileceği gibi, yukarıdaki eşitlik koşulu burada geçerli değildir. Aslında, bu aynı zamanda Şekil 3'te gösterilmektedir : Aşağıdakiler, bulunan optimum noktada geçerlidir. ${\ displaystyle x_ {2} ^ {0} = 0}$

{\ displaystyle \ sol. {\ frac {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2}) / \ kısmi x_ {1}} {\ kısmi u (x_ {1}, x_ {2}) / \ kısmi x_ {2}}} \ sağ | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Marjinal bir çözümde, bu mümkündür, çünkü tüketici mal 1'de serbest bırakılan varlıkları kullanmak için artık mal 2 tüketimini azaltamaz.

inşaat

Şekil 4 , iki mallı durumda ve fayda maksimizasyonu problemine bir iç çözüm olduğu varsayımı altında Mareşalist talebinin grafiksel yapısını göstermektedir. Sorunu grafiksel olarak yönetilebilir hale getirmek için önce düzeltmeler ve . Ardından, mal 1 için farklı fiyatlardan kaynaklanan talep üzerindeki etkileri oynarsınız. Örnekte, şu andan itibaren bir fiyat indirimi ele alınmıştır. Bu, başlangıçta bütçe çizgisinin eğimini değiştirerek yeni, optimum bir mal paketi ortaya çıkarır. Bu, daha sonra değiştirilen fiyat üzerinden aşağıdaki şemaya aktarılabilir. Bunu her tür fiyat için uygularsak, Mareşal talep fonksiyonunu (sabit ve için ) verir . ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {0}}$ ${\ displaystyle p_ {1} '}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, {\ overline {p_ {2}}}, {\ overline {y}})}$

İki mal durumunda örnek

Be . Miktarları veya ile gösterilen elma (mal 1) ve muz (mal 2) için bir pazar düşünün . Bir elmanın fiyatı bir muzun fiyatı olsun . Hane halkının bütçesi ve o sadece elma ve muz tüketiyor. Evin faydası, bir Cobb-Douglas yardımcı programı işlevini izler . Fayda maksimizasyonu problemi ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 4}$ ${\ displaystyle y = 40}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {0 {,} 4} \ cdot x_ {2} ^ {0 {,} 6}}$

{\ displaystyle \ max _ {(x_ {1}, x_ {2}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}} u (x_ {1}, x_ {2})}

ikincil koşul altında .

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Yani Lagrangian

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}) = u (x_ {1}, x_ {2}) - \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2 } x_ {2} -y)}

.

Optimum fayda için gerekli koşullar ("Gerekli ve yeterli optimallik koşulları" bölümüne bakın):

${\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}$
${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ kısmi x_ {1}}} = {\ frac {\ kısmi u (x_ {1} , x_ {2})} {\ kısmi x_ {1}}} - \ lambda p_ {1} = 0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {, } 6} -p_ {1} \ lambda \ leq 0}$ (eğer eşitlikle ) ${\ displaystyle x_ {1}> 0}$
${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ kısmi x_ {2}}} = {\ frac {\ kısmi u (x_ {1} , x_ {2})} {\ kısmi x_ {2}}} - \ lambda p_ {2} = 0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {, } 4} -p_ {2} \ lambda \ leq 0}$ (eğer eşitlikle ) ${\ displaystyle x_ {2}> 0}$
${\ displaystyle \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -y) = 0}$ ve . ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Bu optimallik koşullarının, fayda fonksiyonunun içbükeyliği nedeniyle de yeterli olduğuna dikkat edin. Bütçe kısıtı optimumda bağlanacaktır, çünkü fayda işlevi kesinlikle monoton bir şekilde artmaktadır ve sonuç olarak Walras yasası geçerlidir. Durum 1 ve 2'den bölünerek takip eder

{\ displaystyle {\ frac {0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {,} 4}} {0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {,} 6}}} = {\ frac {p_ {2} \ lambda} {p_ {1} \ lambda}} \ Rightarrow {\ frac {3} {2 }} \ cdot {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ Rightarrow x_ {2} = 1 {,} 5x_ { 1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Bunu değiştirilen bütçe koşuluna koyarsanız, sonuç

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} = y-p_ {2} x_ {2} = y-p_ {2} \ cdot 1 {,} 5x_ {1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ Rightarrow {\ color {BrickRed} x_ {1} ^ {*} = {\ frac {y} {2 {,} 5p_ {1}}} = 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}}}

,

bununla sonra tekrar

{\ displaystyle {\ color {BrickRed} x_ {2} ^ {*} = {\ frac {1 {,} 5} {2 {,} 5}} {\ frac {y} {p_ {2}}} = 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}}}

1 ve iyi 2 için ilgili Mareşalist talep işlevlerinden başka bir şey değildir ve için son iki ifade . ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*}}$

Uyarılar:

Örnek, muz ve elma talebinin yalnızca ilgili malın fiyatına bağlı olduğu, ancak diğer malın fiyatına bağlı olmadığı özel bir durumla ilgilidir; örneğin muz talebi , elma fiyatından bağımsızdır . Bu genellikle durum böyle değildir. ${\ displaystyle p_ {1}}$
Marshall'ın sorgularındaki çarpımsal terimlerin fayda fonksiyonundaki ilgili üslere tam olarak karşılık geldiği dikkat çekicidir. Aşağıdaki bölümde gösterildiği gibi bu bir tesadüf değil.

Fiyatların ve gelirin bu işlevlere eklenmesi, hanehalkında optimum 8 elma ve 6 muzun talep edildiğini göstermektedir.

Marshall'ın ortak fayda fonksiyonları için talep fonksiyonları

Fayda işlevi	Marshall'ın talebi
Cobb-Douglas yardımcı program işlevi ( ölçeğe göre sabit getiri ): ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdot x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}}}$ , İle ${\ displaystyle \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} = 1}$	Şunun için : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {i} y / p_ {i}}$
CES yardımcı programı işlevi: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ sol (x_ {1} ^ {\ rho} + x_ {2} ^ {\ rho} \ sağ) ^ {1 / \ rho}}$ İle ${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ , ${\ displaystyle \ rho <1}$	Şunun için : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {p_ {i} ^ {r-1} y} {p_ {1} ^ {r} + p_ {2} ^ {r}}}}$ İle ${\ displaystyle r = {\ frac {\ rho} {\ rho -1}}}$
Doğrusal yardımcı program işlevi: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ başla {vakalar} y / p_ {1} ve {\ text {if}} \ quad p_ {1 } <p_ {2} \\\ xi \ in [0, y / p_ {1}] \ quad \ mathrm {any} & \ mathrm {if} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ 0 & {\ text {düşme}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {vakalar}}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ başlar {vakalar} 0 & {\ text {düşme}} \ quad p_ {1} <p_ {2 } \\\ xi \ in [0, y / p_ {1}] \ quad {\ text {any}} ve {\ text {if}} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ y / p_ {2} & {\ text {düşüyor}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {vakalar}}}$
Leontief yardımcı program işlevi: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ min \ {x_ {1}, x_ {2} \}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {y} {p_ {1} + p_ {2}}}}$
Stone Geary yardımcı programı işlevi: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} - \ alpha _ {1}) ^ {\ beta _ {1}} \ cdot (x_ {2} - \ alpha _ { 2}) ^ {\ beta _ {2}}}$ İle ${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ beta _ {2} \ geq 0}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {1} + {\ frac {\ beta _ {1}} {p_ {1}}} (y- \ alpha _ {2} p_ {2})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {2} + {\ frac {\ beta _ {2}} {p_ {2}}} (y- \ alpha _ {1} p_ {1})}$

İlgili kavramlarla ilişki

Dolaylı fayda fonksiyonu

Elde edilen Mareşalist talep orijinal fayda fonksiyonuna geri konulursa, malların ve gelirlerin fiyatlarına bağlı olan bir fayda fonksiyonu elde edilir . Dolaylı fayda işlevi olarak adlandırılır . Belirli bir fiyat-gelir yapılandırması için, dolaylı fayda fonksiyonu, faydayı maksimize eden hanehalkının talebi yoluyla ulaştığı belirli fayda seviyesini gösterir. ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle v (\ mathbf {p}, y) \ eşdeğer u [\ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)]}$

Hicks'in talep fonksiyonu

Şekil 5. Burada ele alınan fayda maksimizasyonu problemi ile harcama minimizasyonu problemi arasındaki ilişki.

Mareşalli talep, gösterildiği gibi, hanehalkının fayda maksimizasyonu probleminden kaynaklanır ve belirli bir gelirle mümkün olan en yüksek fayda düzeyine ulaşmak için gerekli olan malların miktarını - mal fiyatlarına bağlı olarak - gösterirken , Hicks'in talebi Hanehalkının harcama minimizasyonu problemi ve belirli bir fayda düzeyini olabildiğince ucuza elde etmek için gerekli malların miktarını - mal fiyatlarına bağlı olarak - gösterir . ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}}}$

Bununla birlikte, kavramsal farklılığa rağmen, Marshall'ın ve Hicks'in talebi arasında, yukarıda bahsedilen ana maddeye atıfta bulunulan yakın bir işlevsel ilişki vardır.

İki mal durumunda örnek (devamı)

(Yukarıdaki örneğin devamı.)

Dolaylı fayda fonksiyonu

Dolaylı fayda işlevi

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) \ eşit u \ sol [x_ {1} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y), x_ {2} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y) \ sağ] = \ left (x_ {1} ^ {*} \ sağ) {} ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left (x_ {2} ^ {*} \ sağ) {} ^ {0 {,} 6}}

Alınan Mareşalli sorgu listelerini ikame etmek

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ sol ({\ renk {BrickRed} 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}} \ sağ) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ color {BrickRed} 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}} \ sağ) ^ {0 {,} 6} = \ sol ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ sağ) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2} }} \ sağ) ^ {0 {,} 6} \ cdot y}

Malların ve gelirin fiyatları göz önüne alındığında, dolaylı fayda fonksiyonu, mümkün olan maksimum fayda seviyesini gösterir. Biri sonuçlanan uygun şekilde kontrol edebilir sağlar için değerler ile birlikte , ve yukarıda kabul . Bu verir ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle v \ yaklaşık 6 {,} 73}

.

Ve aslında, yukarıda elde edilen optimal miktarda mal ile ve : ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = 8}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*} = 6}$

{\ displaystyle u (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) = 8 ^ {0 {,} 4} \ cdot 6 ^ {0 {,} 6} \ yaklaşık 6 {,} 73}

.

Hicks'in talep fonksiyonu

Marshallian talep fonksiyonlarından ve ilgili Hicksian talep fonksiyonlarından elde etmek için , herhangi bir fayda seviyesinde dolaylı fayda fonksiyonunu ayarlar ve ardından fonksiyonları gelire göre dönüştürür: ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 4 (y / p_ {1})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 6 (y / p_ {2})}$

{\ displaystyle \ sol ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ sağ) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ sol ({\ frac {0 {,} 6} { p_ {2}}} \ right) ^ {0 {,} 6} \ cdot y = {\ overline {u}} \ Rightarrow y = {\ frac {\ overline {u}} {\ left ({\ frac { 0 {,} 4} {p_ {1}}} \ sağ) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2}}} \ sağ) ^ {0 {,} 6}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ sağ) ^ {0 {,} 6}}

Bu, gider fonksiyonudur . Shephard'ın lemmasını kullanarak , hemen takip eder ${\ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}})}$

{\ displaystyle x_ {1} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ kısmi e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ kısmi p_ {1}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ sağ) ^ {- 0 {,} 6} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ sağ) ^ {0 {,} 6}}

veya.

{\ displaystyle x_ {2} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ kısmi e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ kısmi p_ {2}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ sağ) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ sağ) ^ {- 0 {,} 4}}

.

Türevlenebilirlik

Tüketici talebinin matris denklemi

Aşağıdaki değerlendirme açısından önemli olduğu için, (matris) vektör ürünlerinin kısaltılmış gösterimi kısa bir süre için bırakılır ve bunun bir sütun mu yoksa bir satır vektörü mü olduğu açıkça belirtilir. ve her ikisi de sütun vektörleri olsun. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Birinci dereceden koşulları düşünün

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x})} {\ kısmi x_ {i}}} = 0 \ Sağa doğru {\ frac {\ kısmi u (\ mathbf {x} )} {\ kısmi x_ {i}}} = \ lambda p_ {i}}

hepsi için

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ Leftrightarrow \ nabla u (\ mathbf {x}) = \ lambda \ mathbf {p}}

ile ( gradyanı ve ikinci durum yarar fonksiyonu) ${\ displaystyle \ nabla u (\ mathbf {x})}$

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathbf {x} = y}

Toplam farklılık şu koşullardan oluşur :

{\ displaystyle U \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ mathbf {p} \ mathrm {d} \ lambda + \ lambda \ mathrm {d} \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathrm {d} y}

ile - Hessian matrisinin yardımcı fonksiyon, bir inci elemanı verilir ile , ve matris gösterim bu sistemin dönüştürür: ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle (n \ kere n)}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle \ kısmi ^ {2} u (\ mathbf {x}) / \ kısmi x_ {i} \ kısmi x_ {j}}$

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {dizi}} \ sağ) \ cdot \ sol ({ \ begin {dizi} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {dizi}} \ sağ) = \ left ({\ begin {dizi} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {dizi}} \ sağ) \ cdot \ left ({\ begin {dizi} {c} \ mathrm {d } y \ \\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {dizi}} \ sağ)}

Barten (1966) ile bağlantılı olarak, bu denklem bazen “ tüketici talebinin temel matris denklemi ” olarak anılır . Bu ifadeyi (a) adlandırın. Ayrıca talep sistemini de düşünün

{\ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (\ mathbf {p}, y)}

hepsi için

{\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle \ lambda = \ lambda (\ mathbf {p}, y)}

.

Bunun da toplam farkını oluşturun:

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {dizi}} \ sağ) = \ sol ({\ başlar {dizi} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T } \ end {dizi}} \ sağ) \ cdot \ left ({\ begin {dizi} {c} \ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {dizi}} \ right )}

ile , , ve bir matris inci elemanı . Bu ifadeyi (b) adlandırın. ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {p}} = (\ kısmi \ lambda / \ kısmi p_ {1}, \ ldots, \ kısmi \ lambda / \ kısmi p_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {y} = \ kısmi \ lambda / \ kısmi y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {y} = (\ kısmi x_ {1} / \ kısmi y, \ ldots, \ kısmi x_ {n} / \ kısmi y) ^ {T}}$ ${\ displaystyle X _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ displaystyle (n \ kere n)}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle \ kısmi x_ {i} / \ kısmi p_ {j}}$

(b) (a) 'da verim

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {dizi}} \ sağ) \ sol ({\ başla {dizi} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {dizi}} \ right) = \ left ({\ begin {dizi} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {dizi} } \ sağ)}

ya da - düzgünlüğü ve presupposed - farklı ifade ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle {\ begin {align}} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {dizi}} \ sağ) & = \ left ({\ begin {dizi} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf { p} ^ {T} & 0 \ end {dizi}} \ sağ) ^ {- 1} \ left ({\ begin {dizi} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {dizi}} \ sağ) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ left ({\ begin {dizi} {cc} (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) U ^ {- 1} -U ^ {- 1} \ mathbf {p } (U ^ {-1} \ mathbf {p}) ^ {T} & U ^ {- 1} \ mathbf {p} \\ (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} & - 1 \ end {dizi}} \ sağ) \ left ({\ begin {dizi} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {dizi }} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ left ({\ begin {dizi} {cc} U ^ {- 1} \ mathbf {p} & (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) \ lambda U ^ {- 1} - \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} \ mathbf {x} ^ {T} \\ - 1 & \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} + \ mathbf {x} ^ {T} \ end {dizi}} \ sağ) \ end {hizalı}}}

Türevlenebilirlik özelliği

1. Teorem (Katzner 1968): Mareşal araştırmaları sistemi, ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda sürekli olarak farklılaştırılabilir : ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {dizi}} \ sağ)}

düzenli olarak bu noktada . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

2. Lemma: (1.) altındaki koşul, ancak ve ancak aşağıdaki geçerliyse yerine getirilir:

{\ displaystyle \ sol ({\ başlar {dizi} {cc} U & \ nabla u (\ mathbf {x}) \\\ sol [\ nabla u (\ mathbf {x}) \ sağ] ^ {T} ve 0 \ end {dizi}} \ sağ)}

düzenli. Bu matris, fayda fonksiyonunun değiştirilmiş Hessian matrisidir .

Fikir tarihinin sınıflandırılması

Mareşalist talebin dayandığı sıralı fayda kavramı , Vilfredo Pareto'nun halefindeki “modern” ekonomik fayda anlayışına dayanmaktadır . Pareto (1906), Edgeworth'un (1881) bir kavramını, farklı mallar için kayıtsızlık eğrilerini inşa etti, benimsedi ve devam ettirdi ; bu sayede - aslında artık gerekli olmayacaktı - bazen yine de faydanın temel bir belirlenebilirliğini varsayıyor; yine de, (temel) tercihler ve (yalnızca temsilci) faydalar arasındaki kesin ayrımı açıklığa kavuşturur. Edgeworth'un aksine, kayıtsızlık eğrilerinin bir kardinal fayda fonksiyonunun grafiksel bir temsili olarak inşa edilmesini istemez, aksine, fayda teorisini yalnızca kayıtsızlık eğrileri temelinde (gözlemlenebilirliğe dayalı) geliştirir. Zaten Pareto (1896) - ve bağımsız olarak Fisher (1892) - talep fonksiyonlarının inşası için hizmetin ölçülebilirliğinin gerekli olmadığını göstermektedir.

Marshall'ın talebinin diğer kavramsal yapı taşı - talep fonksiyonunun fayda teorisi temelinde inşa edilmesi - Léon Walras'a kadar izlenebilir . 1872 gibi erken bir tarihte Walras, perakendecilerin faydalarını en üst düzeye çıkarmaya çalıştıkları bir model geliştirdi, bu sayede bireysel fayda fonksiyonları bağımsız ve birbirine katkı sağladı. Walras gibi Lozan Üniversitesi'nde profesör olan Antoine Paul Piccard (1844–1920), isteği üzerine nihayet sınırlı bir maksimizasyon problemi kullanarak bir denge işlevi inşa etmenin bir yolunu sağladı . İki mal için iki marjinal fayda eğrileri başlayarak ve ve belirli bir pozitif başlangıç bağış verilen fiyatlarla, Piccard tüketimi için bir optimumu durum oluşturur ve henüz modern takip etmez talep eğrisinin bir tür olarak ifade edilebilir, bir talep eğrisi kavramı, bununla iki mallı durum ilişkilidir. Bu genişletilmiş model aynı zamanda, özellikle Walras'ın modern talep kavramına nüfuz eden marjinal fayda (Walras'ın terminolojisinde: yeniden belirleme ) ve mal fiyatlarının orantılılığı hakkındaki bilgisinden doğmuştur . Marshall (1890), talep fonksiyonundan bir talep eğrisi elde etmenin çok daha basit ve daha doğrudan bir yolunu sağlar. Walras'ta olduğu gibi, fayda fonksiyonunun bağımsızlığı ve toplamsallığı ve azalan bir marjinal fayda varsayılmaktadır. Buna dayanarak, Marshall gerçekten de mal fiyatlarının ve gelirinin bir fonksiyonu olarak talep eğrisinin modern formülasyonunu inşa edebilir; Ancak, bunu yalnızca “sabit” marjinal bir gelir faydası varsayımı altında yapmayı başarır. Bu varsayım, Pareto da dahil olmak üzere İlkeler yayınlandığında eleştiriyle karşılaştı . Marshall ayrıca Walras'la, vazgeçilebilirliğini Pareto'nun daha sonra gösterebildiği bir kardinal fayda konseptinin temelini paylaştı. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B}}$

Yevgeny Slutsky, metodolojik bileşenleri bir araya getirmede kilit bir rol oynadı . O (1915) zaten Mareşalist talep işlevinin modern kavramını büyük ölçüde ana hatlarıyla çiziyor. John Hicks ve RGD Allen (1934a, 1934b) tarafından biraz daha genel bir versiyon (Slutsky'nin katkısından habersiz) sağlanmıştır.

Edebiyat

Anton Barten ve Volker Böhm: Tüketici Teorisi. In: Kenneth J. Arrow ve Michael D. Intrilligator (Ed.): Handbook of Mathematical Economics. Cilt 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6 , sayfa 382-429 (ayrıca çevrimiçi: doi : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02004-9 ).
Friedrich Breyer: Mikroekonomi. Giriş. 5. baskı Springer, Heidelberg ve diğerleri. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7 (ayrıca çevrimiçi: doi : 10.1007 / 978-3-642-22150-7 ). [4. Bölüm]
Arthur S. Goldberger: Fonksiyonel form ve fayda. Tüketici talep teorisinin gözden geçirilmesi. Westview Press, Boulder 1987, ISBN 0-8133-7489-8 .
Donald W. Katzner: Statik Talep Teorisi. Macmillan, New York 1970.
David M. Kreps: Mikroekonomik Temeller I. Seçim ve Rekabetçi Piyasalar. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8 .
Andreu Mas-Colell, Michael Whinston ve Jerry Green: Mikroekonomik Teori. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1 . [Bölüm 3]
Efe A. Ok: Ekonomik Uygulamalar ile Reel Analiz. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11768-3 .
Eugene Silberberg: Hicksian ve Marshallian talepleri. In: Steven N. Durlauf ve Lawrence E. Blume (Ed.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. Baskı. Palgrave Macmillan 2008, doi : 10.1057 / 9780230226203.0731 (çevrimiçi baskı).
Mark Voorneveld: Mikroekonomik teorinin matematiksel temelleri: Tercih, fayda ve seçim. Script, Stockholm School of Economics, 2009, İnternet https://studentweb.hhs.se/courseweb/CourseWeb/Public/PhD501/0701/notes2.pdf , 5 Mayıs 2014'te erişildi.

Uyarılar

↑ tüm dizilerini kümesidir gerçek sayılar ile ; ile gerçek sayıların tüm demetlerinin kümesi . ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$
↑ maksimumun argümanını gösterir . ${\ displaystyle \ arg \ max (\ cdot)}$
↑ Bkz. James C. Moore: Genel denge ve refah ekonomisi. Giriş. Springer, Berlin ve diğerleri. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (ayrıca çevrimiçi: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), s.88 .
↑ Be ve iki metrik uzay. Bir yazışma olduğunu adlandırılan kompakt değerli varsa bir kompakt alt kümesi içinde herkes için . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gama: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ Gama (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ X içinde}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ Aşağıda, örneğin, Kreps 2012, s. 53; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 50 f.
↑ Örneğin Kreps 2012, s.34'e bakın.
↑ Kreps 2012, s.34.
^ Gerard Debreu : Değer Teorisi. Ekonomik Dengenin Aksiyomatik Analizi. Yale University Press, New Haven ve Londra 1959, burada s. 72 f.
↑ Örneğin bkz. James C. Moore: Genel denge ve refah ekonomisi. Giriş. Springer, Berlin ve diğerleri. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (ayrıca çevrimiçi: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), Bölüm 4; Ariel Rubinstein : Mikroekonomi Teorisinde Ders Notları. Ders 5. İnternet http://press.princeton.edu/rubinstein/lecture5.pdf , 6 Mayıs 2014'te erişildi.
↑ ^bir^B Yazışmalar olup şu şekilde de ifade üst yarım küre her noktada ise , aşağıdakiler geçerlidir: Her açık bir kümesi için içerir, bu da çevre vardır olarak aşağıdaki biçimde Tüm . Bir uyuşma olduğu adı subhemistig her noktada ise , aşağıdakiler geçerlidir: Her ne zaman ve üzerinden bir karşı olan yakınsak dizisi verilir, sonra bir doğal sayı vardır ve bir dizi içinde olan yakınsak için, burada tüm . Bkz. Knut Sydsæter ve diğerleri: Ekonomik analiz için daha fazla matematik. 2. baskı Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , s. 504 f. Literatürdeki terminolojinin bazen bundan farklı olduğunu unutmayın. Bazen (alt / üst) yarı süreklilik yerine (alt / üst) yarı süreklilik terimi kullanılır (örneğin, Kreps 2012; Gerard Debreu: Değer Teorisi. Ekonomik Dengenin Aksiyomatik Analizi. Yale University Press, New Haven ve Londra 1959), gerçek değerli işlevler için ilgili ancak yine de farklı bir terim tanımı ile çakışan (birçok Forster yerine bunun için bakınız: Analiz. Bölüm 3. 5. baskı. Springer, Berlin ve diğerleri. 2009, ISBN 978-3 -8348- 0704-5 , s. 39 f .; Dean Corbae, Maxwell B. Stinchcombe ve Juraj Zeman: Ekonomik Teori ve Ekonometri İçin Matematiksel Analize Giriş. Princeton University Press, Princeton ve Oxford 2009, ISBN 978-0-691 -11867-3 , sayfa 349). ${\ displaystyle \ Gama: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ Gama (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ Gama (\ mathbf {x}) \ subseteq U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \, N _ {\ epsilon} \ cap X}$
${\ displaystyle \ Gama: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ in \ Gama (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \} _ {k = k_ {o}} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ Gama (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ geq k_ {0}}$
↑ ^a^b Be ve iki metrik uzay . Sürekli, kompakt değerli ve boş olmayan on yazışmasını tanımlayın ve sürekli bir işlev olun. Sonra ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle u: X \ times Y \ rightarrow \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}) \ equiv \ sup \ {u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ mathbf {y} \ in \ Gama (\ mathbf {x}) \ }}$
sürekli bir işlev ve
${\ displaystyle \ mu (\ mathbf {x}) \ equiv \ {\ mathbf {y} \ in \ Gama (\ mathbf {x}) | u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ varphi (\ mathbf {x}) \}}$
Boş olmayan, kompakt ve üst düzey bir yazışmayı tanımlar. Kanıt için, Dean Corbae, Maxwell B. Stinchcombe ve Juraj Zeman: Ekonomik Teori ve Ekonometri İçin Matematiksel Analize Giriş'e de bakınız. Princeton University Press, Princeton ve Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867-3 , s. 268 f .; Ok 2007, s. 306 vd .; James C. Moore: Ekonomik teori için matematiksel yöntemler. Cilt 2. Springer, Berlin ve diğerleri. 1999, ISBN 3-540-66242-1 , s.280 .
↑ Üst yarıkürenin kanıtı için Ok 2007, s. 292 ve Kreps 2012, s. 55 f.; sub-hemostatik olduğunu kanıtlamak için bkz.Ok 2007, s. 299 ve Kreps 2012, s.56
↑ Be ve iki metrik uzay. Yazışma söylenir edilecek kapalı olup olmadığını kapalı alt kümesi herkes için . Bkz. Ok 2007, s.289. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gama: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle \ Gama (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ X içinde}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ yazışma bir sahip kapalı grafiği varsa aşağıdaki ima geçerlidir her noktada : Be ve ile ve keyfi sonuçları ve uygulamak herkese . Öyleyse . Bkz. Ör., Ok 2007, s.294. ${\ displaystyle \ Gama: X \ subseteq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ Gama (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ in \ Gama (\ mathbf {x} ^ {0})}$
↑ Bkz. Ayrıca kanıt için, Ok 2007, s. 295 f.
↑ Voorneveld 2009, s.24'e göre; Charalambos D. Aliprantis: Denge Teorisindeki Sorunlar. Springer, Berlin ve diğerleri. 1996, ISBN 3-540-60753-6 , s. 39 f.
↑ Bir tercih sıralaması , varsa yerel olarak doymamış olarak ve bir var olan her ortam için . Makale Tercihi Yönetmeliğine bakın . ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ X}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\, N _ {\ epsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ succ \ mathbf {x} ^ {0}}$
↑ Bkz. Mas-Colell / Whinston / Green 1995, sayfa 53 f .; Kreps 2012, s. 57 f., 480 vd. (Kanıt için); teoremin genel kanıtı üzerine ayrıca Knut Sydsæter ve diğerleri: Ekonomik analiz için daha fazla matematik. 2. baskı Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , s. 143 f.
↑ Kanıt için ayrıca bakınız, Michael Carter: Matematiksel ekonominin temelleri. MIT Press, Cambridge 2001, ISBN 0-262-03289-9 , s. 577 ff. ( Yararlılık maksimizasyonu problemi örneğini kullanan düzenlilik koşulunun geçerliliği için oradaki argüman, ancak yanlıştır.); Peter Kall: Ekonomistler için Analiz. BG Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02355-5 , s. 178 (Lemma 5.20).
↑ Bunun üzerine , örneğin, Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s.54.
↑ Bu ve sonrasında Goldberger 1987, s. 3 ff; William A. Barnett ve Apostolos Serletis: Talep Analizine Diferansiyel Yaklaşım ve Rotterdam Modeli. In: Daniel J. Slottje (Ed.): Tüketici Tercihlerini Ölçmek . Emerald, Bingley 2009, ISBN 978-1-84855-312-5 , s. 61–81, burada s. 63 ff.
^ Anton Barten: Theory en Empirie van een Volledig Stelsel van Vraagvergelijkingen. Tez, Hollanda Ekonomi Okulu, Rotterdam.
↑ Bkz. Goldberger 1987, s. 6; Barten / Böhm 1982, s.410.
↑ Donald W. Katzner: Tüketici Talebi İşlevlerinin farklılaşabilirliği üzerine bir not. İçinde: Econometrica. 36, No. 2, 1968, s. 415-418 ( JSTOR 1907498 ).
↑ Bkz. Barten / Böhm 1982, s. 411.
↑ Bkz. Barten / Böhm 1982, sayfa 411; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, s. 95.
^ Vilfredo Pareto: Manuale di Economia politica. Con una introduzione alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Milan 1906. Burada Politik Ekonomi El Kitabı'nın İngilizce çevirisine atıfta bulunulmaktadır . Ann S. Schwier tarafından çevrildi. Augustus M. Kelley, New York 1971.
^ Francis Y. Edgeworth : Matematiksel Medyumlar. Matematiğin Ahlak Bilimlerine Uygulanması Üzerine Bir Deneme. CK Paul ve Co, 1881.
↑ Bkz. Christian E. Weber: Pareto ve% 53 Ordinal Theory of Utility. İçinde: Politik Ekonomi Tarihi. 33, No. 3, 2001, s. 541-576; George J. Stigler : Fayda Teorisinin Gelişimi. II. In: Journal of Political Economy. 58, No. 5, 1950, s. 373-396 ( JSTOR 1825710 ), burada s. 380 f.
↑ “Kullanımdaki değer kavramları, fayda, gözetimlilik, ofelimite endeksleri vb. Ekonomik denge teorisinin açığa çıkmasını büyük ölçüde kolaylaştırır, ancak bu teoriyi inşa etmek için gerekli değildir. Matematiğin kullanımı sayesinde, tüm bu teori […] bir deneyim olgusundan daha fazlasına, yani bireyin kayıtsız kaldığı kombinasyonları oluşturan malların miktarlarının belirlenmesine dayanır. " (Vilfredo Pareto: Manuale di Economia politica. Con una introduzione alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Milan 1906, İngilizce çeviri Manual of Political Economy'den alıntı . Ann S. Schwier tarafından çevrildi . Augustus M. Kelley, New York 1971.) Ayrıca bkz. Kerrie L. Mitchener: İktisat Teorisinde Tercih ve Fayda ve İktisadi Düşünceler Tarihinde. Tez, Queensland Üniversitesi, 2007, Bölüm 6; Ghanshyam B. Mehta: Tercih ve Fayda. Salvador Barberà, Peter J. Hammond ve Christian Seidl (editörler): Handbook of Utility Theory. Cilt 1. Kluwer, Dordrecht ve diğerleri. 1998, ISBN 0-7923-8174-2 , sayfa 1-47, sayfa 2 f.
^ Vilfredo Pareto: Cours d'économie politique. Rouge, Lozan 1896.
↑ Irving Fisher: Değer ve fiyat teorisinde matematiksel araştırmalar. In: Connecticut Sanat ve Bilim Akademisi İşlemleri. 9, 1892.
↑ Krş. George J. Stigler : Fayda Teorisinin Gelişimi. II. In: Journal of Political Economy. 58, No. 5, 1950, s. 373-396 ( JSTOR 1825710 ); Roberto Marchionatti ve Enrico Gambino: Bir Bilim Olarak Pareto ve Politik Ekonomi: 1890'larda İktisat Teorisinde Metodolojik Devrim ve Analitik Gelişmeler. İçinde: Politik Ekonomi Dergisi. 105, No. 6, 1997, s. 1322-1348 ( JSTOR ), burada s. 1335 f.
↑ Bkz. Katzner 1970, s.8.
↑ Bu konuda Donald A. Walker: Walras, Léon (1834-1910). In: Steven N. Durlauf ve Lawrence E. Blume (Ed.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. Baskı. Palgrave Macmillan 2008, doi : 10.1057 / 9780230226203.1814 (çevrimiçi baskı); Donald A. Walker: Walras'ın piyasa modelleri. Cambridge University Press, Cambridge 2005, ISBN 9780521022958 , s.41 .
↑ Bu daha ayrıntılı William Jaffé: Léon Walras'ın 1870'lerin “Marjinal Devriminde” Rolü. İçinde: Politik Ekonomi Tarihi. 4, No. 2, 1972, doi : 10.1215 / 00182702-4-2-379 , sayfa 379-405, burada s. 397 f.
^ Alfred Marshall: Ekonominin İlkeleri. 1. baskı Macmillan, 1890 (ayrıca çevrimiçi: https://archive.org/details/principlesecono00marsgoog ).
↑ Ayrıca bkz. Peter C. Dooley: Consumer's Rant: Marshall and His Critics. In: Ekonomi Canadian Journal / Revue canadienne d'Economique. 16, No. 1, 1983, s. 26-38 ( JSTOR 134973 ), s. 28 vd .; özellikle Pareto: EB Wilson: Pareto Versus Marshall ile olan tartışmalar üzerine . İçinde: Quarterly Journal of Economics. 53, No. 4, 1939, s. 645-650 ( JSTOR 1883289 ).
^ Yevgeny Slutsky: Sulla teoria del bilancio del consumatore. İçinde: Giornale degli ekonomisti. 1915, sayfa 1-26. Burada Tüketici Bütçesi Teorisi Üzerine İngilizce çevirisine atıfta bulunulmaktadır . In: George J. Stigler ve KE Boalding (Ed.): Fiyat Teorisinde Okumalar. Irwin, Homewood 1952, s. 27-56.
↑ Bkz. Katzner 1970, s.7.
↑ John R. Hicks ve RGD Allen: Değer Teorisinin Yeniden Değerlendirilmesi. Bölüm I. In: Economica. 1, No. 1, 1934, sayfa 52-76 ( JSTOR 2548574 ).
↑ John R. Hicks ve RGD Allen: Değer Teorisinin Yeniden Değerlendirilmesi. Bölüm II Bireysel Talep Fonksiyonlarının Matematiksel Bir Teorisi In: Economica. 1, No. 2, 1934, s. 196-219 ( JSTOR 2548749 ).
↑ Bu makalelerin Slutsky (1915) ile ilişkisi için bkz. RGD Allen: Profesör Slutsky'nin Tüketicilerin Seçimi Teorisi. In: Ekonomik Çalışmaların İncelenmesi. 3, No. 2, 1936, s. 120-129, doi : 10.2307 / 2967502 . Slutsky'nin (1915) doğuşu ve alım tarihi hakkında bkz. John S. Chipman ve Jean-Sébastien Lenfant: Slutsky'nin 1915 Makalesi: How It Came to Be Found and Interpreted. İçinde: Politik Ekonomi Tarihi. 34, No. 3, 2002, s. 553-597, doi : 10.1215 / 00182702-34-3-553 .