Sonsuz küçük sayı

In matematik , pozitif sonsuz küçük sayıdır sırasına ilişkin, bir nesne gerçek sayılar olduğu daha büyük sıfıra kadar küçük olursa olsun, ancak herhangi bir pozitif reel sayı, daha küçük.

özellikleri

Açıktır ki, bu gereksinimi karşılayan gerçek sayılar arasında sonsuz küçükler yoktur, çünkü böyle bir sonsuz , aynı zamanda pozitif bir gerçek sayı olduğu için koşulu yerine getirmek zorunda kalacaktır . Bu tür sonsuz küçükleri hala tanımlayabilmek için, ya yukarıdaki gereksinim zayıflatılmalı ya da gerçek sayılar , daha sonra bu tür ek elemanlar için yer olan daha büyük, düzenli bir alana gömülmelidir. İkincisi, cebirsel sonsuz küçüklerin tanımlanma biçimidir (Coste, Roy, Pollack) ve ayrıca standart olmayan analizin (NSA) yoludur (Robinson, Nelson). ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Bir sonsuz küçük , bu sayının miktarının sonlu çok (NSA'da: standart sonlu çok) terimlerinin herhangi bir toplamının 1'den küçük olması özelliğine sahiptir: ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle | x | + \ dotsb + | x | <1}$ herhangi bir sınırlı sayıda zirve için.

Bu durumda, herhangi bir pozitif gerçek (NSA'da: standart gerçek) sayısından daha büyüktür. Cebirsel sonsuz küçükler için bu, ilişkili alan uzantısının Arşimet olmadığı anlamına gelir . ${\ displaystyle | 1 / x |}$

hesap

Bu sayıları kullanan ilk matematikçi , varlıklarına inanmasa da muhtemelen Arşimet'ti .

Newton ve Leibniz , sonsuz küçük hesaplarını (diferansiyel ve integral hesabı) geliştirmek için sonsuz küçük sayıları kullanır .

Genellikle onlar savundu (aslında sadece Newton, Leibniz kullanır monads , bugün kabaca: sonlandırıldı veya resmi güç serileri ):

Fonksiyonun türevini bulmak için sonsuz küçük olduğunu varsayıyoruz . Sonra ${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

çünkü sonsuz derecede küçüktür. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Bu argüman sezgisel olmasına ve doğru sonuçlar vermesine rağmen matematiksel olarak kesin değildir: Temel sorun, başlangıçta sıfırdan farklı olarak kabul edilmesidir (biri böler ), ancak son adımda sıfıra eşit kabul edilir. Sonsuz küçük sayıların kullanımı George Berkeley tarafından şu çalışmasında eleştirildi : Analist: ya da kâfir bir matematikçiye hitap eden bir söylem (1734).${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Tarihsel ilerleme

O zamandan beri, sonsuz küçükler sorunu, gerçek sayıların doğası sorunuyla yakından bağlantılı hale geldi. Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind ve diğerleri on dokuzuncu yüzyıla kadar gerçek analize matematiksel olarak katı bir biçimsel form verdiler. Sonsuz küçük niceliklerin kullanımını gereksiz kılan sınır değer hususlarını ortaya attılar .

Öyle bile olsa, sonsuz küçük sayıların kullanımı, temsilleri ve hesaplamaları basitleştirmek için hala yararlı kabul edildi. Bu nedenle, eğer özellik sonsuz küçüktür ve buna göre sonsuz olma özelliği tanımlanabilir: ${\ displaystyle x \ yaklaşık 0}$${\ displaystyle N \ yaklaşık \ infty}$

• Bir (standart) sonuç tüm ise boş bir dizisidir geçerlidir: .${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N \ yaklaşık \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ yaklaşık 0}$
• A (standart) işlevi sınırlı bir aralıkta , ancak ve ancak tüm tektip sürekli gelen geçerli olduğu, aşağıdaki: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ I’de}$${\ displaystyle xy \ yaklaşık 0}$${\ displaystyle f (x) -f (y) \ yaklaşık 0}$

20. yüzyılda, resmen doğru biçimde sonsuz küçük sayılar içeren gerçek sayıların sayı aralığı uzantıları bulundu. En iyi bilinenler hiper-gerçek sayılar ve gerçeküstü sayılardır .

Özel bir durum olarak hiper gerçek sayıları içeren Abraham Robinson (1960) tarafından yapılan standart dışı analizde , sonsuz küçük sayılar meşru niceliklerdir. Bu analizde, yukarıda belirtilen türev olabilir küçük bir değişiklik ile haklı: bahsettiğimiz standart bir parçası diferansiyel bölüm ve standart bir parçası olan (eğer standart sayısı, bağlı makalede daha fazla detay). ${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

kabarma

1. ↑ Tam metin bir indirme olarak bulunabilir (yeni ayarlanmış) [1]